19. (8 分)先化简,再求值:$(1-\dfrac{2}{x+1})÷\dfrac{x^3 - 2x^2 + x}{x+1}$,其中 $x^2 = x - 1$.

19. 【点拨】本题考查分式的化简求值,能正确根据分式的运算法则进行计算是解题的关键,注意运算顺序.
【解析】 $(1 - \dfrac{2}{x + 1}) ÷ \dfrac{x^3 - 2x^2 + x}{x + 1}$
$=\dfrac{x - 1}{x + 1} · \dfrac{x + 1}{x(x^2 - 2x + 1)}$
$=\dfrac{x - 1}{x + 1} · \dfrac{x + 1}{x(x - 1)^2}$
$=\dfrac{1}{x(x - 1)}$
$=\dfrac{1}{x^2 - x}$.
由 $x^2 = x - 1$ 得 $x^2 - x = -1$,当 $x^2 - x = -1$ 时,原式 $=\dfrac{1}{-1} = -1$.

【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：①先计算括号内的分式减法，通过通分将异分母分式化为同分母分式后合并；②将除法运算转化为乘法运算，同时对除式的分子进行因式分解（先提取公因式，再运用完全平方公式）；③对分式进行约分，得到最简形式；④利用已知条件$x^2 = x - 1$变形得到$x^2 - x = -1$，整体代入最简式计算结果，避免直接求解$x$的复杂过程。
【解析】
$\begin{aligned}&(1 - \dfrac{2}{x + 1}) ÷ \dfrac{x^3 - 2x^2 + x}{x + 1}\\=&\dfrac{x + 1 - 2}{x + 1} · \dfrac{x + 1}{x(x^2 - 2x + 1)}\\=&\dfrac{x - 1}{x + 1} · \dfrac{x + 1}{x(x - 1)^2}\\=&\dfrac{1}{x(x - 1)}\\=&\dfrac{1}{x^2 - x}\end{aligned}$
由$x^2 = x - 1$，可得$x^2 - x = -1$，将其代入上式得：原式$=\dfrac{1}{-1} = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
分式的化简求值、因式分解的应用
【点评】
本题考查分式的运算规则及整体代入的数学思想，核心是正确完成分式的通分、约分运算，合理利用已知条件简化求值过程，属于常规的分式化简求值题型。
【难度系数】
0.5

20. (10 分)若$a＞0,M=\dfrac{a}{a+1},N=\dfrac{a+1}{a+2}$.
(1)当$a=3$时,计算$M$与$N$的值;
(2)猜想$M$与$N$的大小关系,并证明你的猜想.

20. 【点拨】本题考查分式的混合运算.
【解析】(1) 当 $a = 3$ 时,$M = \dfrac{3}{3 + 1} = \dfrac{3}{4}$;$N = \dfrac{3 + 1}{3 + 2} = \dfrac{4}{5}$.
(2)$M ＜ N$. 证明如下:
$M - N = \dfrac{a}{a + 1} - \dfrac{a + 1}{a + 2} = \dfrac{-1}{(a + 1)(a + 2)}$,
$\because a ＞ 0$,$\therefore a + 1 ＞ 0$,$a + 2 ＞ 0$,$\therefore (a + 1)(a + 2) ＞ 0$,
$\therefore \dfrac{-1}{(a + 1)(a + 2)} ＜ 0$,即 $M - N ＜ 0$,$\therefore M ＜ N$.

【分析】本题分为两小问，第(1)问是代入具体数值计算分式的值，只需将a=3分别代入M和N的表达式即可；第(2)问需猜想M与N的大小关系，采用作差法比较分式大小，通过计算M-N并化简，结合a＞0的条件判断差的正负，进而得出M和N的大小关系。
【解析】(1) 当a=3时，代入M、N的表达式计算：
M = $\dfrac{3}{3+1} = \dfrac{3}{4}$；
N = $\dfrac{3+1}{3+2} = \dfrac{4}{5}$。
(2) 猜想$M ＜ N$，证明如下：
计算$M - N$并化简：
$M - N = \dfrac{a}{a+1} - \dfrac{a+1}{a+2} = \dfrac{a(a+2) - (a+1)^2}{(a+1)(a+2)}$
展开分子：$a(a+2) - (a+1)^2 = a^2+2a - (a^2+2a+1) = -1$，
因此$M - N = \dfrac{-1}{(a+1)(a+2)}$。
因为$a＞0$，所以$a+1＞0$，$a+2＞0$，则$(a+1)(a+2)＞0$，分子为$-1＜0$，故$M - N ＜ 0$，即$M ＜ N$。
【答案】(1) $M=\dfrac{3}{4},N=\dfrac{4}{5}$；(2) $M ＜ N$
【知识点】分式的混合运算、分式大小比较（作差法）
【点评】本题考查分式的基础运算与大小比较，属于常规基础题，核心是掌握作差法比较两个式子大小的方法，通过通分化简判断差的符号，适合巩固分式运算的核心知识点。
【难度系数】0.8

21. (10分)我校数学兴趣小组就人们比较关注的五个话题：“A. 5G 通信；B. 民法典；C. 北斗导航；D. 新质生产力；E. 社会健康养老”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.

请结合统计图中的信息，解决下列问题.
(1)将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
(2)求扇形统计图中的$a$的值及话题D所对应扇形的圆心角的度数；
(3)该小区有3 000人，估计最关注话题“新质生产力”的人数有多少人？

21. 【点拨】本题考查条形统计图,扇形统计图,用样本估计总体.
【解析】(1)总人数:$60 ÷ 30\% = 200$(人).
C:$200 × 15\% = 30$(人).
A:$200 - 60 - 30 - 20 - 40 = 50$(人).
最关注话题条形统计图补充如图:

(2)$50 ÷ 200 × 100\% = 25\%$,即 $a = 25$.
话题 $D$ 所对应扇形的圆心角的度数为 $\dfrac{20}{200} × 360° = 36°$.
(3)$3\ 000 × \dfrac{20}{200} = 300$(人).
答:估计最关注话题“新质生产力”的人数有 300 人.

【分析】
要解决这道题，首先需利用条形统计图中B话题的人数和扇形统计图中B的占比求出抽样调查的总人数；接着根据总人数计算C、A话题的人数，补充条形统计图；再通过A的人数与总人数的关系求a的值，利用D的人数占比计算其对应扇形的圆心角；最后用样本中D的占比估计小区3000人中关注D的人数。
【解析】
(1) 计算抽样总人数：已知B话题人数为60，占比30%，因此总人数为 $ 60 ÷ 30\% = 200 $（人）。
计算C话题人数：C占比15%，故人数为 $ 200 × 15\% = 30 $（人）。
计算A话题人数：总人数减去B、C、D、E的人数，即 $ 200 - 60 - 30 - 20 - 40 = 50 $（人），据此补充条形统计图。
(2) 求a的值：A的人数为50，总人数200，故 $ a\% = \frac{50}{200} × 100\% = 25\% $，即 $ a = 25 $。
求D对应扇形的圆心角：D人数20，占比为 $ \frac{20}{200} $，圆心角为 $ \frac{20}{200} × 360° = 36° $。
(3) 估计小区关注D的人数：小区共3000人，样本中D占比 $ \frac{20}{200} $，故人数为 $ 3000 × \frac{20}{200} = 300 $（人）。
【答案】
(1) 补充后的条形统计图：；
(2) $ a = 25 $，话题D对应扇形的圆心角为 $ 36° $；
(3) 估计最关注话题“新质生产力”的人数有300人。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合条形统计图与扇形统计图的信息，考查统计相关的基础计算，解题关键是利用两种统计图的关联求出总人数，再逐步计算各量，属于统计类常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.7