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22. (8分)(1)若$x,y$都是实数,且$y=2\sqrt{x-3}+3\sqrt{3-x}+8$,求$x+3y$的平方根;
(2)已知$x=\dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2},y=\dfrac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}$,求$2x^2+2y^2-xy$的值.
(2)已知$x=\dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2},y=\dfrac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}$,求$2x^2+2y^2-xy$的值.
答案
22. 【点拨】本题考查二次根式的性质,平方根,二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键.
【解析】(1)由题意得 $x - 3 ≥ 0$,$3 - x ≥ 0$,解得 $x = 3$.
$\therefore y = 8$,$\therefore x + 3y$ 的平方根为 $\pm \sqrt{x + 3y} = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}$.
(2)由题意得 $x = \dfrac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 2} = -(\sqrt{3} - 2)^2 = 4\sqrt{3} - 7$,
$y = \dfrac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2} = -(\sqrt{3} + 2)^2 = -4\sqrt{3} - 7$.
$\therefore x + y = (4\sqrt{3} - 7) + (-4\sqrt{3} - 7) = -14$,
$xy = (4\sqrt{3} - 7)(-4\sqrt{3} - 7) = 1$.
$\therefore 2x^2 + 2y^2 - xy$
$=2(x^2 + y^2) - xy$
$=2[(x + y)^2 - 2xy] - xy$
$=2(x + y)^2 - 5xy$
$=2 × (-14)^2 - 5 × 1$
$=387$.
【解析】(1)由题意得 $x - 3 ≥ 0$,$3 - x ≥ 0$,解得 $x = 3$.
$\therefore y = 8$,$\therefore x + 3y$ 的平方根为 $\pm \sqrt{x + 3y} = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}$.
(2)由题意得 $x = \dfrac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 2} = -(\sqrt{3} - 2)^2 = 4\sqrt{3} - 7$,
$y = \dfrac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} - 2} = -(\sqrt{3} + 2)^2 = -4\sqrt{3} - 7$.
$\therefore x + y = (4\sqrt{3} - 7) + (-4\sqrt{3} - 7) = -14$,
$xy = (4\sqrt{3} - 7)(-4\sqrt{3} - 7) = 1$.
$\therefore 2x^2 + 2y^2 - xy$
$=2(x^2 + y^2) - xy$
$=2[(x + y)^2 - 2xy] - xy$
$=2(x + y)^2 - 5xy$
$=2 × (-14)^2 - 5 × 1$
$=387$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）确定x的值，进而求出y，再计算x+3y的平方根；第(2)问需先化简x和y，再通过完全平方公式将所求代数式变形，简化计算过程，避免直接代入复杂数值。
【解析】
(1) 要使二次根式$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}x - 3 ≥ 0 \\ 3 - x ≥ 0\end{cases}$
解得$x=3$。
将$x=3$代入$y=2\sqrt{x-3}+3\sqrt{3-x}+8$，得$y=8$。
计算$x+3y=3 + 3×8=27$，因此$x+3y$的平方根为$\pm\sqrt{27}=\pm3\sqrt{3}$。
(2) 先化简x和y：
$x=\dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\dfrac{(\sqrt{3}-2)^2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=\dfrac{7 - 4\sqrt{3}}{-1}=4\sqrt{3}-7$；
$y=\dfrac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}=\dfrac{(\sqrt{3}+2)^2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\dfrac{7 + 4\sqrt{3}}{-1}=-4\sqrt{3}-7$。
计算$x+y=(4\sqrt{3}-7)+(-4\sqrt{3}-7)=-14$，$xy=(4\sqrt{3}-7)(-4\sqrt{3}-7)=(-7)^2 - (4\sqrt{3})^2=1$。
对所求代数式变形：$2x^2 + 2y^2 - xy=2[(x+y)^2 - 2xy] - xy=2(x+y)^2 -5xy$。
代入数值计算：$2×(-14)^2 -5×1=2×196 -5=387$。
【答案】
(1) $\pm3\sqrt{3}$；(2) $387$
【知识点】
二次根式的性质、平方根、完全平方公式
【点评】
本题综合考查二次根式的性质、平方根定义及代数式化简运算，解题关键是利用二次根式有意义的条件确定x的值，以及通过完全平方公式变形简化计算，需熟练掌握二次根式运算法则和公式变形技巧。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需利用二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）确定x的值，进而求出y，再计算x+3y的平方根；第(2)问需先化简x和y，再通过完全平方公式将所求代数式变形，简化计算过程，避免直接代入复杂数值。
【解析】
(1) 要使二次根式$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}x - 3 ≥ 0 \\ 3 - x ≥ 0\end{cases}$
解得$x=3$。
将$x=3$代入$y=2\sqrt{x-3}+3\sqrt{3-x}+8$，得$y=8$。
计算$x+3y=3 + 3×8=27$，因此$x+3y$的平方根为$\pm\sqrt{27}=\pm3\sqrt{3}$。
(2) 先化简x和y：
$x=\dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\dfrac{(\sqrt{3}-2)^2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=\dfrac{7 - 4\sqrt{3}}{-1}=4\sqrt{3}-7$；
$y=\dfrac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}=\dfrac{(\sqrt{3}+2)^2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\dfrac{7 + 4\sqrt{3}}{-1}=-4\sqrt{3}-7$。
计算$x+y=(4\sqrt{3}-7)+(-4\sqrt{3}-7)=-14$，$xy=(4\sqrt{3}-7)(-4\sqrt{3}-7)=(-7)^2 - (4\sqrt{3})^2=1$。
对所求代数式变形：$2x^2 + 2y^2 - xy=2[(x+y)^2 - 2xy] - xy=2(x+y)^2 -5xy$。
代入数值计算：$2×(-14)^2 -5×1=2×196 -5=387$。
【答案】
(1) $\pm3\sqrt{3}$；(2) $387$
【知识点】
二次根式的性质、平方根、完全平方公式
【点评】
本题综合考查二次根式的性质、平方根定义及代数式化简运算，解题关键是利用二次根式有意义的条件确定x的值，以及通过完全平方公式变形简化计算，需熟练掌握二次根式运算法则和公式变形技巧。
【难度系数】
0.6
23. (10 分)如图,在矩形$ABCD$中$(AD ＞ AB)$.
(1)仅用直尺和圆规在矩形$ABCD$的边$AD$上找一点$E$,使$EB$平分$∠ AEC$;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,作线段$EB$的垂直平分线$MN$,分别与边$BC$及直线$AD$相交于点$M,N$,连接$EM,BN$,试判断四边形$BMEN$的形状? 并证明你的结论.
(1)仅用直尺和圆规在矩形$ABCD$的边$AD$上找一点$E$,使$EB$平分$∠ AEC$;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,作线段$EB$的垂直平分线$MN$,分别与边$BC$及直线$AD$相交于点$M,N$,连接$EM,BN$,试判断四边形$BMEN$的形状? 并证明你的结论.
答案
23. 【点拨】本题考查尺规作图,矩形的性质,菱形的判定定理,熟练掌握各定理并能正确作图是解题的关键.
【解析】(1)如图1,点 $E$ 即为所求作的点.(以点 $C$ 为圆心,$BC$ 的长为半径画弧交 $AD$ 于点 $E$)
(2)如图2,四边形 $BMEN$ 是菱形,证明如下:
$\because MN$ 垂直平分 $BE$,记 $MN$ 交 $BE$ 于点 $O$,
$\therefore NE = BN$,$ME = MB$,$OB = OE$.
$\because AD // BC$,$\therefore ∠ NEO = ∠ MBO$,$∠ ENO = ∠ BMO$,
$\therefore △ NEO ≌ △ MBO$(AAS),$\therefore NE = MB$,
$\therefore NE = ME = MB = NB$,$\therefore$ 四边形 $BMEN$ 是菱形.
解析
【分析】
第(1)问要使EB平分∠AEC，结合矩形AD//BC的性质，可得∠AEB=∠EBC，若EB平分∠AEC，则∠AEB=∠BEC，因此∠EBC=∠BEC，推出BC=EC，故以点C为圆心、BC长为半径画弧，与AD的交点即为点E；第(2)问作EB的垂直平分线MN，利用垂直平分线性质得NE=NB、ME=MB，再由AD//BC证三角形全等，得到四边相等，从而判断四边形为菱形。
【解析】
(1) 如图1，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交边AD于点E，点E即为所求（作图痕迹保留）。
(2) 四边形BMEN是菱形，证明如下：
记MN与EB交于点O，
∵ MN垂直平分BE，
∴ NE = NB，ME = MB，OB = OE。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠NEO = ∠MBO，∠ENO = ∠BMO。
在△NEO和△MBO中，
$\{\begin{array}{l}∠NEO = ∠MBO \\∠ENO = ∠BMO \\OE = OB\end{array} $
∴ △NEO ≌ △MBO（AAS），
∴ NE = MB。
又
∵ NE = NB，ME = MB，
∴ NE = ME = MB = NB，
∴ 四边形BMEN是菱形。
【答案】
(1) 点E为以C为圆心、BC长为半径画弧与AD的交点；
(2) 四边形BMEN是菱形。
【知识点】
矩形性质、菱形判定、垂直平分线性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何图形的性质与判定，需熟练运用角的关系、全等三角形及垂直平分线知识，是典型的几何综合题，注重逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
第(1)问要使EB平分∠AEC，结合矩形AD//BC的性质，可得∠AEB=∠EBC，若EB平分∠AEC，则∠AEB=∠BEC，因此∠EBC=∠BEC，推出BC=EC，故以点C为圆心、BC长为半径画弧，与AD的交点即为点E；第(2)问作EB的垂直平分线MN，利用垂直平分线性质得NE=NB、ME=MB，再由AD//BC证三角形全等，得到四边相等，从而判断四边形为菱形。
【解析】
(1) 如图1，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交边AD于点E，点E即为所求（作图痕迹保留）。
(2) 四边形BMEN是菱形，证明如下：
记MN与EB交于点O，
∵ MN垂直平分BE，
∴ NE = NB，ME = MB，OB = OE。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠NEO = ∠MBO，∠ENO = ∠BMO。
在△NEO和△MBO中，
$\{\begin{array}{l}∠NEO = ∠MBO \\∠ENO = ∠BMO \\OE = OB\end{array} $
∴ △NEO ≌ △MBO（AAS），
∴ NE = MB。
又
∵ NE = NB，ME = MB，
∴ NE = ME = MB = NB，
∴ 四边形BMEN是菱形。
【答案】
(1) 点E为以C为圆心、BC长为半径画弧与AD的交点；
(2) 四边形BMEN是菱形。
【知识点】
矩形性质、菱形判定、垂直平分线性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何图形的性质与判定，需熟练运用角的关系、全等三角形及垂直平分线知识，是典型的几何综合题，注重逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
