23. (7 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,$DE ⊥ BC$于点$E$,$CF ⊥ AB$交$AB$的延长线于点$F$.
(1)求证:$△ CBF ∽ △ DCE$;
(2)若$E$恰为$BC$中点,且$AB=9$,$BF=2$,求$AD$的长.

23. 【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,解决本题的关键是根据三角形相似得到对应线段成比例,从而求出线段的长度.
【解析】(1)证明:$\because DE ⊥ BC$,$CF ⊥ AB$,$\therefore ∠ DEC = ∠ F = 90°$.
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AB// CD$,$AB = CD$,$AD = BC$.
$\therefore ∠ DCE = ∠ CBF$,$\therefore △ CBF∽△ DCE$.
(2)$\because$ 点$E$为$BC$的中点,$AB = 9$,$BF = 2$,
$\therefore CE = \dfrac{1}{2}BC$,$DC = AB = 9$. 设$AD = BC = x$,则$CE = \dfrac{1}{2}x$.
由(1)得$△ CBF∽△ DCE$,$\therefore \dfrac{CB}{DC} = \dfrac{BF}{CE}$,
$\therefore \dfrac{x}{9} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{2}x}$,解得$x = 6$(负值已舍去). $\therefore AD = 6$.

【分析】
第(1)问要证明△CBF和△DCE相似，先根据垂直关系得到两个直角相等，再利用平行四边形对边平行的性质得到一组对应角相等，结合两角对应相等即可证明相似；第(2)问利用平行四边形对边相等的性质，结合E是BC中点得到CE与BC的关系，再根据(1)中相似三角形的对应边成比例列出方程，求解得到AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE⊥BC，CF⊥AB，
∴ ∠DEC = ∠F = 90°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB = CD，AD = BC，
∴ ∠DCE = ∠CBF，
∴ △CBF∽△DCE（两角对应相等，三角形相似）。
(2) 解：
设AD = BC = x，
∵ E为BC中点，
∴ CE = ½BC = ½x。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB = 9，
∴ CD = AB = 9。
由(1)知△CBF∽△DCE，
∴ 对应边成比例：$\frac{CB}{DC} = \frac{BF}{CE}$，
代入得：$\frac{x}{9} = \frac{2}{\frac{1}{2}x}$，
整理得：$\frac{1}{2}x^2 = 18$，
解得：$x^2 = 36$，$x = 6$（负值舍去），
∴ AD = 6。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形判定与性质、平行四边形性质
【点评】
本题结合平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，考查学生的逻辑推理与方程思想的应用，解题关键是利用平行四边形的边、角关系，结合相似三角形的比例关系建立方程求解。
【难度系数】
0.5

24. (6分)按要求作图,不用写作法.
(1)如图1,已知∠AOB,OA = OB,点E在OB边上,四边形AEBF是平行四边形,只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线;
(2)如图2,在边长为1个单位长度的方格纸上,有△ABC,请作一个格点△DEF,使△DEF与△ABC相似,相似比$\sqrt{5}:1$.

24. 【点拨】本题考查作图中的相似变换,平行四边形的性质,角平分线的定义等知识,解题的关键是理解题意,结合平行四边形的性质,角平分线的定义,相似三角形的性质等知识按要求作图即可.
【解析】(1)如图1,射线$OT$即为所求.
$\because$ 四边形$AEBF$为平行四边形,$\therefore AT = BT$.
$\because OA = OB$,$\therefore OT$是$∠ AOB$的平分线(三线合一).

(2)如图2,$△ DEF$即为所求.
由图可知$AB = 1$,$AC = \sqrt{2}$,$BC = \sqrt{5}$,
则$DE = \sqrt{5}$,$DF = \sqrt{10}$,$EF = 5$.

【分析】
本题分为两小问，(1)需利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合等腰三角形三线合一的性质作角平分线；(2)需先计算△ABC的三边长度，再根据相似比求出△DEF的三边，在方格纸上找到对应格点完成相似三角形作图。
(1) 思路：平行四边形AEBF的对角线AB与EF交于点T，则T为AB中点，结合OA=OB，等腰△OAB中，中线OT即为角平分线；
(2) 思路：先求△ABC三边，再按相似比√5:1放大得到△DEF的三边，在方格中确定格点画出三角形。
【解析】
(1) 连接平行四边形AEBF的对角线AB、EF，两线交于点T，连接射线OT。
理由：
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴AB与EF互相平分，即T为AB中点；又OA=OB，
∴在等腰△OAB中，OT是底边AB的中线，根据等腰三角形三线合一，OT平分∠AOB，故射线OT即为所求。
(2) 计算△ABC的三边：AB=1，AC=√(1²+1²)=√2，BC=√(1²+2²)=√5。
∵△DEF与△ABC相似，相似比为√5:1，
∴△DEF的三边为：DE=AB×√5=√5，DF=AC×√5=√10，EF=BC×√5=5。
在方格纸上找到对应格点F、D、E，连接三点得到△DEF，即为所求的格点相似三角形。
【答案】
(1) 射线OT（如图1，）；
(2) △DEF（如图2，）。
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形三线合一、相似三角形性质
【点评】
本题考查几何作图，结合平行四边形、等腰三角形、相似三角形的核心性质，要求学生灵活运用几何定理解决作图问题，既考查基础性质的应用，又涉及相似比的计算，是几何知识的综合应用。
【难度系数】
0.5