三、解答题(本大题共9小题,共64分.解答应写出过程)
19. (6分)解方程.
(1)$x^2 - 7x + 10 = 0$;
(2)$(x - 3)^2 = 2x - 6$.

19. 【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程,先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式积的形式,这样也就把原方程进行了降次,使这两个一次因式分别为0,求出未知数的值即可.
【解析】(1) $x^2 - 7x + 10 = 0$
$(x - 5)(x - 2) = 0$
$x - 5 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得 $x_1 = 5$,$x_2 = 2$.
(2) $(x - 3)^2 = 2x - 6$
$(x - 3)^2 - 2(x - 3) = 0$
$(x - 3)(x - 3 - 2) = 0$
$(x - 3)(x - 5) = 0$
解得 $x_1 = 3$,$x_2 = 5$.

【分析】
解这两个一元二次方程采用因式分解法，核心思路是先将方程变形为右边为0的形式，再把左边的多项式因式分解为两个一次因式的乘积，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程降次为两个一元一次方程，进而求解。第(1)题直接对二次三项式因式分解，第(2)题先移项使右边为0，再提取公因式因式分解。
【解析】
(1) 解方程 $x^2 - 7x + 10 = 0$：
对左边二次三项式因式分解得：
$(x - 5)(x - 2) = 0$
根据因式分解法的原理，可得：
$x - 5 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = 2$。
(2) 解方程 $(x - 3)^2 = 2x - 6$：
先移项使右边为0：
$(x - 3)^2 - 2(x - 3) = 0$
提取公因式 $(x - 3)$ 因式分解得：
$(x - 3)(x - 3 - 2) = 0$
化简得：
$(x - 3)(x - 5) = 0$
可得：
$x - 3 = 0$ 或 $x - 5 = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = 5$。
【答案】
(1) $x_1 = 5$，$x_2 = 2$；(2) $x_1 = 3$，$x_2 = 5$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程，要求学生熟练掌握十字相乘法、提取公因式法等因式分解技巧，通过降次将二次方程转化为一次方程求解，是一元二次方程解法中的基础题型，侧重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

20. (6 分)先化简,再求值:$(1 - \dfrac{1}{m - 1}) ÷ \dfrac{m^2 - 4m + 4}{m^2 - m}$,其中 $m = 2 + \sqrt{2}$.

20. 【点拨】本题考查分式的化简求值,先计算括号内的分式减法,再把除法转化为乘法,约分后得到化简的结果,把$m$的值代入,分母有理化后即可得出结果.
【解析】$(1 - \dfrac{1}{m - 1}) ÷ \dfrac{m^2 - 4m + 4}{m^2 - m}$
$= \dfrac{m - 2}{m - 1} · \dfrac{m(m - 1)}{(m - 2)^2}$
$= \dfrac{m}{m - 2}$,
当$m = 2 + \sqrt{2}$时,原式$= \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2} - 2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1$.

【分析】本题是分式的化简求值题，解题思路如下：①先计算括号内的分式减法，需通分将1转化为同分母分式，再进行分子的减法运算；②将除法转化为乘法，同时对分子、分母的多项式进行因式分解，便于后续约分；③对约分后的最简分式代入给定的m值，最后通过分母有理化得到最终结果。
【解析】原式$=\dfrac{m - 2}{m - 1} ÷ \dfrac{(m - 2)^2}{m(m - 1)}$
$=\dfrac{m - 2}{m - 1} · \dfrac{m(m - 1)}{(m - 2)^2}$
$=\dfrac{m}{m - 2}$
当$m = 2 + \sqrt{2}$时，原式$=\dfrac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2} - 2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1$
【答案】$\sqrt{2} + 1$
【知识点】分式的化简求值，因式分解
【点评】本题考查分式的基本运算，属于基础题型，解题时需注意分式运算的顺序、因式分解的正确性以及分母有理化的方法，整体难度不大，是分式章节的常考题型。
【难度系数】0.7

21. (6分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0$.
(1)求证:不论实数$m$取何值,方程总有实数根;
(2)若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长,当这个矩形的对角线长为5时,求$m$的值.

21. 【点拨】本题考查根与系数的关系,若$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两根时,$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$,$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$,也考查根的判别式和矩形的性质.
【解析】(1)证明:$\because \Delta = [-(m + 5)]^2 - 4(3m + 6)$
$= m^2 - 2m + 1$
$= (m - 1)^2 ≥ 0$.
$\therefore$ 无论实数$m$取何值,方程总有实数根.
(2)设矩形两邻边长为$a,b$,根据根与系数的关系得$a + b = m + 5 ＞ 0$,$ab = 3m + 6 ＞ 0$.
$\because a^2 + b^2 = 25$,$\therefore (a + b)^2 - 2ab = 25$.
即$(m + 5)^2 - 2(3m + 6) = 25$.
整理得$m^2 + 4m - 12 = 0$.
解得$m_1 = 2$,$m_2 = -6$(舍去),$\therefore m$的值为2.

【分析】
要解决这道题，分两步思考：(1) 证明一元二次方程总有实数根，需利用根的判别式，计算判别式并化简，证明其恒非负；(2) 利用矩形邻边是方程两根，结合矩形对角线与邻边的勾股关系，通过根与系数的关系（韦达定理）建立关于m的方程，求解后根据边长为正的条件舍去不符合的解。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0$，其判别式为：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(m+5)]^2 - 4×1×(3m+6)\\&=m^2 +10m +25 -12m -24\\&=m^2 -2m +1\\&=(m-1)^2\end{aligned}$
因为任何实数的平方都非负，即$(m-1)^2≥0$，所以不论实数$m$取何值，方程总有实数根。
(2) 设矩形两邻边长为$a,b$，根据题意，$a,b$是方程的两根，由根与系数的关系得：
$a + b = m +5$，$ab=3m +6$。
因为矩形对角线长为5，由勾股定理得$a^2 + b^2 =5^2=25$。
又因为$a^2 + b^2=(a + b)^2 -2ab$，代入得：
$(m+5)^2 -2(3m +6)=25$
展开并整理方程：
$m^2 +10m +25 -6m -12=25\\m^2 +4m -12=0$
因式分解得$(m+6)(m-2)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=-6$。
因为矩形边长为正，所以$a + b = m +5＞0$，$ab=3m +6＞0$：
当$m=-6$时，$a + b=-1＜0$，不符合实际，舍去；
当$m=2$时，$a + b=7＞0$，$ab=12＞0$，符合条件。
故$m$的值为2。
【答案】
$m=2$
【知识点】
根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，矩形性质
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关知识与矩形的性质，需熟练运用判别式判断根的情况，利用韦达定理转化代数关系，同时注意实际问题中边长为正的隐含约束，是初中数学的常规综合题型。
【难度系数】
0.6

22. (6分)如图,在四边形ABCD中,AB//DC,AB=DA,对角线AC,BD交于点O,且AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)连接OE,交CB于点F,若∠ACB=20°,则∠CFE=度.

22. 【点拨】本题考查菱形的判定和性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定和性质,掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because AB// CD$,$\therefore ∠ CAB = ∠ DCA$.
$\because AC$为$∠ DAB$的平分线,$\therefore ∠ CAB = ∠ DAC$,
$\therefore ∠ DCA = ∠ DAC$,$\therefore CD = AD$,$\therefore AB = CD$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$为平行四边形.
$\because AD = AB$,$\therefore$ 平行四边形$ABCD$是菱形.
(2)$\because CE ⊥ AB$,$\therefore ∠ CEA = 90°$.
$\because AO = EO$,$\therefore ∠ OEA = ∠ BAC = ∠ ACB = 20°$.
$\therefore ∠ COE = 40°$,$\therefore ∠ CFE = ∠ COE + ∠ BCA = 60°$.
故答案为60.

【分析】
要解决本题，分两步：(1)证明四边形ABCD是菱形，先利用平行线性质和角平分线得到CD=AD，结合已知AB=DA推出AB=CD，由AB//CD得平行四边形，再根据邻边相等证菱形；(2)求∠CFE，利用菱形性质得∠BAC=∠ACB=20°，结合直角三角形斜边中线性质得OE=OA，推出∠OEA=20°，再利用三角形外角性质计算角度。
【解析】
(1)证明：
∵ AB//DC，
∴ ∠CAB = ∠DCA（两直线平行，内错角相等）。
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠CAB = ∠DAC，
∴ ∠DCA = ∠DAC，
∴ CD = AD（等角对等边）。
又
∵ AB = DA，
∴ AB = CD，
∵ AB//DC且AB=CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又
∵ AD = AB，
∴ 平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2)解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC，O是AC中点（菱形对角线互相平分），
∴ ∠BAC = ∠ACB = 20°（等边对等角）。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠CEA=90°，
在Rt△ACE中，O是AC中点，
∴ OE = OA = OC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ∠OEA = ∠BAC = 20°，
∠COE是△AOE的外角，
∴ ∠COE = ∠OAE + ∠OEA = 20° + 20° = 40°，
∠CFE是△COF的外角，
∴ ∠CFE = ∠COE + ∠ACB = 40° + 20° = 60°。
【答案】
60
【知识点】
菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查菱形的判定与性质、直角三角形性质及三角形外角性质，解题关键是熟练运用相关定理，结合几何图形的性质进行逻辑推导，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5