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25. (8分)四川某地一村民2022年承包种植橙子200亩,由于第一年收成不错,该村民每年都增加种植面积,到2024年,共种植288亩.
(1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率;
(2)某水果批发店销售该种橙子,市场调查发现,当橙子售价为18元/千克时,每天能售出120千克,售价每降低2元,每天可多售出30千克,为了减少库存,该店决定降价促销,已知该橙子的平均成本价为8元/千克,若使销售该种橙子每天获利840元,则售价应降低多少元?
(1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率;
(2)某水果批发店销售该种橙子,市场调查发现,当橙子售价为18元/千克时,每天能售出120千克,售价每降低2元,每天可多售出30千克,为了减少库存,该店决定降价促销,已知该橙子的平均成本价为8元/千克,若使销售该种橙子每天获利840元,则售价应降低多少元?
答案
25. 【点拨】本题考查一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程很关键,注意(2)中利用总利润 = 每千克的利润 × 日销售量,列出方程求出符合题意的值即可.
【解析】(1)设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为$x$.
根据题意,得$200(1 + x)^2 = 288$.
解得$x_1 = 0.2 = 20\%$ ,$x_2 = -2.2$(不合题意,舍去).
答:该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20% .
(2)设售价应降低$y$元,则每千克销售利润为$(18 - y - 8)$元,每天能售出$(120 + 30 × \dfrac{y}{2})$千克,
根据题意,得$(18 - y - 8)(120 + 30 × \dfrac{y}{2}) = 840$.
整理得$y^2 - 2y - 24 = 0$.
解得$y_1 = 6$,$y_2 = -4$(不合题意,舍去).
答:售价应降低6元,能使销售该种橙子每天获利840元.
【解析】(1)设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为$x$.
根据题意,得$200(1 + x)^2 = 288$.
解得$x_1 = 0.2 = 20\%$ ,$x_2 = -2.2$(不合题意,舍去).
答:该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20% .
(2)设售价应降低$y$元,则每千克销售利润为$(18 - y - 8)$元,每天能售出$(120 + 30 × \dfrac{y}{2})$千克,
根据题意,得$(18 - y - 8)(120 + 30 × \dfrac{y}{2}) = 840$.
整理得$y^2 - 2y - 24 = 0$.
解得$y_1 = 6$,$y_2 = -4$(不合题意,舍去).
答:售价应降低6元,能使销售该种橙子每天获利840元.
解析
【分析】
本题分为两个小问，均需通过建立一元二次方程求解。第(1)问是平均增长率问题，核心等量关系为“初始种植亩数×(1+平均增长率)²=两年后的总种植亩数”，需注意增长率为正数，舍去不合题意的负解；第(2)问是销售利润问题，利用“总利润=每千克利润×日销售量”的等量关系，先表示出降价后的每千克利润和对应日销售量，再列方程，最终舍去不符合实际意义的解，结合题意确定答案。
【解析】
(1)设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为$x$。
根据题意，2022年种植200亩，2024年种植288亩，可列方程：
$200(1 + x)^2 = 288$
解方程得：$(1 + x)^2 = 1.44$，开方得$1 + x = ±1.2$，
解得$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（增长率为负不符合实际，舍去）。
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%。
(2)设售价应降低$y$元，则每千克销售利润为$(18 - y - 8)$元，
售价每降低2元多售30千克，故降价$y$元时每天可售出$(120 + 30×\frac{y}{2})$千克。
根据总利润公式，可列方程：
$(18 - y - 8)(120 + 30×\frac{y}{2}) = 840$
整理得：$(10 - y)(120 + 15y) = 840$，展开并化简得$y^2 - 2y - 24 = 0$，
解方程得：$(y - 6)(y + 4) = 0$，解得$y_1 = 6$，$y_2 = -4$（降价金额为负不符合实际，舍去）。
答：售价应降低6元，能使销售该种橙子每天获利840元。
【答案】
(1)20%；(2)6元
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用题，涵盖增长率和销售利润两类常见题型，解题关键是准确提取等量关系列方程，同时需注意舍去不符合实际意义的解，整体难度适中，是学生需熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
本题分为两个小问，均需通过建立一元二次方程求解。第(1)问是平均增长率问题，核心等量关系为“初始种植亩数×(1+平均增长率)²=两年后的总种植亩数”，需注意增长率为正数，舍去不合题意的负解；第(2)问是销售利润问题，利用“总利润=每千克利润×日销售量”的等量关系，先表示出降价后的每千克利润和对应日销售量，再列方程，最终舍去不符合实际意义的解，结合题意确定答案。
【解析】
(1)设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为$x$。
根据题意，2022年种植200亩，2024年种植288亩，可列方程：
$200(1 + x)^2 = 288$
解方程得：$(1 + x)^2 = 1.44$，开方得$1 + x = ±1.2$，
解得$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（增长率为负不符合实际，舍去）。
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%。
(2)设售价应降低$y$元，则每千克销售利润为$(18 - y - 8)$元，
售价每降低2元多售30千克，故降价$y$元时每天可售出$(120 + 30×\frac{y}{2})$千克。
根据总利润公式，可列方程：
$(18 - y - 8)(120 + 30×\frac{y}{2}) = 840$
整理得：$(10 - y)(120 + 15y) = 840$，展开并化简得$y^2 - 2y - 24 = 0$，
解方程得：$(y - 6)(y + 4) = 0$，解得$y_1 = 6$，$y_2 = -4$（降价金额为负不符合实际，舍去）。
答：售价应降低6元，能使销售该种橙子每天获利840元。
【答案】
(1)20%；(2)6元
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用题，涵盖增长率和销售利润两类常见题型，解题关键是准确提取等量关系列方程，同时需注意舍去不符合实际意义的解，整体难度适中，是学生需熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
26. (9分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y = -\dfrac{3}{4}x + 3$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,点$P$是线段$OA$上一动点(不与点$A$重合),过点$P$作$PC ⊥ AB$于点$C$.
(1)当点$P$是$OA$中点时,$△ APC$的面积为________;
(2)连接$BP$,若$BP$平分$∠ ABO$,求此时点$P$的坐标;
(3)设点$D$是$x$轴上方的坐标平面内一点,若以点$O,B,C,D$为顶点的四边形是菱形,求点$D$的坐标及此时$OP$的长.
(1)当点$P$是$OA$中点时,$△ APC$的面积为________;
(2)连接$BP$,若$BP$平分$∠ ABO$,求此时点$P$的坐标;
(3)设点$D$是$x$轴上方的坐标平面内一点,若以点$O,B,C,D$为顶点的四边形是菱形,求点$D$的坐标及此时$OP$的长.
答案
26. 【点拨】本题是一次函数综合题,考查待定系数法求解析式,全等三角形的判定和性质,勾股定理,菱形的性质等知识,利用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键.
【解析】(1)如图1,连接$BP$.
$\because$ 直线$y = -\dfrac{3}{4}x + 3$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,
$\therefore A(4,0)$,$B(0,3)$,
$\therefore OA = 4$,$OB = 3$,
$\therefore AB = \sqrt{OB^2 + OA^2} = 5$.
$\because P$是$OA$的中点,$\therefore AP = OP = 2$.
$\because S_{△ ABP} = \dfrac{1}{2} × AP × OB = \dfrac{1}{2} × AB × CP$,
$\therefore CP = \dfrac{6}{5}$,$\therefore AC = \sqrt{AP^2 - PC^2} = \sqrt{4 - \dfrac{36}{25}} = \dfrac{8}{5}$,
$\therefore S_{△ APC} = \dfrac{1}{2} × AC × PC = \dfrac{24}{25}$. 故答案为$\dfrac{24}{25}$.
(2)$\because BP$平分$∠ ABO$,$\therefore ∠ OBP = ∠ CBP$.
$\because BP = BP$,$∠ BOP = ∠ BCP = 90°$.
$\therefore △ BOP≌△ BCP(\mathrm{AAS})$. $\therefore BO = BC = 3$,$OP = CP$.
$\therefore AC = AB - BC = 5 - 3 = 2$.
$\because AP^2 = PC^2 + AC^2$,$\therefore (4 - OP)^2 = OP^2 + 4$,
$\therefore OP = \dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(\dfrac{3}{2},0)$.
(3)若$OB$为边,如图2,
设$C(a, -\dfrac{3}{4}a + 3)$,连接$OD$.
$\because$ 四边形$OCDB$是菱形,
$\therefore OC = CD = BD = OB = 3$,$BO// CD$,
$OD ⊥ BC$,
$\therefore (a - 0)^2 + (-\dfrac{3}{4}a + 3 - 0)^2 = 9$,
$\therefore a_1 = \dfrac{72}{25}$,$a_2 = 0$(不合题意,舍去),
$\therefore C(\dfrac{72}{25},\dfrac{21}{25})$.
$\because BO// CD$,$OB = CD = 3$,$\therefore D(\dfrac{72}{25},\dfrac{96}{25})$,
$\therefore$ 直线$OD$的解析式为$y = \dfrac{4}{3}x$.
$\because PC// OD$,$\therefore$ 设直线$PC$的解析式为$y = \dfrac{4}{3}x + b$,
$\therefore b = -3$,$\therefore$ 直线$PC$的解析式为$y = \dfrac{4}{3}x - 3$.
当$y = 0$时,$x = \dfrac{9}{4}$,即$P(\dfrac{9}{4},0)$,$\therefore OP = \dfrac{9}{4}$,
若$OB$为对角线,如图3.
设$C(a, -\dfrac{3}{4}a + 3)$,
连接$CD$,
$\because$ 四边形$OCBD$是菱形,
$\therefore OB$与$CD$互相垂直平分,
$\therefore$ 点$C$在$OB$的垂直平分线上,$\therefore \dfrac{3}{2} = -\dfrac{3}{4}a + 3$,
$\therefore a = 2$,$\therefore C(2,\dfrac{3}{2})$.
$\because$ 此时点$D$与点$C$关于$y$轴对称,$\therefore D(-2,\dfrac{3}{2})$.
$\because PC ⊥ AB$,$\therefore$ 直线$PC$的斜率$k = \dfrac{4}{3}$,
设直线$PC$的解析式为$y = \dfrac{4}{3}x + b$,
$\therefore \dfrac{3}{2} = \dfrac{4}{3} × 2 + b$,解得$b = -\dfrac{7}{6}$.
$\therefore$ 直线$PC$解析式为$y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{7}{6}$.
当$y = 0$时,$x = \dfrac{7}{8}$,即$P(\dfrac{7}{8},0)$,$\therefore OP = \dfrac{7}{8}$.
综上所述:若以点$O,B,C,D$为顶点的四边形是菱形,则$OP = \dfrac{7}{8}$,$D(-2,\dfrac{3}{2})$或$OP = \dfrac{9}{4}$,$D(\dfrac{72}{25},\dfrac{96}{25})$.
解析
【分析】
本题为一次函数综合题，分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：先求直线与坐标轴交点A、B的坐标，得到OA、OB、AB的长度；利用P是OA中点，通过△ABP的两种面积表示（以AP为底OB为高、以AB为底CP为高）求出CP，再用勾股定理计算AC，最终得到△APC的面积。
2. 第(2)问：由角平分线性质结合直角三角形全等判定（AAS）证明△BOP≌△BCP，得到BO=BC、OP=CP；设OP=x，用勾股定理在Rt△ACP中列方程求解，得到P点坐标。
3. 第(3)问：分OB为菱形的边和对角线两种情况，利用菱形的性质（边相等、对角线互相垂直平分），结合直线斜率关系（PC⊥AB），求出C点坐标，进而得到D点坐标和对应的OP长度，体现分类讨论思想的应用。
【解析】
(1) 对于直线$ y = -\dfrac{3}{4}x + 3 $，令$ x=0 $得$ y=3 $，故$ B(0,3) $；令$ y=0 $得$ x=4 $，故$ A(4,0) $。
因此$ OA=4 $，$ OB=3 $，由勾股定理得$ AB=\sqrt{OB^2+OA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5 $。
∵P是OA中点，
∴$ AP=OP=2 $。
△ABP的面积：$ S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2} × AP × OB=\dfrac{1}{2} × 2 × 3=3 $；
又$ S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2} × AB × CP $，即$ 3=\dfrac{1}{2} ×5 × CP $，解得$ CP=\dfrac{6}{5} $。
在Rt△APC中，$ AC=\sqrt{AP^2 - CP^2}=\sqrt{2^2 - (\dfrac{6}{5})^2}=\dfrac{8}{5} $，
∴$ S_{△ APC}=\dfrac{1}{2} × AC × CP=\dfrac{1}{2} × \dfrac{8}{5} × \dfrac{6}{5}=\dfrac{24}{25} $。
(2)
∵BP平分∠ABO，
∴$ ∠OBP=∠CBP $。
又$ ∠BOP=∠BCP=90° $，$ BP=BP $，
∴△BOP≌△BCP(AAS)，故$ BO=BC=3 $，$ OP=CP $。
∴$ AC=AB - BC=5-3=2 $。
设$ OP=x $，则$ CP=x $，$ AP=4 - x $，
在Rt△ACP中，由勾股定理：$ AP^2=CP^2 + AC^2 $，即$ (4 - x)^2=x^2 + 2^2 $，
展开得$ 16 -8x +x^2=x^2 +4 $，解得$ x=\dfrac{3}{2} $，故P点坐标为$ (\dfrac{3}{2},0) $。
(3) 分两种情况讨论：
① 当OB为菱形的边时：
设$ C(a, -\dfrac{3}{4}a +3) $，
∵四边形OCDB是菱形，
∴$ OC=OB=3 $，
故$ a^2 + (-\dfrac{3}{4}a +3)^2=9 $，
解得$ a=0 $（舍去）或$ a=\dfrac{72}{25} $，故$ C(\dfrac{72}{25},\dfrac{21}{25}) $。
∵BO//CD，$ CD=OB=3 $，
∴D点坐标为$ (\dfrac{72}{25},\dfrac{21}{25}+3)=(\dfrac{72}{25},\dfrac{96}{25}) $。
直线OD斜率为$ \dfrac{4}{3} $，PC⊥AB，故PC斜率为$ \dfrac{4}{3} $，设PC解析式为$ y=\dfrac{4}{3}x +b $，代入C点得$ b=-3 $，令$ y=0 $得$ x=\dfrac{9}{4} $，故$ OP=\dfrac{9}{4} $。
② 当OB为菱形的对角线时：
设$ C(a, -\dfrac{3}{4}a +3) $，
∵四边形OCBD是菱形，
∴OB与CD互相垂直平分，C在OB的垂直平分线$ y=\dfrac{3}{2} $上，
故$ -\dfrac{3}{4}a +3=\dfrac{3}{2} $，解得$ a=2 $，故$ C(2,\dfrac{3}{2}) $。
菱形OCBD中，D与C关于y轴对称，故$ D(-2,\dfrac{3}{2}) $。
PC斜率为$ \dfrac{4}{3} $，设PC解析式为$ y=\dfrac{4}{3}x +b $，代入C点得$ b=-\dfrac{7}{6} $，令$ y=0 $得$ x=\dfrac{7}{8} $，故$ OP=\dfrac{7}{8} $。
综上，点D的坐标为$ (-2,\dfrac{3}{2}) $时，$ OP=\dfrac{7}{8} $；点D的坐标为$ (\dfrac{72}{25},\dfrac{96}{25}) $时，$ OP=\dfrac{9}{4} $。
【答案】
$\dfrac{24}{25}$；(2)$(\dfrac{3}{2},0)$；(3)$ D(-2,\dfrac{3}{2}),OP=\dfrac{7}{8} $或$ D(\dfrac{72}{25},\dfrac{96}{25}),OP=\dfrac{9}{4} $
【知识点】
一次函数、全等三角形、勾股定理、菱形性质
【点评】
本题是一次函数综合压轴题，融合坐标与图形性质、全等三角形判定、勾股定理、菱形性质等知识点，核心考查分类讨论思想，对学生综合运用知识的能力要求较高，需熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.3
本题为一次函数综合题，分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：先求直线与坐标轴交点A、B的坐标，得到OA、OB、AB的长度；利用P是OA中点，通过△ABP的两种面积表示（以AP为底OB为高、以AB为底CP为高）求出CP，再用勾股定理计算AC，最终得到△APC的面积。
2. 第(2)问：由角平分线性质结合直角三角形全等判定（AAS）证明△BOP≌△BCP，得到BO=BC、OP=CP；设OP=x，用勾股定理在Rt△ACP中列方程求解，得到P点坐标。
3. 第(3)问：分OB为菱形的边和对角线两种情况，利用菱形的性质（边相等、对角线互相垂直平分），结合直线斜率关系（PC⊥AB），求出C点坐标，进而得到D点坐标和对应的OP长度，体现分类讨论思想的应用。
【解析】
(1) 对于直线$ y = -\dfrac{3}{4}x + 3 $，令$ x=0 $得$ y=3 $，故$ B(0,3) $；令$ y=0 $得$ x=4 $，故$ A(4,0) $。
因此$ OA=4 $，$ OB=3 $，由勾股定理得$ AB=\sqrt{OB^2+OA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5 $。
∵P是OA中点，
∴$ AP=OP=2 $。
△ABP的面积：$ S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2} × AP × OB=\dfrac{1}{2} × 2 × 3=3 $；
又$ S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2} × AB × CP $，即$ 3=\dfrac{1}{2} ×5 × CP $，解得$ CP=\dfrac{6}{5} $。
在Rt△APC中，$ AC=\sqrt{AP^2 - CP^2}=\sqrt{2^2 - (\dfrac{6}{5})^2}=\dfrac{8}{5} $，
∴$ S_{△ APC}=\dfrac{1}{2} × AC × CP=\dfrac{1}{2} × \dfrac{8}{5} × \dfrac{6}{5}=\dfrac{24}{25} $。
(2)
∵BP平分∠ABO，
∴$ ∠OBP=∠CBP $。
又$ ∠BOP=∠BCP=90° $，$ BP=BP $，
∴△BOP≌△BCP(AAS)，故$ BO=BC=3 $，$ OP=CP $。
∴$ AC=AB - BC=5-3=2 $。
设$ OP=x $，则$ CP=x $，$ AP=4 - x $，
在Rt△ACP中，由勾股定理：$ AP^2=CP^2 + AC^2 $，即$ (4 - x)^2=x^2 + 2^2 $，
展开得$ 16 -8x +x^2=x^2 +4 $，解得$ x=\dfrac{3}{2} $，故P点坐标为$ (\dfrac{3}{2},0) $。
(3) 分两种情况讨论：
① 当OB为菱形的边时：
设$ C(a, -\dfrac{3}{4}a +3) $，
∵四边形OCDB是菱形，
∴$ OC=OB=3 $，
故$ a^2 + (-\dfrac{3}{4}a +3)^2=9 $，
解得$ a=0 $（舍去）或$ a=\dfrac{72}{25} $，故$ C(\dfrac{72}{25},\dfrac{21}{25}) $。
∵BO//CD，$ CD=OB=3 $，
∴D点坐标为$ (\dfrac{72}{25},\dfrac{21}{25}+3)=(\dfrac{72}{25},\dfrac{96}{25}) $。
直线OD斜率为$ \dfrac{4}{3} $，PC⊥AB，故PC斜率为$ \dfrac{4}{3} $，设PC解析式为$ y=\dfrac{4}{3}x +b $，代入C点得$ b=-3 $，令$ y=0 $得$ x=\dfrac{9}{4} $，故$ OP=\dfrac{9}{4} $。
② 当OB为菱形的对角线时：
设$ C(a, -\dfrac{3}{4}a +3) $，
∵四边形OCBD是菱形，
∴OB与CD互相垂直平分，C在OB的垂直平分线$ y=\dfrac{3}{2} $上，
故$ -\dfrac{3}{4}a +3=\dfrac{3}{2} $，解得$ a=2 $，故$ C(2,\dfrac{3}{2}) $。
菱形OCBD中，D与C关于y轴对称，故$ D(-2,\dfrac{3}{2}) $。
PC斜率为$ \dfrac{4}{3} $，设PC解析式为$ y=\dfrac{4}{3}x +b $，代入C点得$ b=-\dfrac{7}{6} $，令$ y=0 $得$ x=\dfrac{7}{8} $，故$ OP=\dfrac{7}{8} $。
综上，点D的坐标为$ (-2,\dfrac{3}{2}) $时，$ OP=\dfrac{7}{8} $；点D的坐标为$ (\dfrac{72}{25},\dfrac{96}{25}) $时，$ OP=\dfrac{9}{4} $。
【答案】
$\dfrac{24}{25}$；(2)$(\dfrac{3}{2},0)$；(3)$ D(-2,\dfrac{3}{2}),OP=\dfrac{7}{8} $或$ D(\dfrac{72}{25},\dfrac{96}{25}),OP=\dfrac{9}{4} $
【知识点】
一次函数、全等三角形、勾股定理、菱形性质
【点评】
本题是一次函数综合压轴题，融合坐标与图形性质、全等三角形判定、勾股定理、菱形性质等知识点，核心考查分类讨论思想，对学生综合运用知识的能力要求较高，需熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.3
