26. (14分)(1)感知:
如图1,在等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=x,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段DB,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E,连接CD.则线段BC与DE的数量关系是,△BCD的面积为(用含x的式子表示);
(2)应用:
如图2,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=x,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段DB,连接CD,用含x的式子表示△BCD的面积,并说明理由;
(3)拓展:
如图3所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC=√29,将边AB绕点B顺时针旋转得到DB,当AB⊥BD时,连接CD,若△BCD的面积为25,则CD的长为.

26. 【点拨】本题考查图形的旋转变换,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理.
【解析】(1)$\because △ ABC$ 是等腰三角形,$∠ ACB = 90°$,
$\therefore CA = CB = x$,$∠ A = ∠ ABC = 45°$.
由旋转性质知 $BA = BD$,$∠ ABD = 90°$,
$\therefore ∠ DBE = 45°$.
又 $\because DE ⊥ CB$,
$\therefore ∠ BED = ∠ ACB = 90°$,
$\therefore △ ABC ≌ △ BDE$(AAS),
$\therefore BC = DE = x$.
$\therefore S_{△ BCD} = \dfrac{1}{2}BC · DE = \dfrac{1}{2}x^2$.
故答案为 $BC = DE$,$\dfrac{1}{2}x^2$.
(2)$S_{△ BCD} = \dfrac{1}{2}x^2$. 理由如下:
在题图2中,过点 $D$ 作 $DG ⊥ CB$ 交 $CB$ 的延长线于点 $G$,则 $∠ BGD = 90° = ∠ ACB$.
由旋转可得 $AB = BD$,$∠ ABD = 90°$,
$\therefore ∠ ABC + ∠ DBG = 90°$.
$\because ∠ ACB = 90°$,
$\therefore ∠ A + ∠ ABC = 90°$,
$\therefore ∠ A = ∠ DBG$,
$\therefore △ ABC ≌ △ BDG$(AAS),
$\therefore BC = DG = x$,
$\therefore S_{△ BCD} = \dfrac{1}{2}BC · DG = \dfrac{1}{2}x^2$.
(3)①当 $BD$ 在 $BC$ 上方时,如图,过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC$ 于点 $M$,过点 $D$ 作 $DN ⊥ CB$ 交 $CB$ 的延长线于点 $N$,

$\therefore ∠ AMB = ∠ N = 90°$,由旋转得 $AB = BD$,$∠ ABD = 90°$,
$\therefore ∠ ABM + ∠ DBN = 90°$.
又 $\because ∠ BAM + ∠ ABM = 90°$,
$\therefore ∠ BAM = ∠ DBN$,
$\therefore △ ABM ≌ △ BDN$(AAS),
$\therefore BM = DN$,$AM = BN$.
$\because AB = AC$,$AM ⊥ BC$,
$\therefore BM = \dfrac{1}{2}BC$,
$\therefore S_{△ BCD} = \dfrac{1}{2}BC · DN = BM^2 = 25$.
$\therefore BM = 5$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中,$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{29 - 25} = 2$,
$\therefore BN = 2$,$CN = 2BM + BN = 12$.
在 $\mathrm{Rt}△ CDN$ 中,$CD = \sqrt{CN^2 + DN^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$.
②当 $BD$ 在 $BC$ 下方时,与①同理可得:
$AM = BN = 2$,$BM = DN = 5$,
$\therefore CN = CB - BN = 2BM - BN = 8$,
在 $\mathrm{Rt}△ CDN$ 中,$CD = \sqrt{CN^2 + DN^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{89}$.
综上所述,$CD$ 的长为 13 或 $\sqrt{89}$.
故答案为 13 或 $\sqrt{89}$.

【分析】
本题是图形旋转的综合题，分三小问逐步推导：
1. 感知部分：利用旋转性质得AB=BD、∠ABD=90°，结合等腰直角三角形的角度，通过AAS证明三角形全等，得到BC与DE的数量关系，再用三角形面积公式计算△BCD的面积；
2. 应用部分：对一般直角三角形，作辅助线DG⊥CB，同理利用旋转性质和角度关系，AAS证明三角形全等，得到DG=BC，进而推导面积；
3. 拓展部分：AB=AC且AB旋转后与BD垂直，作两条垂线构造全等三角形，转化线段DN=BM，结合△BCD的面积求出BM，再用勾股定理计算AM，分BD在BC上方、下方两种情况，分别计算CD的长度。
【解析】
(1)
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴CA=CB=x，∠A=∠ABC=45°，
由旋转性质得BA=BD，∠ABD=90°，
∴∠DBE=180°-∠ABD-∠ABC=45°，
又
∵DE⊥CB，
∴∠BED=∠ACB=90°，
在△ABC和△BDE中，
$\{\begin{array}{l}∠ACB=∠BED \\ ∠A=∠DBE \\ AB=BD\end{array} $，
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
∴BC=DE=x，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BC·DE=\frac{1}{2}x^2$；
(2) $S_{△BCD}=\frac{1}{2}x^2$，理由如下：
过点D作DG⊥CB交CB的延长线于点G，则∠BGD=90°=∠ACB，
由旋转得AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBG=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DBG，
在△ABC和△BDG中，
$\{\begin{array}{l}∠ACB=∠BGD \\ ∠A=∠DBG \\ AB=BD\end{array} $，
∴△ABC≌△BDG(AAS)，
∴BC=DG=x，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BC·DG=\frac{1}{2}x^2$；
(3) 分两种情况：
①当BD在BC上方时，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥CB交CB的延长线于点N，
∴∠AMB=∠N=90°，由旋转得AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠ABM+∠DBN=90°，
又
∵∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠BAM=∠DBN，
在△ABM和△BDN中，
$\{\begin{array}{l}∠AMB=∠N \\ ∠BAM=∠DBN \\ AB=BD\end{array} $，
∴△ABM≌△BDN(AAS)，
∴BM=DN，AM=BN，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BM=$\frac{1}{2}BC$，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BC·DN=BM^2=25$，
∴BM=5，
在Rt△ABM中，AM=$\sqrt{AB^2 - BM^2}=\sqrt{29 - 25}=2$，
∴BN=2，CN=CB + BN=10 + 2=12，
在Rt△CDN中，CD=$\sqrt{CN^2 + DN^2}=\sqrt{12^2 +5^2}=13$；
②当BD在BC下方时，同理可得AM=BN=2，BM=DN=5，
∴CN=CB - BN=10 -2=8，
在Rt△CDN中，CD=$\sqrt{CN^2 + DN^2}=\sqrt{8^2 +5^2}=\sqrt{89}$，
综上，CD的长为13或$\sqrt{89}$。
【答案】(1) $BC=DE$，$\frac{1}{2}x^2$；(2) $\frac{1}{2}x^2$；(3) $13$或$\sqrt{89}$
【知识点】图形旋转、全等三角形判定、勾股定理
【点评】本题是图形旋转的综合题，核心是利用旋转性质构造全等三角形转化线段，拓展部分需分类讨论，考查逻辑推理与分类讨论能力，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.5