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24.（12分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶，《九章算术》《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣. 某书店的《九章算术》单价是《周髀算经》单价的$\frac{2}{3}$，用600元购买《九章算术》比购买《周髀算经》多买10本.
（1）两种图书的单价分别为多少元？
（2）为筹备“数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共100本，且购买的《周髀算经》数量不少于《九章算术》数量的一半. 由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，两种图书分别购买多少本时费用最少？
（1）两种图书的单价分别为多少元？
（2）为筹备“数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共100本，且购买的《周髀算经》数量不少于《九章算术》数量的一半. 由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，两种图书分别购买多少本时费用最少？
答案
24. 【点拨】本题考查分式方程的应用,一元一次不等式的应用以及一次函数的应用.
【解析】(1)设《周髀算经》的单价是 $x$ 元,则《九章算术》的单价是 $\dfrac{2}{3}x$ 元,根据题意得 $\dfrac{600}{\dfrac{2}{3}x} - \dfrac{600}{x} = 10$,解得 $x = 30$,
经检验,$x = 30$ 是原方程的解且符合题意.
$\dfrac{2}{3}x = \dfrac{2}{3} × 30 = 20$.
答:《周髀算经》的单价是 30 元,《九章算术》的单价是 20 元.
(2)设购买 $m$ 本《九章算术》,则购买 $100 - m$ 本《周髀算经》,根据题意得 $100 - m ≥ \dfrac{1}{2}m$,解得 $m ≤ \dfrac{200}{3}$.
设购买两种图书共花费 $y$ 元,则 $y = 30 × 0.9 × (100 - m) + 20 × 0.9m = -9m + 2\ 700$.
$\because -9 ＜ 0$,
$\therefore y$ 随 $m$ 的增大而减小.
又 $\because m ≤ \dfrac{200}{3}$ 且 $m$ 为正整数,
$\therefore$ 当 $m = 66$ 时,$y$ 有最小值,此时 $100 - 66 = 34$(本).
答:当购买 66 本《九章算术》,34 本《周髀算经》时,费用最少.
【解析】(1)设《周髀算经》的单价是 $x$ 元,则《九章算术》的单价是 $\dfrac{2}{3}x$ 元,根据题意得 $\dfrac{600}{\dfrac{2}{3}x} - \dfrac{600}{x} = 10$,解得 $x = 30$,
经检验,$x = 30$ 是原方程的解且符合题意.
$\dfrac{2}{3}x = \dfrac{2}{3} × 30 = 20$.
答:《周髀算经》的单价是 30 元,《九章算术》的单价是 20 元.
(2)设购买 $m$ 本《九章算术》,则购买 $100 - m$ 本《周髀算经》,根据题意得 $100 - m ≥ \dfrac{1}{2}m$,解得 $m ≤ \dfrac{200}{3}$.
设购买两种图书共花费 $y$ 元,则 $y = 30 × 0.9 × (100 - m) + 20 × 0.9m = -9m + 2\ 700$.
$\because -9 ＜ 0$,
$\therefore y$ 随 $m$ 的增大而减小.
又 $\because m ≤ \dfrac{200}{3}$ 且 $m$ 为正整数,
$\therefore$ 当 $m = 66$ 时,$y$ 有最小值,此时 $100 - 66 = 34$(本).
答:当购买 66 本《九章算术》,34 本《周髀算经》时,费用最少.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是求两种图书的单价，属于分式方程的实际应用，解题思路为：设《周髀算经》的单价为未知数，根据两种图书单价的关系表示出《九章算术》的单价，再利用“600元购买《九章算术》比《周髀算经》多10本”的等量关系列分式方程，求解后需检验解的合理性；第(2)问是求最少费用，属于不等式与一次函数的综合应用，解题思路为：设购买《九章算术》的数量为未知数，根据“《周髀算经》数量不少于《九章算术》数量的一半”列不等式确定未知数的取值范围，再写出总费用关于未知数的一次函数，结合一次函数的增减性和未知数为正整数的条件，求出费用最少时的购买数量。
【解析】
(1)设《周髀算经》的单价是$ x $元，则《九章算术》的单价是$ \frac{2}{3}x $元。
根据题意，购买《九章算术》的数量为$ \frac{600}{\frac{2}{3}x} $本，购买《周髀算经》的数量为$ \frac{600}{x} $本，两者数量差为10本，列方程：
$\frac{600}{\frac{2}{3}x} - \frac{600}{x} = 10$
化简得：$ \frac{900}{x} - \frac{600}{x} = 10 $，即$ \frac{300}{x} = 10 $，解得$ x = 30 $。
经检验，$ x = 30 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
则《九章算术》的单价为$ \frac{2}{3} × 30 = 20 $元。
(2)设购买$ m $本《九章算术》，则购买$ (100 - m) $本《周髀算经》。
根据“《周髀算经》数量不少于《九章算术》数量的一半”，列不等式：
$100 - m ≥ \frac{1}{2}m$
解不等式得：$ m ≤ \frac{200}{3} \approx 66.67 $，因$ m $为正整数，故$ m ≤ 66 $。
设总费用为$ y $元，两种图书均按九折出售，列总费用表达式：
$y = 20 × 0.9m + 30 × 0.9(100 - m)$
化简得：$ y = 18m + 2700 - 27m = -9m + 2700 $。
因一次函数$ y = -9m + 2700 $中斜率$ -9 ＜ 0 $，故$ y $随$ m $的增大而减小。
结合$ m ≤ 66 $且为正整数，当$ m = 66 $时，$ y $取得最小值，此时$ 100 - m = 34 $本。
【答案】
(1)《周髀算经》的单价是30元，《九章算术》的单价是20元；
(2)购买66本《九章算术》、34本《周髀算经》时费用最少。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【点评】
本题以中华传统文化中的古代算书为背景，考查初中数学核心的方程、不等式与一次函数的实际应用，需学生能从实际问题中提取等量/不等关系建立模型，同时注意分式方程解的检验和一次函数增减性的应用，是常规的综合应用题。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是求两种图书的单价，属于分式方程的实际应用，解题思路为：设《周髀算经》的单价为未知数，根据两种图书单价的关系表示出《九章算术》的单价，再利用“600元购买《九章算术》比《周髀算经》多10本”的等量关系列分式方程，求解后需检验解的合理性；第(2)问是求最少费用，属于不等式与一次函数的综合应用，解题思路为：设购买《九章算术》的数量为未知数，根据“《周髀算经》数量不少于《九章算术》数量的一半”列不等式确定未知数的取值范围，再写出总费用关于未知数的一次函数，结合一次函数的增减性和未知数为正整数的条件，求出费用最少时的购买数量。
【解析】
(1)设《周髀算经》的单价是$ x $元，则《九章算术》的单价是$ \frac{2}{3}x $元。
根据题意，购买《九章算术》的数量为$ \frac{600}{\frac{2}{3}x} $本，购买《周髀算经》的数量为$ \frac{600}{x} $本，两者数量差为10本，列方程：
$\frac{600}{\frac{2}{3}x} - \frac{600}{x} = 10$
化简得：$ \frac{900}{x} - \frac{600}{x} = 10 $，即$ \frac{300}{x} = 10 $，解得$ x = 30 $。
经检验，$ x = 30 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
则《九章算术》的单价为$ \frac{2}{3} × 30 = 20 $元。
(2)设购买$ m $本《九章算术》，则购买$ (100 - m) $本《周髀算经》。
根据“《周髀算经》数量不少于《九章算术》数量的一半”，列不等式：
$100 - m ≥ \frac{1}{2}m$
解不等式得：$ m ≤ \frac{200}{3} \approx 66.67 $，因$ m $为正整数，故$ m ≤ 66 $。
设总费用为$ y $元，两种图书均按九折出售，列总费用表达式：
$y = 20 × 0.9m + 30 × 0.9(100 - m)$
化简得：$ y = 18m + 2700 - 27m = -9m + 2700 $。
因一次函数$ y = -9m + 2700 $中斜率$ -9 ＜ 0 $，故$ y $随$ m $的增大而减小。
结合$ m ≤ 66 $且为正整数，当$ m = 66 $时，$ y $取得最小值，此时$ 100 - m = 34 $本。
【答案】
(1)《周髀算经》的单价是30元，《九章算术》的单价是20元；
(2)购买66本《九章算术》、34本《周髀算经》时费用最少。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【点评】
本题以中华传统文化中的古代算书为背景，考查初中数学核心的方程、不等式与一次函数的实际应用，需学生能从实际问题中提取等量/不等关系建立模型，同时注意分式方程解的检验和一次函数增减性的应用，是常规的综合应用题。
【难度系数】
0.6
25. (10分)如图,已知四边形ABCD中,$AB = CD$,AC与BD是对角线,E,F,G,H分别是线段BC,AC,AD,BD的中点.
(1)求证:四边形EFGH为菱形;
(2)若$AC ⊥ BD$,且$BC^2 + AD^2 = 36$,求菱形EFGH的周长.
(1)求证:四边形EFGH为菱形;
(2)若$AC ⊥ BD$,且$BC^2 + AD^2 = 36$,求菱形EFGH的周长.
答案
25. 【点拨】本题考查中位线的性质,菱形的判定和性质,勾股定理的应用等知识点.
【解析】(1)证明:$\because E,F,G,H$ 分别是线段 $BC,AC,AD,BD$ 的中点,
$\therefore EF = \dfrac{1}{2}AB = GH$,$GF = \dfrac{1}{2}CD = HE$.
$\because AB = CD$,$\therefore EF = GH = GF = HE$,$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 为菱形.
(2)如题图,设 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$\because AC ⊥ BD$,
$\therefore ∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COD = ∠ AOD = 90°$.
$\because BC^2 + AD^2 = 36$,$\therefore AO^2 + DO^2 + BO^2 + CO^2 = 36$.
$\because AB^2 = AO^2 + BO^2$,$CD^2 = CO^2 + DO^2$,$\therefore AB^2 + CD^2 = 36$,
$\therefore AB = 3\sqrt{2}$,$\therefore$ 菱形 $EFGH$ 的周长 $= 2AB = 6\sqrt{2}$.
【解析】(1)证明:$\because E,F,G,H$ 分别是线段 $BC,AC,AD,BD$ 的中点,
$\therefore EF = \dfrac{1}{2}AB = GH$,$GF = \dfrac{1}{2}CD = HE$.
$\because AB = CD$,$\therefore EF = GH = GF = HE$,$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 为菱形.
(2)如题图,设 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$\because AC ⊥ BD$,
$\therefore ∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COD = ∠ AOD = 90°$.
$\because BC^2 + AD^2 = 36$,$\therefore AO^2 + DO^2 + BO^2 + CO^2 = 36$.
$\because AB^2 = AO^2 + BO^2$,$CD^2 = CO^2 + DO^2$,$\therefore AB^2 + CD^2 = 36$,
$\therefore AB = 3\sqrt{2}$,$\therefore$ 菱形 $EFGH$ 的周长 $= 2AB = 6\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形EFGH为菱形，需利用三角形中位线定理得到各边与AB、CD的关系，结合AB=CD，证明四边相等即可；
(2) 已知AC⊥BD，结合勾股定理将BC²+AD²转化为AB²+CD²，利用AB=CD求出AB的长度，再根据菱形边长与AB的关系计算周长。
【解析】
(1) 证明：
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF = $\dfrac{1}{2}AB$；
同理，G，H分别是AD，BD的中点，
∴GH是△ABD的中位线，
∴GH = $\dfrac{1}{2}AB$；
又F，G分别是AC，AD的中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF = $\dfrac{1}{2}CD$；
H，E分别是BD，BC的中点，
∴HE是△BCD的中位线，
∴HE = $\dfrac{1}{2}CD$；
∵AB = CD，
∴EF = GH = GF = HE，
∴四边形EFGH为菱形（四边相等的四边形是菱形）。
(2) 设AC与BD交于点O，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°，
根据勾股定理：BC² = BO² + CO²，AD² = AO² + DO²，
∴BC² + AD² = BO² + CO² + AO² + DO² = (AO² + BO²) + (CO² + DO²) = AB² + CD²，
已知BC² + AD² = 36，
∴AB² + CD² = 36，
又
∵AB = CD，
∴2AB² = 36，解得AB = $3\sqrt{2}$，
∵菱形EFGH的边长为$\dfrac{1}{2}AB$，
∴菱形EFGH的周长 = 4×$\dfrac{1}{2}AB$ = 2AB = 2×$3\sqrt{2}$ = $6\sqrt{2}$。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线，菱形判定，勾股定理
【点评】
本题综合运用三角形中位线定理、菱形的判定与性质以及勾股定理，解题关键是利用中位线得到线段间的数量关系，结合垂直条件转化线段平方关系，属于中等难度的几何证明与计算题型。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明四边形EFGH为菱形，需利用三角形中位线定理得到各边与AB、CD的关系，结合AB=CD，证明四边相等即可；
(2) 已知AC⊥BD，结合勾股定理将BC²+AD²转化为AB²+CD²，利用AB=CD求出AB的长度，再根据菱形边长与AB的关系计算周长。
【解析】
(1) 证明：
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF = $\dfrac{1}{2}AB$；
同理，G，H分别是AD，BD的中点，
∴GH是△ABD的中位线，
∴GH = $\dfrac{1}{2}AB$；
又F，G分别是AC，AD的中点，
∴GF是△ACD的中位线，
∴GF = $\dfrac{1}{2}CD$；
H，E分别是BD，BC的中点，
∴HE是△BCD的中位线，
∴HE = $\dfrac{1}{2}CD$；
∵AB = CD，
∴EF = GH = GF = HE，
∴四边形EFGH为菱形（四边相等的四边形是菱形）。
(2) 设AC与BD交于点O，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°，
根据勾股定理：BC² = BO² + CO²，AD² = AO² + DO²，
∴BC² + AD² = BO² + CO² + AO² + DO² = (AO² + BO²) + (CO² + DO²) = AB² + CD²，
已知BC² + AD² = 36，
∴AB² + CD² = 36，
又
∵AB = CD，
∴2AB² = 36，解得AB = $3\sqrt{2}$，
∵菱形EFGH的边长为$\dfrac{1}{2}AB$，
∴菱形EFGH的周长 = 4×$\dfrac{1}{2}AB$ = 2AB = 2×$3\sqrt{2}$ = $6\sqrt{2}$。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线，菱形判定，勾股定理
【点评】
本题综合运用三角形中位线定理、菱形的判定与性质以及勾股定理，解题关键是利用中位线得到线段间的数量关系，结合垂直条件转化线段平方关系，属于中等难度的几何证明与计算题型。
【难度系数】
0.5
