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27. (10分)(1)如图1,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=BC$,D是AB边上一点,F是BC边上一点,$∠ CDF=45°$.求证:$AC· BF=AD· BD$;
【尝试应用】
(2)如图2,在四边形ABFC中,D是AB边的中点,$∠ A=∠ B=∠ CDF=45°$,若$AC=9,BF=8$,求线段CF的长;
【拓展提高】
(3)如图3,在$△ ABC$中,$AB=4\sqrt{2},∠ B=45°$,以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点D在BC上,点E在AC上,若$CE=2\sqrt{5}$,求CD的长.
【尝试应用】
(2)如图2,在四边形ABFC中,D是AB边的中点,$∠ A=∠ B=∠ CDF=45°$,若$AC=9,BF=8$,求线段CF的长;
【拓展提高】
(3)如图3,在$△ ABC$中,$AB=4\sqrt{2},∠ B=45°$,以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点D在BC上,点E在AC上,若$CE=2\sqrt{5}$,求CD的长.
答案
27. 【点拨】本题是相似综合题,相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,熟练掌握一线三等角的基本几何模型是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because ∠ ACB = 90°$,$AC = BC$,$\therefore ∠ A = ∠ B = 45°$.
$\because ∠ A + ∠ ACD = ∠ CDF + ∠ BDF$,$∠ A = ∠ CDF = 45°$,
$\therefore ∠ ACD = ∠ BDF$,$\therefore △ ACD∽△ BDF$,
$\therefore \dfrac{AC}{BD} = \dfrac{AD}{BF}$. $\therefore AC · BF = AD · BD$.
(2)如图1,延长$AC$交$BF$的延长线于点$T$,
$\because ∠ A = ∠ CDF = ∠ B = 45°$,
$\therefore ∠ T = 90°$,$TA = TB$.
$\because ∠ CDB = ∠ A + ∠ ACD = ∠ CDF + ∠ BDF$,$\therefore ∠ ACD = ∠ BDF$,
$\therefore △ ACD∽△ BDF$,$\therefore \dfrac{AC}{BD} = \dfrac{AD}{BF}$.
$\because AD = DB$,$\therefore \dfrac{9}{AD} = \dfrac{AD}{8}$,$\therefore AD = 6\sqrt{2}$(负值已舍),
$\therefore AB = 2AD = 12\sqrt{2}$,$\therefore TA = TB = 12$.
$\therefore CT = 12 - 9 = 3$,$TF = 12 - 8 = 4$.
$\therefore CF = \sqrt{CT^2 + TF^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
(3)如图2,过点$E$作$EF$与$CD$交于点$F$,使$∠ EFD = 45°$.
$\because ∠ B = ∠ ADE = 45°$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ EDF$,
$\therefore △ ABD∽△ DFE$,
$\therefore \dfrac{AB}{DF} = \dfrac{AD}{DE}$.
$\because DE = \sqrt{2}AD$,$AB = 4\sqrt{2}$,$\therefore DF = \sqrt{2}AB = 8$.
$\because ∠ EFD = 45°$,$∠ AED = 45°$,$\therefore ∠ EFC = ∠ DEC = 135°$,
$\therefore △ EFC∽△ DEC$,$\therefore \dfrac{FC}{EC} = \dfrac{EC}{CD}$.
$\because EC = 2\sqrt{5}$,$\therefore EC^2 = FC · CD = FC × (8 + FC)$,
$\therefore 20 = FC × (8 + FC)$,解得$FC = 2$(负值已舍),$\therefore CD = 10$.
解析
【分析】
本题是相似三角形的综合应用，核心是利用“一线三等角”模型构造相似三角形。(1) 先由等腰直角三角形性质得∠A=∠B=45°，结合∠CDF=45°，通过角的和差关系推出等角，证△ACD∽△BDF，转化得乘积式；(2) 延长AC交BF延长线构造辅助线，证△ACD∽△BDF，结合D是AB中点的条件求AD，再利用等腰直角三角形性质算CT、TF，用勾股定理求CF；(3) 构造辅助线使∠EFD=45°，两次证相似，利用相似性质列方程求解CD。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°。
∵∠A + ∠ACD = ∠CDF + ∠BDF，且∠A=∠CDF=45°，
∴∠ACD=∠BDF，
∴△ACD∽△BDF，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BF}$，即$AC·BF=AD·BD$。
(2) 解：如图1，延长AC交BF的延长线于点T。
∵∠A=∠B=∠CDF=45°，
∴∠T=90°，TA=TB（等腰直角△TAB）。
∵∠CDB=∠A + ∠ACD=∠CDF + ∠BDF，
∴∠ACD=∠BDF，
∴△ACD∽△BDF，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BF}$。
∵D是AB中点，
∴AD=BD，代入AC=9，BF=8得：$\frac{9}{AD}=\frac{AD}{8}$，解得$AD=6\sqrt{2}$（舍去负值），
∴AB=2AD=12√2，TA=TB=12，
∴CT=12-9=3，TF=12-8=4，
在Rt△CTF中，CF=$\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(3) 解：如图2，过点E作EF交CD于点F，使∠EFD=45°。
∵∠B=∠ADE=45°，
∴∠BAD=∠EDF，
∴△ABD∽△DFE，
∴$\frac{AB}{DF}=\frac{AD}{DE}$。
∵△ADE是等腰直角三角形，DE=√2 AD，AB=4√2，
代入得DF=8。
∵∠EFD=45°，
∴∠EFC=135°=∠DEC，且∠ECF=∠DCE，
∴△EFC∽△DEC，
∴$\frac{FC}{EC}=\frac{EC}{CD}$，即$EC^2=FC·CD$。
∵CD=8+FC，CE=2√5，
∴20=FC(8+FC)，解得FC=2（舍去负值），
∴CD=10。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) CF=5；(3) CD=10；
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题以“一线三等角”模型为核心，结合多个几何知识点，考察辅助线构造与逻辑推理能力，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.4
本题是相似三角形的综合应用，核心是利用“一线三等角”模型构造相似三角形。(1) 先由等腰直角三角形性质得∠A=∠B=45°，结合∠CDF=45°，通过角的和差关系推出等角，证△ACD∽△BDF，转化得乘积式；(2) 延长AC交BF延长线构造辅助线，证△ACD∽△BDF，结合D是AB中点的条件求AD，再利用等腰直角三角形性质算CT、TF，用勾股定理求CF；(3) 构造辅助线使∠EFD=45°，两次证相似，利用相似性质列方程求解CD。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°。
∵∠A + ∠ACD = ∠CDF + ∠BDF，且∠A=∠CDF=45°，
∴∠ACD=∠BDF，
∴△ACD∽△BDF，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BF}$，即$AC·BF=AD·BD$。
(2) 解：如图1，延长AC交BF的延长线于点T。
∵∠A=∠B=∠CDF=45°，
∴∠T=90°，TA=TB（等腰直角△TAB）。
∵∠CDB=∠A + ∠ACD=∠CDF + ∠BDF，
∴∠ACD=∠BDF，
∴△ACD∽△BDF，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BF}$。
∵D是AB中点，
∴AD=BD，代入AC=9，BF=8得：$\frac{9}{AD}=\frac{AD}{8}$，解得$AD=6\sqrt{2}$（舍去负值），
∴AB=2AD=12√2，TA=TB=12，
∴CT=12-9=3，TF=12-8=4，
在Rt△CTF中，CF=$\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(3) 解：如图2，过点E作EF交CD于点F，使∠EFD=45°。
∵∠B=∠ADE=45°，
∴∠BAD=∠EDF，
∴△ABD∽△DFE，
∴$\frac{AB}{DF}=\frac{AD}{DE}$。
∵△ADE是等腰直角三角形，DE=√2 AD，AB=4√2，
代入得DF=8。
∵∠EFD=45°，
∴∠EFC=135°=∠DEC，且∠ECF=∠DCE，
∴△EFC∽△DEC，
∴$\frac{FC}{EC}=\frac{EC}{CD}$，即$EC^2=FC·CD$。
∵CD=8+FC，CE=2√5，
∴20=FC(8+FC)，解得FC=2（舍去负值），
∴CD=10。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) CF=5；(3) CD=10；
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题以“一线三等角”模型为核心，结合多个几何知识点，考察辅助线构造与逻辑推理能力，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.4
