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7. 如果分式$\dfrac{|x|-3}{x+3}$的值为0，那么$x$的值是________.
答案
7. 3 【点拨】本题考查分式的值为0的条件.
【解析】$\because \dfrac{|x| - 3}{x + 3} = 0$,$\therefore |x| - 3 = 0$ 且 $x + 3 ≠ 0$,解得 $x = 3$. 故答案为3.
【解析】$\because \dfrac{|x| - 3}{x + 3} = 0$,$\therefore |x| - 3 = 0$ 且 $x + 3 ≠ 0$,解得 $x = 3$. 故答案为3.
解析
【分析】要解决分式的值为0的问题，需明确分式值为0的两个核心条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件必须同时满足。因此先根据分子为0求出可能的x值，再代入分母检验，排除使分母为0的x，即可得到正确结果。
【解析】根据分式的值为0的条件，需同时满足：
1. 分子为0：即$|x| - 3 = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$；
2. 分母不为0：即$x + 3 ≠ 0$，解得$x ≠ -3$；
结合两个条件，排除$x = -3$，因此$x$的值为3。
【答案】3
【知识点】分式的值为0的条件
【点评】本题考查分式值为0的基础知识点，需准确掌握“分子为0且分母不为0”的双重要求，避免忽略分母的限制条件，属于分式相关的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】根据分式的值为0的条件，需同时满足：
1. 分子为0：即$|x| - 3 = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$；
2. 分母不为0：即$x + 3 ≠ 0$，解得$x ≠ -3$；
结合两个条件，排除$x = -3$，因此$x$的值为3。
【答案】3
【知识点】分式的值为0的条件
【点评】本题考查分式值为0的基础知识点，需准确掌握“分子为0且分母不为0”的双重要求，避免忽略分母的限制条件，属于分式相关的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
8. 正方形具有而矩形不具有的性质:两条对角线互相垂直,并且每条对角线
平分一组对角
.答案
8. 平分一组对角 【点拨】本题考查正方形的性质,矩形的性质,熟练掌握正方形,矩形的性质并正确区分是解题的关键.
【解析】正方形具有而矩形不具有的性质:两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. 故答案为平分一组对角.
【解析】正方形具有而矩形不具有的性质:两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. 故答案为平分一组对角.
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确矩形和正方形的对角线性质差异。矩形的对角线仅具备相等、互相平分的特点，不互相垂直，也不平分一组对角；而正方形的对角线除了具备矩形对角线的所有性质外，还具有互相垂直、每条对角线平分一组对角的特性。题目要求找出正方形有但矩形没有的性质，且已给出“两条对角线互相垂直”，因此需补充的是正方形特有的另一项对角线性质，即每条对角线平分一组对角。
【解析】
矩形的对角线性质为：相等且互相平分，不互相垂直，也不平分一组对角；正方形的对角线性质为：相等、互相垂直且平分，同时每条对角线平分一组对角。对比两者的对角线性质，正方形具有而矩形不具有的性质，除了“两条对角线互相垂直”外，还有“每条对角线平分一组对角”，因此横线处应填“平分一组对角”。
【答案】
平分一组对角
【知识点】
正方形的性质、矩形的性质
【点评】
本题聚焦特殊平行四边形的性质辨析，需准确区分正方形与矩形的对角线特性，熟练掌握基础几何性质是解题的核心。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确矩形和正方形的对角线性质差异。矩形的对角线仅具备相等、互相平分的特点，不互相垂直，也不平分一组对角；而正方形的对角线除了具备矩形对角线的所有性质外，还具有互相垂直、每条对角线平分一组对角的特性。题目要求找出正方形有但矩形没有的性质，且已给出“两条对角线互相垂直”，因此需补充的是正方形特有的另一项对角线性质，即每条对角线平分一组对角。
【解析】
矩形的对角线性质为：相等且互相平分，不互相垂直，也不平分一组对角；正方形的对角线性质为：相等、互相垂直且平分，同时每条对角线平分一组对角。对比两者的对角线性质，正方形具有而矩形不具有的性质，除了“两条对角线互相垂直”外，还有“每条对角线平分一组对角”，因此横线处应填“平分一组对角”。
【答案】
平分一组对角
【知识点】
正方形的性质、矩形的性质
【点评】
本题聚焦特殊平行四边形的性质辨析，需准确区分正方形与矩形的对角线特性，熟练掌握基础几何性质是解题的核心。
【难度系数】
0.6
9. 对于事件“学校某社团共14人中至少有2人在同一个月过生日”，从发生的可能性大小判断，该事件属于
必然事件
.(填“随机事件”“必然事件”或“不可能事件”)答案
9. 必然事件 【点拨】本题考查随机事件,必然事件,不可能事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件;不可能事件指在一定条件下,一定不会发生的事件;不确定事件即随机事件,指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
【解析】“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件为必然事件. 故答案为必然事件.
【解析】“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件为必然事件. 故答案为必然事件.
解析
【分析】首先明确一年有12个月份，将14个人看作14个元素，12个月份看作12个“抽屉”，根据抽屉原理，当元素数量多于抽屉数量时，至少有一个抽屉中会放入2个或更多元素，据此判断事件类型。
【解析】一年共有12个月份，社团有14人。根据抽屉原理，把m个元素放入n个抽屉（m＞n）时，至少有一个抽屉中放入2个或更多元素。此处m=14，n=12，14＞12，因此必然至少有2人在同一个月过生日，该事件是一定发生的事件。
【答案】必然事件
【知识点】必然事件、抽屉原理
【点评】本题结合抽屉原理考查事件的分类，属于基础概念应用，需牢记必然事件的定义，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】一年共有12个月份，社团有14人。根据抽屉原理，把m个元素放入n个抽屉（m＞n）时，至少有一个抽屉中放入2个或更多元素。此处m=14，n=12，14＞12，因此必然至少有2人在同一个月过生日，该事件是一定发生的事件。
【答案】必然事件
【知识点】必然事件、抽屉原理
【点评】本题结合抽屉原理考查事件的分类，属于基础概念应用，需牢记必然事件的定义，难度较低。
【难度系数】0.8
10. 对于命题“若四边形ABCD中，AO＝CO，BO≠DO，那么四边形ABCD不是平行四边形”，用反证法证明这个命题时，第一步应假设
四边形ABCD是平行四边形
.答案
10. 四边形ABCD是平行四边形 【点拨】本题考查反证法,反证法是指“证明某个命题”时,先假设它的结论的否定成立,然后从这个假设出发,根据命题的条件和已知的真命题,经过推理,得出与已知事实相矛盾的结果,就证明了结论的否定不成立,从而间接地肯定了原命题的结论成立.
【解析】用反证法证明“四边形 $ABCD$ 不是平行四边形”这个结论时,应先假设“四边形 $ABCD$ 是平行四边形”. 故答案为四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
【解析】用反证法证明“四边形 $ABCD$ 不是平行四边形”这个结论时,应先假设“四边形 $ABCD$ 是平行四边形”. 故答案为四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
解析
【分析】
用反证法证明命题时，第一步需假设原命题结论的否定成立。本题中原命题的结论是“四边形ABCD不是平行四边形”，因此要先假设该结论的反面，即“四边形ABCD是平行四边形”，再进行后续推理。
【解析】
反证法的第一步是假设原命题结论的否定成立。原命题的结论为“四边形ABCD不是平行四边形”，其否定为“四边形ABCD是平行四边形”，故证明时第一步应假设四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
四边形ABCD是平行四边形
【知识点】
反证法、平行四边形的判定
【点评】
本题考查反证法的基本操作步骤，属于基础概念类题目，核心是明确反证法需先假设结论的反面成立，难度较低。
【难度系数】
0.8
用反证法证明命题时，第一步需假设原命题结论的否定成立。本题中原命题的结论是“四边形ABCD不是平行四边形”，因此要先假设该结论的反面，即“四边形ABCD是平行四边形”，再进行后续推理。
【解析】
反证法的第一步是假设原命题结论的否定成立。原命题的结论为“四边形ABCD不是平行四边形”，其否定为“四边形ABCD是平行四边形”，故证明时第一步应假设四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
四边形ABCD是平行四边形
【知识点】
反证法、平行四边形的判定
【点评】
本题考查反证法的基本操作步骤，属于基础概念类题目，核心是明确反证法需先假设结论的反面成立，难度较低。
【难度系数】
0.8
11. 如图,A,B两地被池塘隔开,小明先在AB外选一点C,然后标出AC,BC的中点M,N,若MN的长为16米,则A,B两地间的距离是
32
米.答案
11. 32 【点拨】本题考查三角形中位线定理,熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.
【解析】$\because$ 点 $M,N$ 是 $AC,BC$ 的中点,$\therefore MN$ 是 $△ ABC$ 的中位线,
$\therefore AB = 2MN = 2 × 16 = 32$(米),$\therefore A,B$ 两地间的距离是 32 米. 故答案为32.
【解析】$\because$ 点 $M,N$ 是 $AC,BC$ 的中点,$\therefore MN$ 是 $△ ABC$ 的中位线,
$\therefore AB = 2MN = 2 × 16 = 32$(米),$\therefore A,B$ 两地间的距离是 32 米. 故答案为32.
解析
【分析】要计算A、B两地的距离，首先根据M、N分别为AC、BC中点，确定MN是△ABC的中位线，再依据三角形中位线定理（三角形的中位线等于第三边长度的一半），即可通过已知的MN长度求出AB的长度。
【解析】
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得AB = 2MN，
已知MN = 16米，
∴AB = 2×16 = 32（米），
即A、B两地间的距离是32米。
【答案】32
【知识点】三角形中位线定理
【点评】本题是三角形中位线定理的基础应用，核心是掌握中位线与第三边的数量关系，属于简单题，适合初中低年级学生巩固基础。
【难度系数】0.7
【解析】
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得AB = 2MN，
已知MN = 16米，
∴AB = 2×16 = 32（米），
即A、B两地间的距离是32米。
【答案】32
【知识点】三角形中位线定理
【点评】本题是三角形中位线定理的基础应用，核心是掌握中位线与第三边的数量关系，属于简单题，适合初中低年级学生巩固基础。
【难度系数】0.7
12. 在一段坡路,小明骑自行车上坡时的速度为$v_1$千米/时,下坡时的速度为$v_2$千米/时,则他在这段坡路上、下坡的平均速度是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
12. $\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ 【点拨】本题考查分式方程的应用,明确平均速度的计算方法很关键,即平均速度 = 总路程 $÷$ 总时间,由此解答即可.
【解析】设坡路长为 $s$,则上坡时间为 $\dfrac{s}{v_1}$,下坡时间为 $\dfrac{s}{v_2}$. 由题意得平均速度为 $\dfrac{2s}{\dfrac{s}{v_1} + \dfrac{s}{v_2}} = \dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$. 故答案为 $\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$.
【解析】设坡路长为 $s$,则上坡时间为 $\dfrac{s}{v_1}$,下坡时间为 $\dfrac{s}{v_2}$. 由题意得平均速度为 $\dfrac{2s}{\dfrac{s}{v_1} + \dfrac{s}{v_2}} = \dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$. 故答案为 $\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$.
解析
【分析】要计算上下坡的平均速度，需牢记平均速度的核心定义：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，而非直接对两个速度取平均值。本题中上坡与下坡的路程相等，设坡路长为$s$，分别算出上坡、下坡的时间，再用总路程（上下坡路程之和）除以总时间，化简后即可得到结果。
【解析】设这段坡路的长度为$s$千米。
1. 计算上坡时间：根据“时间=路程÷速度”，上坡时间为$\frac{s}{v_1}$小时；
2. 计算下坡时间：同理，下坡时间为$\frac{s}{v_2}$小时；
3. 计算平均速度：总路程为上下坡路程之和，即$2s$千米，总时间为$\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}$小时，因此平均速度为：
$\mathrm{平均速度} = \frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}} = \frac{2s}{\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}}$
对分母通分并化简：
$\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} = s(\frac{v_2 + v_1}{v_1v_2})$
代入平均速度公式，约去$s$后得：
$\frac{2s}{s(\frac{v_1 + v_2}{v_1v_2})} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} \mathrm{千米/时}$
【答案】$\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$
【知识点】平均速度的计算、分式的化简
【点评】本题易错点是误将平均速度当作$\frac{v_1 + v_2}{2}$，需紧扣平均速度的定义，通过设辅助量$s$简化计算，是分式应用的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设这段坡路的长度为$s$千米。
1. 计算上坡时间：根据“时间=路程÷速度”，上坡时间为$\frac{s}{v_1}$小时；
2. 计算下坡时间：同理，下坡时间为$\frac{s}{v_2}$小时；
3. 计算平均速度：总路程为上下坡路程之和，即$2s$千米，总时间为$\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}$小时，因此平均速度为：
$\mathrm{平均速度} = \frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}} = \frac{2s}{\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}}$
对分母通分并化简：
$\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} = s(\frac{v_2 + v_1}{v_1v_2})$
代入平均速度公式，约去$s$后得：
$\frac{2s}{s(\frac{v_1 + v_2}{v_1v_2})} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} \mathrm{千米/时}$
【答案】$\dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$
【知识点】平均速度的计算、分式的化简
【点评】本题易错点是误将平均速度当作$\frac{v_1 + v_2}{2}$，需紧扣平均速度的定义，通过设辅助量$s$简化计算，是分式应用的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
13. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,点E和点F分别在AD和BC上,BE和AF相交于点G,CE和DF相交于点H.若$S_{△ ABG}=1$,$S_{△ DHC}=1.5$,则阴影部分的面积为
2.5
.答案
13. 2.5 【点拨】本题考查三角形面积公式的综合应用.
【解析】如题图,连接 $EF$. $\because AD // BC$,$\therefore$ 点 $A$ 到 $BC$ 的距离与点 $E$ 到 $BC$ 的距离相等,设该距离为 $h$. $\because S_{△ ABF} = S_{△ EBF} = \dfrac{1}{2}BF · h$,$\therefore S_{△ ABF} - S_{△ BGF} = S_{△ EBF} - S_{△ BGF}$,即 $S_{△ EFG} = S_{△ ABG} = 1$. 同理, $S_{△ EFH} = S_{△ DCH} = 1.5$. $\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ EFG} + S_{△ EFH} = 1 + 1.5 = 2.5$. 故答案为2.5.
【解析】如题图,连接 $EF$. $\because AD // BC$,$\therefore$ 点 $A$ 到 $BC$ 的距离与点 $E$ 到 $BC$ 的距离相等,设该距离为 $h$. $\because S_{△ ABF} = S_{△ EBF} = \dfrac{1}{2}BF · h$,$\therefore S_{△ ABF} - S_{△ BGF} = S_{△ EBF} - S_{△ BGF}$,即 $S_{△ EFG} = S_{△ ABG} = 1$. 同理, $S_{△ EFH} = S_{△ DCH} = 1.5$. $\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ EFG} + S_{△ EFH} = 1 + 1.5 = 2.5$. 故答案为2.5.
解析
【分析】
要解决这个问题，关键是利用梯形中AD//BC的性质，结合同底等高三角形面积相等的规律，通过构造辅助线将阴影部分面积转化为已知三角形面积的和。首先连接EF，利用平行线间的距离相等，得到同底三角形面积相等，再通过面积的差转化，求出阴影部分的面积。
【解析】
连接EF。
∵ AD//BC，
∴ 点A和点E到BC的距离相等，设该距离为h。
∵ △ABF与△EBF同底BF，高均为h，
∴ $ S_{△ ABF} = S_{△ EBF} $。
两边同时减去公共部分$ S_{△ BGF} $，得：
$ S_{△ ABF} - S_{△ BGF} = S_{△ EBF} - S_{△ BGF} $，即 $ S_{△ EFG} = S_{△ ABG} = 1 $。
同理，对于△DHC和△EFH：
∵ AD//BC，点D和点E到BC的距离相等，△DFC与△EFC同底FC，高相等，
∴ $ S_{△ DFC} = S_{△ EFC} $。
两边同时减去公共部分$ S_{△ FHC} $，得：
$ S_{△ DFC} - S_{△ FHC} = S_{△ EFC} - S_{△ FHC} $，即 $ S_{△ EFH} = S_{△ DHC} = 1.5 $。
因此，阴影部分面积为：
$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ EFG} + S_{△ EFH} = 1 + 1.5 = 2.5 $。
【答案】
2.5
【知识点】
梯形性质、三角形面积公式、平行线间的距离
【点评】
本题通过构造辅助线，利用“同底等高的三角形面积相等”的性质，将不规则阴影面积转化为已知三角形面积的和，核心是转化思想的应用，需要学生掌握梯形中平行线的距离特征，属于中等难度的几何面积问题。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，关键是利用梯形中AD//BC的性质，结合同底等高三角形面积相等的规律，通过构造辅助线将阴影部分面积转化为已知三角形面积的和。首先连接EF，利用平行线间的距离相等，得到同底三角形面积相等，再通过面积的差转化，求出阴影部分的面积。
【解析】
连接EF。
∵ AD//BC，
∴ 点A和点E到BC的距离相等，设该距离为h。
∵ △ABF与△EBF同底BF，高均为h，
∴ $ S_{△ ABF} = S_{△ EBF} $。
两边同时减去公共部分$ S_{△ BGF} $，得：
$ S_{△ ABF} - S_{△ BGF} = S_{△ EBF} - S_{△ BGF} $，即 $ S_{△ EFG} = S_{△ ABG} = 1 $。
同理，对于△DHC和△EFH：
∵ AD//BC，点D和点E到BC的距离相等，△DFC与△EFC同底FC，高相等，
∴ $ S_{△ DFC} = S_{△ EFC} $。
两边同时减去公共部分$ S_{△ FHC} $，得：
$ S_{△ DFC} - S_{△ FHC} = S_{△ EFC} - S_{△ FHC} $，即 $ S_{△ EFH} = S_{△ DHC} = 1.5 $。
因此，阴影部分面积为：
$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ EFG} + S_{△ EFH} = 1 + 1.5 = 2.5 $。
【答案】
2.5
【知识点】
梯形性质、三角形面积公式、平行线间的距离
【点评】
本题通过构造辅助线，利用“同底等高的三角形面积相等”的性质，将不规则阴影面积转化为已知三角形面积的和，核心是转化思想的应用，需要学生掌握梯形中平行线的距离特征，属于中等难度的几何面积问题。
【难度系数】
0.4
14. 如图,从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形,则图中阴影部分面积为
24
.答案
14. 24 【点拨】本题考查二次根式的应用,求出大正方形的边长是解题的关键.
【解析】由题图可知,大正方形边长为 $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2}$,$\therefore$ 大正方形的面积为 $(5\sqrt{2})^2 = 50$,$\therefore$ 阴影部分面积为 $50 - 8 - 18 = 24$. 故答案为24.
【解析】由题图可知,大正方形边长为 $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2}$,$\therefore$ 大正方形的面积为 $(5\sqrt{2})^2 = 50$,$\therefore$ 阴影部分面积为 $50 - 8 - 18 = 24$. 故答案为24.
解析
【分析】要计算阴影部分面积，需先求出大正方形的边长。根据正方形面积公式，面积为$ S $的正方形边长为$ \sqrt{S} $，由此可得两个小正方形的边长；观察图形可知，大正方形的边长等于这两个小正方形的边长之和，进而算出大正方形面积，最后用大正方形面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分面积。
【解析】1. 计算两个小正方形的边长：面积为8的小正方形边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，面积为18的小正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；
2. 确定大正方形的边长：由图形可知，大正方形的边长为两个小正方形边长之和，即$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$；
3. 计算大正方形的面积：$(5\sqrt{2})^2 = 50$；
4. 计算阴影部分面积：阴影部分面积 = 大正方形面积 - 面积为8的小正方形面积 - 面积为18的小正方形面积，即$50 - 8 - 18 = 24$。
【答案】24
【知识点】二次根式应用、正方形面积计算
【点评】本题结合图形的边长关系，利用二次根式的性质求解正方形边长，进而计算阴影面积，关键在于明确大正方形边长与两个小正方形边长的和的关系，属于基础的几何与代数结合题。
【难度系数】0.5
【解析】1. 计算两个小正方形的边长：面积为8的小正方形边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，面积为18的小正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；
2. 确定大正方形的边长：由图形可知，大正方形的边长为两个小正方形边长之和，即$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$；
3. 计算大正方形的面积：$(5\sqrt{2})^2 = 50$；
4. 计算阴影部分面积：阴影部分面积 = 大正方形面积 - 面积为8的小正方形面积 - 面积为18的小正方形面积，即$50 - 8 - 18 = 24$。
【答案】24
【知识点】二次根式应用、正方形面积计算
【点评】本题结合图形的边长关系，利用二次根式的性质求解正方形边长，进而计算阴影面积，关键在于明确大正方形边长与两个小正方形边长的和的关系，属于基础的几何与代数结合题。
【难度系数】0.5
15. 以正方形ABCD的边AD为边,作等边三角形ADE,连接BD,BE,则∠DEB的度数为
45°或135°
.答案
15. $45°$ 或 $135°$ 【点拨】本题考查正方形的性质.
【解析】如图所示,当 $E$ 位于正方形外部时,
$\because AE = AB$,$∠ EAB = 60° + 90° = 150°$.
$\therefore ∠ AEB = 15°$,$\therefore ∠ DEB = 60° - 15° = 45°$;
当 $E$ 位于正方形内部时,为 $E_1$,
$\because AE_1 = AB$,$∠ E_1AB = 90° - 60° = 30°$,
$\therefore ∠ AE_1B = 75°$,
$\therefore ∠ DE_1B = 60° + 75° = 135°$. 故答案为 $45°$ 或 $135°$.
解析
【分析】
本题需考虑以正方形边AD为边作等边三角形ADE的两种位置：点E在正方形ABCD的外部和内部，需采用分类讨论思想。利用正方形和等边三角形的边相等、角的度数，结合等腰三角形的性质，分别计算两种情况下∠DEB的度数，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点E在正方形ABCD的外部时：
∵ 四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，
∴ AB = AD = AE，∠BAD = 90°，∠DAE = 60°，
∴ ∠EAB = ∠BAD + ∠DAE = 90° + 60° = 150°，
在△ABE中，AB = AE，故△ABE为等腰三角形，
∴ ∠AEB = (180° - ∠EAB)÷2 = (180° - 150°)÷2 = 15°，
又
∵ ∠AED = 60°（等边三角形的内角），
∴ ∠DEB = ∠AED - ∠AEB = 60° - 15° = 45°。
2. 当点E在正方形ABCD的内部（即点E₁）时：
∵ 四边形ABCD是正方形，△ADE₁是等边三角形，
∴ AB = AD = AE₁，∠BAD = 90°，∠DAE₁ = 60°，
∴ ∠E₁AB = ∠BAD - ∠DAE₁ = 90° - 60° = 30°，
在△ABE₁中，AB = AE₁，故△ABE₁为等腰三角形，
∴ ∠AE₁B = (180° - ∠E₁AB)÷2 = (180° - 30°)÷2 = 75°，
又
∵ ∠AE₁D = 60°（等边三角形的内角），
∴ ∠DE₁B = ∠AE₁B + ∠AE₁D = 75° + 60° = 135°。
综上，∠DEB的度数为45°或135°。
【答案】
$45°$ 或 $135°$
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何计算中的应用，需注意等边三角形相对于正方形的两种位置，避免漏解，同时结合正方形、等边三角形的性质和等腰三角形的角度计算方法求解，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
本题需考虑以正方形边AD为边作等边三角形ADE的两种位置：点E在正方形ABCD的外部和内部，需采用分类讨论思想。利用正方形和等边三角形的边相等、角的度数，结合等腰三角形的性质，分别计算两种情况下∠DEB的度数，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点E在正方形ABCD的外部时：
∵ 四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，
∴ AB = AD = AE，∠BAD = 90°，∠DAE = 60°，
∴ ∠EAB = ∠BAD + ∠DAE = 90° + 60° = 150°，
在△ABE中，AB = AE，故△ABE为等腰三角形，
∴ ∠AEB = (180° - ∠EAB)÷2 = (180° - 150°)÷2 = 15°，
又
∵ ∠AED = 60°（等边三角形的内角），
∴ ∠DEB = ∠AED - ∠AEB = 60° - 15° = 45°。
2. 当点E在正方形ABCD的内部（即点E₁）时：
∵ 四边形ABCD是正方形，△ADE₁是等边三角形，
∴ AB = AD = AE₁，∠BAD = 90°，∠DAE₁ = 60°，
∴ ∠E₁AB = ∠BAD - ∠DAE₁ = 90° - 60° = 30°，
在△ABE₁中，AB = AE₁，故△ABE₁为等腰三角形，
∴ ∠AE₁B = (180° - ∠E₁AB)÷2 = (180° - 30°)÷2 = 75°，
又
∵ ∠AE₁D = 60°（等边三角形的内角），
∴ ∠DE₁B = ∠AE₁B + ∠AE₁D = 75° + 60° = 135°。
综上，∠DEB的度数为45°或135°。
【答案】
$45°$ 或 $135°$
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何计算中的应用，需注意等边三角形相对于正方形的两种位置，避免漏解，同时结合正方形、等边三角形的性质和等腰三角形的角度计算方法求解，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
16. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
16. $\dfrac{18}{5}$ 【点拨】本题考查翻折变换的性质,矩形的性质,直角三角形的判定和勾股定理,掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应角和对应边相等是解题的关键.
【解析】如题图,连接 $BF$ 交 $AE$ 于点 $H$,$\because E$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore BE = \dfrac{1}{2}BC = 3$,$\therefore AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$,$\therefore BH = \dfrac{3 × 4}{5} = \dfrac{12}{5}$,则 $BF = \dfrac{24}{5}$. $\because FE = BE = EC$,$\therefore ∠ BFC = 90°$,$\therefore CF = \sqrt{BC^2 - BF^2} = \sqrt{6^2 - (\dfrac{24}{5})^2} = \dfrac{18}{5}$. 故答案为 $\dfrac{18}{5}$.
【解析】如题图,连接 $BF$ 交 $AE$ 于点 $H$,$\because E$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore BE = \dfrac{1}{2}BC = 3$,$\therefore AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$,$\therefore BH = \dfrac{3 × 4}{5} = \dfrac{12}{5}$,则 $BF = \dfrac{24}{5}$. $\because FE = BE = EC$,$\therefore ∠ BFC = 90°$,$\therefore CF = \sqrt{BC^2 - BF^2} = \sqrt{6^2 - (\dfrac{24}{5})^2} = \dfrac{18}{5}$. 故答案为 $\dfrac{18}{5}$.
解析
【分析】
要解决本题，需利用折叠的轴对称性质、矩形性质及直角三角形相关定理：首先根据矩形边长和E是BC中点求出BE长度，再用勾股定理算AE；接着利用折叠的对称性，通过面积法求BF的长度；最后由线段相等推出△BFC是直角三角形，用勾股定理计算CF。
【解析】
连接BF，交AE于点H。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，
∵ E为BC中点，BC=6，
∴ BE=EC=1/2 BC=3，
在Rt△ABE中，AB=4，BE=3，由勾股定理得：
AE=√(AB² + BE²)=√(4² + 3²)=5，
∵ △ABE沿AE折叠得到△AFE，
∴ AE垂直平分BF，即BH=FH，
由△ABE的面积两种表示：S△ABE=1/2 AB·BE=1/2 AE·BH，
代入数值：1/2 ×4×3=1/2 ×5×BH，解得BH=12/5，
∴ BF=2BH=24/5，
由折叠性质得FE=BE，又BE=EC，故FE=EC，
因此在△BFC中，FE=BE=EC，推出∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，BC=6，BF=24/5，由勾股定理得：
CF=√(BC² - BF²)=√(6² - (24/5)²)=√(36 - 576/25)=√(324/25)=18/5。
【答案】
$\dfrac{18}{5}$
【知识点】
翻折变换、矩形性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠的典型几何题，核心是利用折叠的轴对称性得到线段垂直关系，结合直角三角形的判定（由线段相等推出直角），运用勾股定理求解，需熟练掌握折叠性质和直角三角形相关定理，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用折叠的轴对称性质、矩形性质及直角三角形相关定理：首先根据矩形边长和E是BC中点求出BE长度，再用勾股定理算AE；接着利用折叠的对称性，通过面积法求BF的长度；最后由线段相等推出△BFC是直角三角形，用勾股定理计算CF。
【解析】
连接BF，交AE于点H。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，
∵ E为BC中点，BC=6，
∴ BE=EC=1/2 BC=3，
在Rt△ABE中，AB=4，BE=3，由勾股定理得：
AE=√(AB² + BE²)=√(4² + 3²)=5，
∵ △ABE沿AE折叠得到△AFE，
∴ AE垂直平分BF，即BH=FH，
由△ABE的面积两种表示：S△ABE=1/2 AB·BE=1/2 AE·BH，
代入数值：1/2 ×4×3=1/2 ×5×BH，解得BH=12/5，
∴ BF=2BH=24/5，
由折叠性质得FE=BE，又BE=EC，故FE=EC，
因此在△BFC中，FE=BE=EC，推出∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，BC=6，BF=24/5，由勾股定理得：
CF=√(BC² - BF²)=√(6² - (24/5)²)=√(36 - 576/25)=√(324/25)=18/5。
【答案】
$\dfrac{18}{5}$
【知识点】
翻折变换、矩形性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠的典型几何题，核心是利用折叠的轴对称性得到线段垂直关系，结合直角三角形的判定（由线段相等推出直角），运用勾股定理求解，需熟练掌握折叠性质和直角三角形相关定理，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
三、解答题(本大题共10小题,共102分.解答应写出过程)
答案
19.（本题满分10分）计算：
(1) $\frac{2x}{x^2-4} - \frac{1}{x-2}$
解：
原式$=\frac{2x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{2x-x-2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{1}{x+2}$
(2) $(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{2}}) - (\sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{6})$
解：
原式$=2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{8} - \sqrt{6}$
$=\sqrt{6} - \frac{5\sqrt{2}}{8}$
---
20.（本题满分10分）解方程：
(1) $\frac{3}{x-1} = \frac{5}{x+1}$
解：
方程两边同乘$(x-1)(x+1)$，得
$3(x+1)=5(x-1)$
展开得$3x+3=5x-5$
移项合并得$2x=8$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，$(x-1)(x+1)=15≠0$，
所以原分式方程的解为$x=4$。
(2) $x^2 - 6x + 3 = 0$
解：
移项得$x^2-6x=-3$
配方得$x^2-6x+9=-3+9$
即$(x-3)^2=6$
开方得$x-3=\pm\sqrt{6}$
解得$x_1=3+\sqrt{6}$，$x_2=3-\sqrt{6}$
---
21.（本题满分8分）
先化简，再求值：$(\frac{x^2}{x-1} - x +1)÷\frac{4x^2-4x+1}{1-x}$，其中$x$满足$2x^2+x-1=0$。
解：
原式$=[\frac{x^2}{x-1} - \frac{(x-1)^2}{x-1}] · \frac{-(x-1)}{(2x-1)^2}$
$=\frac{x^2-x^2+2x-1}{x-1} · \frac{-(x-1)}{(2x-1)^2}$
$=\frac{2x-1}{x-1} · \frac{-(x-1)}{(2x-1)^2}$
$=-\frac{1}{2x-1}$
由$2x^2+x-1=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$
当$x=\frac{1}{2}$时，$2x-1=0$，分式无意义，舍去
当$x=-1$时，原式$=-\frac{1}{2×(-1)-1}=\frac{1}{3}$
---
22.（本题满分8分）
在平面直角坐标系中，已知$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-4,3)$，$B(-3,1)$，$C(-1,3)$。
(1) ① 将$△ ABC$先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到$△ A_1B_1C_1$；
② $△ A_2B_2C_2$与$△ ABC$关于原点$O$中心对称。
(2) 若将$△ A_1B_1C_1$绕点$M$旋转一定角度后得到$△ A_2B_2C_2$，求点$M$的坐标。
解：
(1) ① 平移后对应点坐标为$A_1(0,2)$，$B_1(1,0)$，$C_1(3,2)$，依次连接三点即得$△ A_1B_1C_1$；
② 中心对称后对应点坐标为$A_2(4,-3)$，$B_2(3,-1)$，$C_2(1,-3)$，依次连接三点即得$△ A_2B_2C_2$。
(2) 旋转中心$M$为对应点连线的垂直平分线交点，坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$。
---
23.（本题满分10分）
某商场购进一批单价为4元的日用品。若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数$y$（件）与价格$x$（元/件）之间满足一次函数关系。
(1) 试求$y$与$x$之间的函数关系式；
(2) 当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
解：
(1) 设$y=kx+b$，将$(5,30000)$，$(6,20000)$代入得：
$\begin{cases}5k+b=30000 \\ 6k+b=20000\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10000 \\ b=80000\end{cases}$
所以$y$与$x$的函数关系式为$y=-10000x+80000$。
(2) 设每月利润为$W$元，
则$W=(x-4)y=(x-4)(-10000x+80000)$
$=-10000x^2 +120000x -320000$
$=-10000(x-6)^2 +40000$
因为$-10000＜0$，所以当$x=6$时，$W$取得最大值，最大值为40000元。
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元。
---
24.（本题满分10分）
如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$是$CD$的中点，连接$OE$。过点$C$作$CF// BD$交$OE$的延长线于点$F$，连接$DF$。
求证：(1) $△ ODE≌△ FCE$；(2) 四边形$OCFD$是矩形。
证明：
(1) $\because CF// BD$，
$\therefore ∠ ODE=∠ FCE$，
$\because E$是$CD$的中点，
$\therefore DE=CE$，
在$△ ODE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ ODE=∠ FCE \\ DE=CE \\ ∠ DEO=∠ CEF\end{cases}$
$\therefore △ ODE≌△ FCE(\mathrm{ASA})$。
(2) $\because △ ODE≌△ FCE$，
$\therefore OD=FC$，
又$\because CF// BD$，即$CF// OD$，
$\therefore$ 四边形$OCFD$是平行四边形，
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC⊥ BD$，即$∠ COD=90°$，
$\therefore$ 平行四边形$OCFD$是矩形。
---
25.（本题满分10分）
如图，已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(-1,m)$，过点$A$作$AB⊥ x$轴，垂足为点$B$，$△ AOB$的面积为2。若直线$y=ax+b$经过点$A$，并且经过反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上另一点$C(n,-2)$。
(1) 求反比例函数与直线$y=ax+b$的解析式；
(2) 求不等式$ax+b≥\frac{k}{x}$的解集。
解：
(1) $\because AB⊥ x$轴，$△ AOB$的面积为2，点$A(-1,m)$，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×|OB|×|AB|=\frac{1}{2}×1×|m|=2$，
解得$m=4$，即$A(-1,4)$，
将$A(-1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-1}$，$k=-4$，
所以反比例函数解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
将$C(n,-2)$代入$y=-\frac{4}{x}$，得$-2=-\frac{4}{n}$，解得$n=2$，即$C(2,-2)$。
将$A(-1,4)$、$C(2,-2)$代入$y=ax+b$得：
$\begin{cases}-a+b=4 \\ 2a+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2 \\ b=2\end{cases}$
所以直线的解析式为$y=-2x+2$。
(2) 结合函数图象，不等式$-2x+2≥ -\frac{4}{x}$的解集为$\boldsymbol{x≤ -1}$或$\boldsymbol{0＜x≤ 2}$。
---
26.（本题满分12分）
某中学组织学生去离学校15km的农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队和大队的速度各是多少？
解：
设大队的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则先遣队的速度为$1.2x\ \mathrm{km/h}$，
根据题意得：
$\frac{15}{x} - \frac{15}{1.2x} = 0.5$
方程两边同乘$1.2x$，得：
$18 - 15 = 0.6x$
解得$x=5$，
检验：当$x=5$时，$1.2x=6≠0$，所以原分式方程的解为$x=5$。
$1.2x=6$。
答：大队的速度是5km/h，先遣队的速度是6km/h。
---
27.（本题满分12分）
如图，正方形$ABCD$中，点$E$是$BC$延长线上一点，连接$AE$，点$F$是$AE$上一点，连接$BF$、$DF$，且$∠ ABF=∠ AFB$。
(1) 求证：$∠ BFD=135°$；
(2) 连接$BD$，若$AB=1$，$CF⊥ AE$，求$AE$的长。
证明：
(1) $\because ∠ ABF=∠ AFB$，
$\therefore AB=AF$，
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
$\therefore AF=AD$，
$\therefore ∠ ADF=∠ AFD$，
在$△ ABF$中，$∠ BAF + 2∠ AFB = 180°$，
在$△ ADF$中，$∠ DAF + 2∠ AFD = 180°$，
两式相加得：$∠ BAF+∠ DAF + 2(∠ AFB+∠ AFD)=360°$，
$\because ∠ BAF+∠ DAF=∠ BAD=90°$，$∠ AFB+∠ AFD=∠ BFD$，
$\therefore 90° + 2∠ BFD=360°$，
$\therefore ∠ BFD=135°$。
(2) 解：
$\because CF⊥ AE$，$AB=AF$，$AB=1$，
$\therefore BF⊥ AE$，$F$为$AE$中点，
$\therefore BF=AF=EF=AB=1$，
$\therefore △ ABF$为等边三角形，$∠ BAE=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ E=30°$，
$\therefore AE=2AB=2$。
---
28.（本题满分14分）
定义：若点$P(a,b)$在函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，将以$a$为二次项系数，$b$为一次项系数构造的二次函数$y=ax^2+bx$称为函数$y=\frac{1}{x}$的一个“派生函数”。
(1) 已知“派生函数”$y=\frac{1}{2} x^2 + n x$，求这个“派生函数”对应的点$P$的坐标；
(2) 函数$y=\frac{1}{x}$的所有“派生函数”的图象都经过同一点，请求出这个定点的坐标；
(3) 若“派生函数”$y=mx^2 +nx$的图象与$x$轴交于$A$、$B$两点，与函数$y=\frac{1}{x}$交于$C$、$D$两点，且$S_{△ OCD}=3S_{△ OAB}$，求$mn$的值。
解：
(1) 由派生函数定义得$a=\frac{1}{2}$，点$P(a,b)$在$y=\frac{1}{x}$上，
$\therefore b=\frac{1}{a}=2$，即$n=b=2$，
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(\frac{1}{2},2)$。
(2) 所有派生函数解析式为$y=ax^2+bx$，其中$ab=1$，
当$x=0$时，$y=0$，与$a,b$取值无关，
$\therefore$ 所有派生函数图象都经过定点$(0,0)$。
(3) 由派生函数定义可知，点$P(m,n)$在$y=\frac{1}{x}$上，
$\therefore mn=1$，即$mn$的值为$\boldsymbol{1}$。
(1) $\frac{2x}{x^2-4} - \frac{1}{x-2}$
解：
原式$=\frac{2x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{2x-x-2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{1}{x+2}$
(2) $(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{2}}) - (\sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{6})$
解：
原式$=2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{8} - \sqrt{6}$
$=\sqrt{6} - \frac{5\sqrt{2}}{8}$
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20.（本题满分10分）解方程：
(1) $\frac{3}{x-1} = \frac{5}{x+1}$
解：
方程两边同乘$(x-1)(x+1)$，得
$3(x+1)=5(x-1)$
展开得$3x+3=5x-5$
移项合并得$2x=8$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，$(x-1)(x+1)=15≠0$，
所以原分式方程的解为$x=4$。
(2) $x^2 - 6x + 3 = 0$
解：
移项得$x^2-6x=-3$
配方得$x^2-6x+9=-3+9$
即$(x-3)^2=6$
开方得$x-3=\pm\sqrt{6}$
解得$x_1=3+\sqrt{6}$，$x_2=3-\sqrt{6}$
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21.（本题满分8分）
先化简，再求值：$(\frac{x^2}{x-1} - x +1)÷\frac{4x^2-4x+1}{1-x}$，其中$x$满足$2x^2+x-1=0$。
解：
原式$=[\frac{x^2}{x-1} - \frac{(x-1)^2}{x-1}] · \frac{-(x-1)}{(2x-1)^2}$
$=\frac{x^2-x^2+2x-1}{x-1} · \frac{-(x-1)}{(2x-1)^2}$
$=\frac{2x-1}{x-1} · \frac{-(x-1)}{(2x-1)^2}$
$=-\frac{1}{2x-1}$
由$2x^2+x-1=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$
当$x=\frac{1}{2}$时，$2x-1=0$，分式无意义，舍去
当$x=-1$时，原式$=-\frac{1}{2×(-1)-1}=\frac{1}{3}$
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22.（本题满分8分）
在平面直角坐标系中，已知$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-4,3)$，$B(-3,1)$，$C(-1,3)$。
(1) ① 将$△ ABC$先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到$△ A_1B_1C_1$；
② $△ A_2B_2C_2$与$△ ABC$关于原点$O$中心对称。
(2) 若将$△ A_1B_1C_1$绕点$M$旋转一定角度后得到$△ A_2B_2C_2$，求点$M$的坐标。
解：
(1) ① 平移后对应点坐标为$A_1(0,2)$，$B_1(1,0)$，$C_1(3,2)$，依次连接三点即得$△ A_1B_1C_1$；
② 中心对称后对应点坐标为$A_2(4,-3)$，$B_2(3,-1)$，$C_2(1,-3)$，依次连接三点即得$△ A_2B_2C_2$。
(2) 旋转中心$M$为对应点连线的垂直平分线交点，坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$。
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23.（本题满分10分）
某商场购进一批单价为4元的日用品。若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数$y$（件）与价格$x$（元/件）之间满足一次函数关系。
(1) 试求$y$与$x$之间的函数关系式；
(2) 当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
解：
(1) 设$y=kx+b$，将$(5,30000)$，$(6,20000)$代入得：
$\begin{cases}5k+b=30000 \\ 6k+b=20000\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10000 \\ b=80000\end{cases}$
所以$y$与$x$的函数关系式为$y=-10000x+80000$。
(2) 设每月利润为$W$元，
则$W=(x-4)y=(x-4)(-10000x+80000)$
$=-10000x^2 +120000x -320000$
$=-10000(x-6)^2 +40000$
因为$-10000＜0$，所以当$x=6$时，$W$取得最大值，最大值为40000元。
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元。
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24.（本题满分10分）
如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$是$CD$的中点，连接$OE$。过点$C$作$CF// BD$交$OE$的延长线于点$F$，连接$DF$。
求证：(1) $△ ODE≌△ FCE$；(2) 四边形$OCFD$是矩形。
证明：
(1) $\because CF// BD$，
$\therefore ∠ ODE=∠ FCE$，
$\because E$是$CD$的中点，
$\therefore DE=CE$，
在$△ ODE$和$△ FCE$中，
$\begin{cases}∠ ODE=∠ FCE \\ DE=CE \\ ∠ DEO=∠ CEF\end{cases}$
$\therefore △ ODE≌△ FCE(\mathrm{ASA})$。
(2) $\because △ ODE≌△ FCE$，
$\therefore OD=FC$，
又$\because CF// BD$，即$CF// OD$，
$\therefore$ 四边形$OCFD$是平行四边形，
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC⊥ BD$，即$∠ COD=90°$，
$\therefore$ 平行四边形$OCFD$是矩形。
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25.（本题满分10分）
如图，已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(-1,m)$，过点$A$作$AB⊥ x$轴，垂足为点$B$，$△ AOB$的面积为2。若直线$y=ax+b$经过点$A$，并且经过反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上另一点$C(n,-2)$。
(1) 求反比例函数与直线$y=ax+b$的解析式；
(2) 求不等式$ax+b≥\frac{k}{x}$的解集。
解：
(1) $\because AB⊥ x$轴，$△ AOB$的面积为2，点$A(-1,m)$，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×|OB|×|AB|=\frac{1}{2}×1×|m|=2$，
解得$m=4$，即$A(-1,4)$，
将$A(-1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-1}$，$k=-4$，
所以反比例函数解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
将$C(n,-2)$代入$y=-\frac{4}{x}$，得$-2=-\frac{4}{n}$，解得$n=2$，即$C(2,-2)$。
将$A(-1,4)$、$C(2,-2)$代入$y=ax+b$得：
$\begin{cases}-a+b=4 \\ 2a+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2 \\ b=2\end{cases}$
所以直线的解析式为$y=-2x+2$。
(2) 结合函数图象，不等式$-2x+2≥ -\frac{4}{x}$的解集为$\boldsymbol{x≤ -1}$或$\boldsymbol{0＜x≤ 2}$。
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26.（本题满分12分）
某中学组织学生去离学校15km的农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队和大队的速度各是多少？
解：
设大队的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则先遣队的速度为$1.2x\ \mathrm{km/h}$，
根据题意得：
$\frac{15}{x} - \frac{15}{1.2x} = 0.5$
方程两边同乘$1.2x$，得：
$18 - 15 = 0.6x$
解得$x=5$，
检验：当$x=5$时，$1.2x=6≠0$，所以原分式方程的解为$x=5$。
$1.2x=6$。
答：大队的速度是5km/h，先遣队的速度是6km/h。
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27.（本题满分12分）
如图，正方形$ABCD$中，点$E$是$BC$延长线上一点，连接$AE$，点$F$是$AE$上一点，连接$BF$、$DF$，且$∠ ABF=∠ AFB$。
(1) 求证：$∠ BFD=135°$；
(2) 连接$BD$，若$AB=1$，$CF⊥ AE$，求$AE$的长。
证明：
(1) $\because ∠ ABF=∠ AFB$，
$\therefore AB=AF$，
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
$\therefore AF=AD$，
$\therefore ∠ ADF=∠ AFD$，
在$△ ABF$中，$∠ BAF + 2∠ AFB = 180°$，
在$△ ADF$中，$∠ DAF + 2∠ AFD = 180°$，
两式相加得：$∠ BAF+∠ DAF + 2(∠ AFB+∠ AFD)=360°$，
$\because ∠ BAF+∠ DAF=∠ BAD=90°$，$∠ AFB+∠ AFD=∠ BFD$，
$\therefore 90° + 2∠ BFD=360°$，
$\therefore ∠ BFD=135°$。
(2) 解：
$\because CF⊥ AE$，$AB=AF$，$AB=1$，
$\therefore BF⊥ AE$，$F$为$AE$中点，
$\therefore BF=AF=EF=AB=1$，
$\therefore △ ABF$为等边三角形，$∠ BAE=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ E=30°$，
$\therefore AE=2AB=2$。
---
28.（本题满分14分）
定义：若点$P(a,b)$在函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，将以$a$为二次项系数，$b$为一次项系数构造的二次函数$y=ax^2+bx$称为函数$y=\frac{1}{x}$的一个“派生函数”。
(1) 已知“派生函数”$y=\frac{1}{2} x^2 + n x$，求这个“派生函数”对应的点$P$的坐标；
(2) 函数$y=\frac{1}{x}$的所有“派生函数”的图象都经过同一点，请求出这个定点的坐标；
(3) 若“派生函数”$y=mx^2 +nx$的图象与$x$轴交于$A$、$B$两点，与函数$y=\frac{1}{x}$交于$C$、$D$两点，且$S_{△ OCD}=3S_{△ OAB}$，求$mn$的值。
解：
(1) 由派生函数定义得$a=\frac{1}{2}$，点$P(a,b)$在$y=\frac{1}{x}$上，
$\therefore b=\frac{1}{a}=2$，即$n=b=2$，
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(\frac{1}{2},2)$。
(2) 所有派生函数解析式为$y=ax^2+bx$，其中$ab=1$，
当$x=0$时，$y=0$，与$a,b$取值无关，
$\therefore$ 所有派生函数图象都经过定点$(0,0)$。
(3) 由派生函数定义可知，点$P(m,n)$在$y=\frac{1}{x}$上，
$\therefore mn=1$，即$mn$的值为$\boldsymbol{1}$。
解析
【分析】
本次解答题涵盖初中数学核心知识点，解题思路如下：1. 分式运算需先因式分解分母，通分后约分；二次根式计算需化为最简形式再合并。2. 解方程时，分式方程需转化为整式方程，求解后必须检验；一元二次方程可选用配方法等。3. 图形变换中，平移遵循“右加左减，上加下减”，中心对称坐标为原坐标的相反数，旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点。4. 函数应用需先建立函数模型，利用函数性质（如二次函数顶点）求最值。5. 几何证明需结合图形性质（如菱形对角线垂直、正方形四边相等），寻找全等、平行等关系。6. 新定义问题需准确理解定义，将其转化为常规知识点求解。
【解析】
19. (1) 对分母$x^2-4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，将$\frac{1}{x-2}$通分为$\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$，分子相减后约分得到$\frac{1}{x+2}$；(2) 将$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{8}$，合并同类二次根式得$\sqrt{6}-\frac{5\sqrt{2}}{8}$。
20. (1) 分式方程两边乘$(x-1)(x+1)$化为整式方程$3(x+1)=5(x-1)$，解得$x=4$，检验分母不为0，得解；(2) 移项后配方为$(x-3)^2=6$，开方得$x=3±\sqrt{6}$。
21. 化简括号内为$\frac{x^2-(x-1)^2}{x-1}=\frac{2x-1}{x-1}$，除法转化为乘法后约分，得$-\frac{1}{2x-1}$；由$2x^2+x-1=0$解得$x=\frac{1}{2}$或$x=-1$，舍去使分母为0的$x=\frac{1}{2}$，代入得$\frac{1}{3}$。
22. (1) 平移时横坐标加4，纵坐标减1，得$A_1(0,2)$等；中心对称坐标为原坐标相反数，得$A_2(4,-3)$等；(2) 旋转中心为对应点连线垂直平分线交点，计算得$M(2,-1)$。
23. (1) 设$y=kx+b$，代入$(5,30000)$和$(6,20000)$，解得$k=-10000$，$b=80000$，得$y=-10000x+80000$；(2) 利润$W=(x-4)y$，化为二次函数，顶点处$x=6$时$W$最大为40000元。
24. (1) 由$CF//BD$得内错角相等，$E$是中点得$DE=CE$，用ASA证$△ODE≌△FCE$；(2) 由全等得$OD=FC$，结合平行证平行四边形，菱形对角线垂直得直角，故为矩形。
25. (1) 由$△AOB$面积得$A(-1,4)$，代入反比例函数得$k=-4$，再求$C(2,-2)$，用两点式得直线$y=-2x+2$；(2) 结合图像得解集为$x≤-1$或$0＜x≤2$。
26. 设大队速度$x$，先遣队$1.2x$，由时间差列方程$\frac{15}{x}-\frac{15}{1.2x}=0.5$，解得$x=5$，检验得解，先遣队速度6km/h。
27. (1) 由$∠ABF=∠AFB$得$AB=AF$，正方形中$AB=AD$故$AF=AD$，利用三角形内角和推导得$∠BFD=135°$；(2) 由$CF⊥AE$得$F$是$AE$中点，结合正方形性质得$AE=2$。
28. (1) 派生函数中$a=\frac{1}{2}$，点$P$在$y=\frac{1}{x}$上得$b=2$，故$P(\frac{1}{2},2)$；(2) 所有派生函数$y=ax^2+bx$满足$ab=1$，代入$x=0$得$y=0$，定点为$(0,0)$；(3) 点$P(m,n)$在$y=\frac{1}{x}$上，故$mn=1$。
【答案】
19. (1) $\frac{1}{x+2}$；(2) $\sqrt{6} - \frac{5\sqrt{2}}{8}$
20. (1) $x=4$；(2) $x_1=3+\sqrt{6}, x_2=3-\sqrt{6}$
21. $\frac{1}{3}$
22. (1) 平移后$A_1(0,2), B_1(1,0), C_1(3,2)$，中心对称后$A_2(4,-3), B_2(3,-1), C_2(1,-3)$；(2) $(2,-1)$
23. (1) $y=-10000x+80000$；(2) 售价6元，最大利润40000元
24. 证明见上述过程
25. (1) 反比例函数$y=-\frac{4}{x}$，直线$y=-2x+2$；(2) $x≤-1$或$0＜x≤2$
26. 大队速度5km/h，先遣队速度6km/h
27. (1) 证明见上述过程；(2) $AE=2$
28. (1) $(\frac{1}{2},2)$；(2) $(0,0)$；(3) $1$
【知识点】
分式与二次根式运算、方程与函数应用、几何证明
【点评】
本题全面考查初中数学核心知识，涵盖运算、几何、函数及新定义题型，注重基础与综合应用，要求学生掌握各类题型的解题方法，同时关注细节（如分式有意义、方程检验），是典型的初中数学综合解答题，能有效区分学生的知识掌握程度。
【难度系数】
0.6
本次解答题涵盖初中数学核心知识点，解题思路如下：1. 分式运算需先因式分解分母，通分后约分；二次根式计算需化为最简形式再合并。2. 解方程时，分式方程需转化为整式方程，求解后必须检验；一元二次方程可选用配方法等。3. 图形变换中，平移遵循“右加左减，上加下减”，中心对称坐标为原坐标的相反数，旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点。4. 函数应用需先建立函数模型，利用函数性质（如二次函数顶点）求最值。5. 几何证明需结合图形性质（如菱形对角线垂直、正方形四边相等），寻找全等、平行等关系。6. 新定义问题需准确理解定义，将其转化为常规知识点求解。
【解析】
19. (1) 对分母$x^2-4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，将$\frac{1}{x-2}$通分为$\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$，分子相减后约分得到$\frac{1}{x+2}$；(2) 将$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{8}$，合并同类二次根式得$\sqrt{6}-\frac{5\sqrt{2}}{8}$。
20. (1) 分式方程两边乘$(x-1)(x+1)$化为整式方程$3(x+1)=5(x-1)$，解得$x=4$，检验分母不为0，得解；(2) 移项后配方为$(x-3)^2=6$，开方得$x=3±\sqrt{6}$。
21. 化简括号内为$\frac{x^2-(x-1)^2}{x-1}=\frac{2x-1}{x-1}$，除法转化为乘法后约分，得$-\frac{1}{2x-1}$；由$2x^2+x-1=0$解得$x=\frac{1}{2}$或$x=-1$，舍去使分母为0的$x=\frac{1}{2}$，代入得$\frac{1}{3}$。
22. (1) 平移时横坐标加4，纵坐标减1，得$A_1(0,2)$等；中心对称坐标为原坐标相反数，得$A_2(4,-3)$等；(2) 旋转中心为对应点连线垂直平分线交点，计算得$M(2,-1)$。
23. (1) 设$y=kx+b$，代入$(5,30000)$和$(6,20000)$，解得$k=-10000$，$b=80000$，得$y=-10000x+80000$；(2) 利润$W=(x-4)y$，化为二次函数，顶点处$x=6$时$W$最大为40000元。
24. (1) 由$CF//BD$得内错角相等，$E$是中点得$DE=CE$，用ASA证$△ODE≌△FCE$；(2) 由全等得$OD=FC$，结合平行证平行四边形，菱形对角线垂直得直角，故为矩形。
25. (1) 由$△AOB$面积得$A(-1,4)$，代入反比例函数得$k=-4$，再求$C(2,-2)$，用两点式得直线$y=-2x+2$；(2) 结合图像得解集为$x≤-1$或$0＜x≤2$。
26. 设大队速度$x$，先遣队$1.2x$，由时间差列方程$\frac{15}{x}-\frac{15}{1.2x}=0.5$，解得$x=5$，检验得解，先遣队速度6km/h。
27. (1) 由$∠ABF=∠AFB$得$AB=AF$，正方形中$AB=AD$故$AF=AD$，利用三角形内角和推导得$∠BFD=135°$；(2) 由$CF⊥AE$得$F$是$AE$中点，结合正方形性质得$AE=2$。
28. (1) 派生函数中$a=\frac{1}{2}$，点$P$在$y=\frac{1}{x}$上得$b=2$，故$P(\frac{1}{2},2)$；(2) 所有派生函数$y=ax^2+bx$满足$ab=1$，代入$x=0$得$y=0$，定点为$(0,0)$；(3) 点$P(m,n)$在$y=\frac{1}{x}$上，故$mn=1$。
【答案】
19. (1) $\frac{1}{x+2}$；(2) $\sqrt{6} - \frac{5\sqrt{2}}{8}$
20. (1) $x=4$；(2) $x_1=3+\sqrt{6}, x_2=3-\sqrt{6}$
21. $\frac{1}{3}$
22. (1) 平移后$A_1(0,2), B_1(1,0), C_1(3,2)$，中心对称后$A_2(4,-3), B_2(3,-1), C_2(1,-3)$；(2) $(2,-1)$
23. (1) $y=-10000x+80000$；(2) 售价6元，最大利润40000元
24. 证明见上述过程
25. (1) 反比例函数$y=-\frac{4}{x}$，直线$y=-2x+2$；(2) $x≤-1$或$0＜x≤2$
26. 大队速度5km/h，先遣队速度6km/h
27. (1) 证明见上述过程；(2) $AE=2$
28. (1) $(\frac{1}{2},2)$；(2) $(0,0)$；(3) $1$
【知识点】
分式与二次根式运算、方程与函数应用、几何证明
【点评】
本题全面考查初中数学核心知识，涵盖运算、几何、函数及新定义题型，注重基础与综合应用，要求学生掌握各类题型的解题方法，同时关注细节（如分式有意义、方程检验），是典型的初中数学综合解答题，能有效区分学生的知识掌握程度。
【难度系数】
0.6
17. (10 分)计算.
(1)$\dfrac{2a - 3}{a + 1} - \dfrac{a - 2}{a + 1}$；
(2)$(1 + \dfrac{1}{x}) · \dfrac{x}{x^2 - 1}$.
(1)$\dfrac{2a - 3}{a + 1} - \dfrac{a - 2}{a + 1}$；
(2)$(1 + \dfrac{1}{x}) · \dfrac{x}{x^2 - 1}$.
答案
17. 【点拨】本题考查分式的混合运算,分式通分时正确找出最简公因式是解题的关键.
【解析】(1) $\dfrac{2a - 3}{a + 1} - \dfrac{a - 2}{a + 1}$
$=\dfrac{2a - 3 - (a - 2)}{a + 1}$
$=\dfrac{2a - 3 - a + 2}{a + 1}$
$=\dfrac{a - 1}{a + 1}$.
(2) $(1 + \dfrac{1}{x}) · \dfrac{x}{x^2 - 1}$
$=\dfrac{x + 1}{x} · \dfrac{x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\dfrac{1}{x - 1}$.
【解析】(1) $\dfrac{2a - 3}{a + 1} - \dfrac{a - 2}{a + 1}$
$=\dfrac{2a - 3 - (a - 2)}{a + 1}$
$=\dfrac{2a - 3 - a + 2}{a + 1}$
$=\dfrac{a - 1}{a + 1}$.
(2) $(1 + \dfrac{1}{x}) · \dfrac{x}{x^2 - 1}$
$=\dfrac{x + 1}{x} · \dfrac{x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\dfrac{1}{x - 1}$.
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算，解题思路：（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，注意去括号时符号的变化；（2）先计算括号内的分式加法，通分后将异分母化为同分母，再对分母的多项式因式分解，最后根据分式乘法法则约分计算。
【解析】
(1) $\dfrac{2a - 3}{a + 1} - \dfrac{a - 2}{a + 1}$
$=\dfrac{2a - 3 - (a - 2)}{a + 1}$
$=\dfrac{2a - 3 - a + 2}{a + 1}$
$=\dfrac{a - 1}{a + 1}$；
(2) $(1 + \dfrac{1}{x}) · \dfrac{x}{x^2 - 1}$
$=\dfrac{x + 1}{x} · \dfrac{x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\dfrac{1}{x - 1}$。
【答案】
(1) $\dfrac{a - 1}{a + 1}$；(2) $\dfrac{1}{x - 1}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算
【点评】
本题为分式混合运算的基础题型，核心是掌握分式加减、乘除的运算法则，关键在于去括号时符号的处理和多项式的因式分解，属于学生应熟练掌握的常规运算题。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的混合运算，解题思路：（1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，注意去括号时符号的变化；（2）先计算括号内的分式加法，通分后将异分母化为同分母，再对分母的多项式因式分解，最后根据分式乘法法则约分计算。
【解析】
(1) $\dfrac{2a - 3}{a + 1} - \dfrac{a - 2}{a + 1}$
$=\dfrac{2a - 3 - (a - 2)}{a + 1}$
$=\dfrac{2a - 3 - a + 2}{a + 1}$
$=\dfrac{a - 1}{a + 1}$；
(2) $(1 + \dfrac{1}{x}) · \dfrac{x}{x^2 - 1}$
$=\dfrac{x + 1}{x} · \dfrac{x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\dfrac{1}{x - 1}$。
【答案】
(1) $\dfrac{a - 1}{a + 1}$；(2) $\dfrac{1}{x - 1}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算
【点评】
本题为分式混合运算的基础题型，核心是掌握分式加减、乘除的运算法则，关键在于去括号时符号的处理和多项式的因式分解，属于学生应熟练掌握的常规运算题。
【难度系数】
0.7
18. (10 分)解分式方程.
(1)$\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x}$；
(2)$\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{4x + 10}{3x - 6} - 2$.
(1)$\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x}$；
(2)$\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{4x + 10}{3x - 6} - 2$.
答案
18. 【点拨】本题考查解分式方程,解分式方程的思路是去分母,方程两边同时乘最简公分母,将分式方程转化为整式方程,解方程后要进行检验.
【解析】(1)$\dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{3}{x}$,
方程两边同乘 $x(x - 2)$,得 $x = 3(x - 2)$,
去括号得 $x = 3x - 6$,解得 $x = 3$,
检验:当 $x = 3$ 时,$x(x - 2) ≠ 0$,
$\therefore x = 3$ 是原分式方程的解.
(2)$\dfrac{5x - 4}{x - 2} = \dfrac{4x + 10}{3x - 6} - 2$,
原方程变形为 $\dfrac{5x - 4}{x - 2} = \dfrac{2(2x + 5)}{3(x - 2)} - 2$,
方程两边同乘 $3(x - 2)$,得
$3(5x - 4) = 2(2x + 5) - 2 × 3(x - 2)$,
去括号得 $15x - 12 = 4x + 10 - 6x + 12$,
解得 $x = 2$.
检验:当 $x = 2$ 时,$3(x - 2) = 0$,
$\therefore x = 2$ 不是原分式方程的解,原方程无解.
【解析】(1)$\dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{3}{x}$,
方程两边同乘 $x(x - 2)$,得 $x = 3(x - 2)$,
去括号得 $x = 3x - 6$,解得 $x = 3$,
检验:当 $x = 3$ 时,$x(x - 2) ≠ 0$,
$\therefore x = 3$ 是原分式方程的解.
(2)$\dfrac{5x - 4}{x - 2} = \dfrac{4x + 10}{3x - 6} - 2$,
原方程变形为 $\dfrac{5x - 4}{x - 2} = \dfrac{2(2x + 5)}{3(x - 2)} - 2$,
方程两边同乘 $3(x - 2)$,得
$3(5x - 4) = 2(2x + 5) - 2 × 3(x - 2)$,
去括号得 $15x - 12 = 4x + 10 - 6x + 12$,
解得 $x = 2$.
检验:当 $x = 2$ 时,$3(x - 2) = 0$,
$\therefore x = 2$ 不是原分式方程的解,原方程无解.
解析
【分析】解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程，具体步骤为：先确定各分母的最简公分母，利用等式性质，方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程后求解，最后必须代入最简公分母检验——若最简公分母不为0，则解有效；若为0，则是增根，原方程无解。
【解析】(1)对于方程$\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x}$，最简公分母为$x(x - 2)$，方程两边同乘$x(x - 2)$，得：
$x = 3(x - 2)$，
去括号得：$x = 3x - 6$，
移项、合并同类项得：$-2x = -6$，
解得：$x = 3$。
检验：当$x = 3$时，$x(x - 2) = 3×(3 - 2) = 3 ≠ 0$，
因此$x = 3$是原分式方程的解。
(2)对于方程$\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{4x + 10}{3x - 6} - 2$，先将分母因式分解：$3x - 6 = 3(x - 2)$，最简公分母为$3(x - 2)$，方程两边同乘$3(x - 2)$，得：
$3(5x - 4) = 2(2x + 5) - 2×3(x - 2)$，
去括号得：$15x - 12 = 4x + 10 - 6x + 12$，
移项、合并同类项得：$17x = 34$，
解得：$x = 2$。
检验：当$x = 2$时，$3(x - 2) = 3×(2 - 2) = 0$，
因此$x = 2$是增根，原分式方程无解。
【答案】(1)$x = 3$；(2)原方程无解
【知识点】解分式方程，分式方程的增根
【点评】本题考查分式方程的解法，重点是掌握“去分母转化整式方程”的方法，以及检验增根的关键步骤，第二题易因忽略检验得到错误解，需特别注意。
【难度系数】0.6
【解析】(1)对于方程$\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x}$，最简公分母为$x(x - 2)$，方程两边同乘$x(x - 2)$，得：
$x = 3(x - 2)$，
去括号得：$x = 3x - 6$，
移项、合并同类项得：$-2x = -6$，
解得：$x = 3$。
检验：当$x = 3$时，$x(x - 2) = 3×(3 - 2) = 3 ≠ 0$，
因此$x = 3$是原分式方程的解。
(2)对于方程$\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{4x + 10}{3x - 6} - 2$，先将分母因式分解：$3x - 6 = 3(x - 2)$，最简公分母为$3(x - 2)$，方程两边同乘$3(x - 2)$，得：
$3(5x - 4) = 2(2x + 5) - 2×3(x - 2)$，
去括号得：$15x - 12 = 4x + 10 - 6x + 12$，
移项、合并同类项得：$17x = 34$，
解得：$x = 2$。
检验：当$x = 2$时，$3(x - 2) = 3×(2 - 2) = 0$，
因此$x = 2$是增根，原分式方程无解。
【答案】(1)$x = 3$；(2)原方程无解
【知识点】解分式方程，分式方程的增根
【点评】本题考查分式方程的解法，重点是掌握“去分母转化整式方程”的方法，以及检验增根的关键步骤，第二题易因忽略检验得到错误解，需特别注意。
【难度系数】0.6
