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8. 在《代数学》中记载了求方程$x^2 + 8x = 33$正数解的几何方法:如图1,先构造一个面积为$x^2$的正方形,再以正方形的边为一边向外构造四个面积为$2x$的矩形,得到大正方形的面积为$33 + 16 = 49$,则该方程的正数解为$7 - 4 = 3$.小明尝试用此方法解关于$x$的方程$x^2 + 10x + c = 0$时,构造出如图2所示的正方形.已知图2中阴影部分的面积和为39,则该方程的正数解为(
A.$2\sqrt{3}$
B.2
C.$4\sqrt{5}$
D.3
D
).A.$2\sqrt{3}$
B.2
C.$4\sqrt{5}$
D.3
答案
8. D 【点拨】本题考查一元二次方程的应用,能读懂题意并利用数形结合思想去解题很重要.
【解析】如题图2,先构造一个面积为$x^2$的正方形,再以正方形的边为一边向外构造四个面积为$\dfrac{5}{2}x$的矩形,得到大正方形的面积为$39 + (\dfrac{5}{2})^2 × 4 = 39 + 25 = 64$,$\therefore$ 该方程的正数解为$\sqrt{64} - \dfrac{5}{2} × 2 = 3$. 故选 D.
【解析】如题图2,先构造一个面积为$x^2$的正方形,再以正方形的边为一边向外构造四个面积为$\dfrac{5}{2}x$的矩形,得到大正方形的面积为$39 + (\dfrac{5}{2})^2 × 4 = 39 + 25 = 64$,$\therefore$ 该方程的正数解为$\sqrt{64} - \dfrac{5}{2} × 2 = 3$. 故选 D.
解析
【分析】
本题利用数形结合的几何方法解一元二次方程，需结合示例思路分析图2的构造：方程$x^2 +10x +c=0$可变形为$x^2 +10x=-c$，对应示例中$x^2+8x=33$的形式，即构造面积为$x^2$的正方形，向外构造四个矩形，每个矩形面积为$\frac{5}{2}x$（总四个矩形面积和为$10x$，与方程一次项系数对应）。图2中阴影面积为39，大正方形面积等于阴影面积加四个小正方形面积，求出大正方形边长后，正数解为边长减去两个$\frac{5}{2}$，即可得到结果。
【解析】
1. 计算四个小正方形的总面积：每个小正方形边长为$\frac{5}{2}$，则总面积为$4×(\frac{5}{2})^2=4×\frac{25}{4}=25$；
2. 大正方形的面积 = 阴影部分面积 + 四个小正方形面积 = $39+25=64$；
3. 大正方形的边长为$\sqrt{64}=8$；
4. 方程的正数解 = 大正方形边长 $-2×\frac{5}{2}=8-5=3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用、数形结合思想
【点评】
本题通过几何面积关系求解一元二次方程的正数解，体现了数形结合思想，关键是理解几何构造与方程系数的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.4
本题利用数形结合的几何方法解一元二次方程，需结合示例思路分析图2的构造：方程$x^2 +10x +c=0$可变形为$x^2 +10x=-c$，对应示例中$x^2+8x=33$的形式，即构造面积为$x^2$的正方形，向外构造四个矩形，每个矩形面积为$\frac{5}{2}x$（总四个矩形面积和为$10x$，与方程一次项系数对应）。图2中阴影面积为39，大正方形面积等于阴影面积加四个小正方形面积，求出大正方形边长后，正数解为边长减去两个$\frac{5}{2}$，即可得到结果。
【解析】
1. 计算四个小正方形的总面积：每个小正方形边长为$\frac{5}{2}$，则总面积为$4×(\frac{5}{2})^2=4×\frac{25}{4}=25$；
2. 大正方形的面积 = 阴影部分面积 + 四个小正方形面积 = $39+25=64$；
3. 大正方形的边长为$\sqrt{64}=8$；
4. 方程的正数解 = 大正方形边长 $-2×\frac{5}{2}=8-5=3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用、数形结合思想
【点评】
本题通过几何面积关系求解一元二次方程的正数解，体现了数形结合思想，关键是理解几何构造与方程系数的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.4
9. 如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE: EC = 3:1,连接AE交BD于点F,则△DAF与四边形BCEF的面积之比为(
A.3:4
B.9:16
C.12:19
D.9:28
C
).A.3:4
B.9:16
C.12:19
D.9:28
答案
9. C 【点拨】本题考查平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质等知识,能灵活运用相似三角形的判定与性质并正确解答是解题的关键.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AB// CD$,$CD = AB$,$\therefore ∠ FAB = ∠ DEF$,$∠ ABF = ∠ EDF$,$\therefore △ ABF∽△ EDF$,$\therefore \dfrac{DF}{BF} = \dfrac{DE}{AB}$,$\dfrac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}} = (\dfrac{DE}{AB})^2$. $\because \dfrac{DE}{EC} = \dfrac{3}{1}$,$\therefore \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{DE}{CD} = \dfrac{3}{4}$,$\therefore \dfrac{S_{△ ADF}}{S_{△ ABF}} = \dfrac{DF}{BF} = \dfrac{3}{4}$,$\dfrac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}} = \dfrac{9}{16}$. 设$S_{△ ABF} = 16k$,则$S_{△ DEF} = 9k$,$S_{△ ADF} = 12k$,$\therefore S_{△ BCD} = S_{△ ABD} = S_{△ ABF} + S_{△ ADF} = 16k + 12k = 28k$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}BCEF} = 28k - 9k = 19k$,$\therefore \dfrac{S_{△ DAF}}{S_{\mathrm{四边形}BCEF}} = \dfrac{12k}{19k} = \dfrac{12}{19}$. 故选 C.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AB// CD$,$CD = AB$,$\therefore ∠ FAB = ∠ DEF$,$∠ ABF = ∠ EDF$,$\therefore △ ABF∽△ EDF$,$\therefore \dfrac{DF}{BF} = \dfrac{DE}{AB}$,$\dfrac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}} = (\dfrac{DE}{AB})^2$. $\because \dfrac{DE}{EC} = \dfrac{3}{1}$,$\therefore \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{DE}{CD} = \dfrac{3}{4}$,$\therefore \dfrac{S_{△ ADF}}{S_{△ ABF}} = \dfrac{DF}{BF} = \dfrac{3}{4}$,$\dfrac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}} = \dfrac{9}{16}$. 设$S_{△ ABF} = 16k$,则$S_{△ DEF} = 9k$,$S_{△ ADF} = 12k$,$\therefore S_{△ BCD} = S_{△ ABD} = S_{△ ABF} + S_{△ ADF} = 16k + 12k = 28k$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}BCEF} = 28k - 9k = 19k$,$\therefore \dfrac{S_{△ DAF}}{S_{\mathrm{四边形}BCEF}} = \dfrac{12k}{19k} = \dfrac{12}{19}$. 故选 C.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，判定相关三角形相似；再根据相似三角形的性质得到对应边的比和面积比；接着利用同高三角形面积比等于底之比，结合参数法表示各部分面积；最后计算目标图形的面积比，得出结果。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AB=CD，因此∠FAB=∠DEF，∠ABF=∠EDF，可得△ABF∽△EDF。
2. 已知DE:EC=3:1，故DE:CD=3:4，结合AB=CD，得DE:AB=3:4，即相似三角形的相似比为3:4。
3. 根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即$\frac{DF}{BF}=\frac{DE}{AB}=\frac{3}{4}$；相似三角形面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$。
4. △ADF和△ABF同高（以A为顶点，底边DF、BF在同一直线BD上），面积比等于底之比，因此$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ ABF}}=\frac{DF}{BF}=\frac{3}{4}$。
5. 设$S_{△ ABF}=16k$，则$S_{△ DEF}=9k$，$S_{△ ADF}=\frac{3}{4}×16k=12k$。
6. 平行四边形中，对角线BD将其分为面积相等的两部分，故$S_{△ ABD}=S_{△ ABF}+S_{△ ADF}=16k+12k=28k$，即$S_{△ BCD}=28k$。
7. 四边形BCEF的面积为$S_{△ BCD}-S_{△ DEF}=28k-9k=19k$。
8. 因此$\frac{S_{△ DAF}}{S_{四边形BCEF}}=\frac{12k}{19k}=\frac{12}{19}$，故选C。
【答案】C
【知识点】平行四边形性质、相似三角形判定、相似三角形面积比
【点评】本题综合考查平行四边形与相似三角形的性质，核心是利用相似比推导面积关系，参数法简化了面积计算，理清各图形面积的联系是解题关键。
【难度系数】0.5
要解决这个问题，首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，判定相关三角形相似；再根据相似三角形的性质得到对应边的比和面积比；接着利用同高三角形面积比等于底之比，结合参数法表示各部分面积；最后计算目标图形的面积比，得出结果。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AB=CD，因此∠FAB=∠DEF，∠ABF=∠EDF，可得△ABF∽△EDF。
2. 已知DE:EC=3:1，故DE:CD=3:4，结合AB=CD，得DE:AB=3:4，即相似三角形的相似比为3:4。
3. 根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即$\frac{DF}{BF}=\frac{DE}{AB}=\frac{3}{4}$；相似三角形面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$。
4. △ADF和△ABF同高（以A为顶点，底边DF、BF在同一直线BD上），面积比等于底之比，因此$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ ABF}}=\frac{DF}{BF}=\frac{3}{4}$。
5. 设$S_{△ ABF}=16k$，则$S_{△ DEF}=9k$，$S_{△ ADF}=\frac{3}{4}×16k=12k$。
6. 平行四边形中，对角线BD将其分为面积相等的两部分，故$S_{△ ABD}=S_{△ ABF}+S_{△ ADF}=16k+12k=28k$，即$S_{△ BCD}=28k$。
7. 四边形BCEF的面积为$S_{△ BCD}-S_{△ DEF}=28k-9k=19k$。
8. 因此$\frac{S_{△ DAF}}{S_{四边形BCEF}}=\frac{12k}{19k}=\frac{12}{19}$，故选C。
【答案】C
【知识点】平行四边形性质、相似三角形判定、相似三角形面积比
【点评】本题综合考查平行四边形与相似三角形的性质，核心是利用相似比推导面积关系，参数法简化了面积计算，理清各图形面积的联系是解题关键。
【难度系数】0.5
10. 如图,在正方形ABCD中,AB=4.E,F分别为边AB,BC的中点,连接AF,DE,N,M分别为AF,DE的中点,连接MN,则MN的长为(
A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
C
).A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
10. C 【点拨】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,中位线的性质,勾股定理等知识点,作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键.
【解析】如图,连接$AM$,延长$AM$交$CD$于$G$,连接$FG$, $\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$\therefore AB = CD = BC = 4$,$AB// CD$,$∠ C = 90°$,$\therefore ∠ AEM = ∠ GDM$,$∠ EAM = ∠ DGM$. $\because M$为$DE$的中点,$\therefore ME = MD$, 在$△ AEM$ 和 $△ GDM$中,$\begin{cases}∠ EAM = ∠ DGM,\\∠ AEM = ∠ GDM,\\ME = MD,\end{cases}$$\therefore △ AEM≌△ GDM(\mathrm{AAS})$,$\therefore AM = MG$,$AE = DG = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD$,$\therefore CG = \dfrac{1}{2}CD = 2$. $\because$ 点$N$为$AF$的中点,$\therefore MN = \dfrac{1}{2}FG$.
$\because F$为$BC$的中点,$\therefore CF = \dfrac{1}{2}BC = 2$,
$\therefore FG = \sqrt{CF^2 + CG^2} = 2\sqrt{2}$,$\therefore MN = \sqrt{2}$.
故选 C.
解析
【分析】要解决本题，需结合正方形的性质，通过构造全等三角形转化线段关系，再利用三角形中位线定理和勾股定理计算。首先，M是DE的中点，连接AM并延长交CD于G，可证△AEM与△GDM全等，得到M是AG的中点；又N是AF的中点，因此MN是△AFG的中位线，MN等于FG的一半，最后计算FG的长度即可得到MN。
【解析】如图，连接$AM$，延长$AM$交$CD$于$G$，连接$FG$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=CD=BC=4$，$AB// CD$，$∠ C=90°$，
∴ $∠ AEM=∠ GDM$，$∠ EAM=∠ DGM$。
∵ $M$为$DE$的中点，
∴ $ME=MD$，
在$△ AEM$和$△ GDM$中，
$\begin{cases}∠ EAM=∠ DGM, \\∠ AEM=∠ GDM, \\ME=MD,\end{cases}$
∴ $△ AEM≌△ GDM(\mathrm{AAS})$，
∴ $AM=MG$，$AE=DG=\dfrac{1}{2}AB=2$，
∴ $CG=CD-DG=4-2=2$。
∵ 点$N$为$AF$的中点，
∴ $MN$是$△ AFG$的中位线，
∴ $MN=\dfrac{1}{2}FG$。
∵ $F$为$BC$的中点，
∴ $CF=\dfrac{1}{2}BC=2$，
在$\mathrm{Rt}△ FCG$中，$FG=\sqrt{CF^2+CG^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ $MN=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】C
【知识点】正方形性质、全等三角形判定、三角形中位线、勾股定理
【点评】本题是正方形背景下的几何综合题，核心是通过构造全等三角形转化中点，结合中位线定理简化计算，辅助线的构造是解题关键，考查学生的几何逻辑推理与辅助线运用能力。
【难度系数】0.5
【解析】如图，连接$AM$，延长$AM$交$CD$于$G$，连接$FG$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=CD=BC=4$，$AB// CD$，$∠ C=90°$，
∴ $∠ AEM=∠ GDM$，$∠ EAM=∠ DGM$。
∵ $M$为$DE$的中点，
∴ $ME=MD$，
在$△ AEM$和$△ GDM$中，
$\begin{cases}∠ EAM=∠ DGM, \\∠ AEM=∠ GDM, \\ME=MD,\end{cases}$
∴ $△ AEM≌△ GDM(\mathrm{AAS})$，
∴ $AM=MG$，$AE=DG=\dfrac{1}{2}AB=2$，
∴ $CG=CD-DG=4-2=2$。
∵ 点$N$为$AF$的中点，
∴ $MN$是$△ AFG$的中位线，
∴ $MN=\dfrac{1}{2}FG$。
∵ $F$为$BC$的中点，
∴ $CF=\dfrac{1}{2}BC=2$，
在$\mathrm{Rt}△ FCG$中，$FG=\sqrt{CF^2+CG^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ $MN=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】C
【知识点】正方形性质、全等三角形判定、三角形中位线、勾股定理
【点评】本题是正方形背景下的几何综合题，核心是通过构造全等三角形转化中点，结合中位线定理简化计算，辅助线的构造是解题关键，考查学生的几何逻辑推理与辅助线运用能力。
【难度系数】0.5
11. 若分式$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$的值为0，则x的值为________.
答案
11. -2 【点拨】本题考查分式值为零的条件,即分子为零且分母不为零,由此列式计算即可.
【解析】由题意得$\begin{cases}x^2 - 4 = 0,\\x - 2≠0,\end{cases}$解得$x = -2$. 故答案为$-2$.
【解析】由题意得$\begin{cases}x^2 - 4 = 0,\\x - 2≠0,\end{cases}$解得$x = -2$. 故答案为$-2$.
解析
【分析】要使分式的值为0，需同时满足两个条件：①分子等于0；②分母不等于0，二者缺一不可，因此需分别列出对应的方程和不等式，求解后取公共解即可得到x的值。
【解析】根据题意，分式$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$的值为0，需满足：
$\begin{cases}x^2 - 4 = 0 \\ x - 2 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程$x^2 - 4 = 0$，得$x = 2$或$x = -2$；
解第二个不等式$x - 2 ≠ 0$，得$x ≠ 2$；
综上，x的取值为$-2$。
【答案】-2
【知识点】分式值为零的条件，解一元二次方程
【点评】本题是分式相关的基础题，核心考查分式值为零的条件，解题关键是牢记“分子为零且分母不为零”，避免忽略分母不为零的限制，属于易得分的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】根据题意，分式$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$的值为0，需满足：
$\begin{cases}x^2 - 4 = 0 \\ x - 2 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程$x^2 - 4 = 0$，得$x = 2$或$x = -2$；
解第二个不等式$x - 2 ≠ 0$，得$x ≠ 2$；
综上，x的取值为$-2$。
【答案】-2
【知识点】分式值为零的条件，解一元二次方程
【点评】本题是分式相关的基础题，核心考查分式值为零的条件，解题关键是牢记“分子为零且分母不为零”，避免忽略分母不为零的限制，属于易得分的基础题型。
【难度系数】0.8
12. 已知$\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$，则$\frac{2x}{x + y} =$
$\dfrac{4}{5}$
.答案
12. $\dfrac{4}{5}$ 【点拨】本题考查等式的性质,分式的化简计算,先由$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}$得出$y = \dfrac{3}{2}x$,再代入原式计算即可求解.
【解析】$\because \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}$,$\therefore 3x = 2y$,即$y = \dfrac{3}{2}x$,$\therefore \dfrac{2x}{x + y} = \dfrac{2x}{x + \dfrac{3}{2}x} = \dfrac{2x}{\dfrac{5}{2}x} = \dfrac{4}{5}$. 故答案为$\dfrac{4}{5}$.
【解析】$\because \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}$,$\therefore 3x = 2y$,即$y = \dfrac{3}{2}x$,$\therefore \dfrac{2x}{x + y} = \dfrac{2x}{x + \dfrac{3}{2}x} = \dfrac{2x}{\dfrac{5}{2}x} = \dfrac{4}{5}$. 故答案为$\dfrac{4}{5}$.
解析
【分析】要计算含两个未知数的分式的值，已知两未知数的比例关系，需先利用比例的基本性质将其中一个未知数用另一个表示，把二元问题转化为一元问题，再代入分式化简，约去不为0的未知数后即可得到结果。
【解析】$\because \frac{x}{2} = \frac{y}{3}$，根据比例的基本性质交叉相乘得$3x = 2y$，解得$y = \frac{3}{2}x$。
将$y = \frac{3}{2}x$代入$\frac{2x}{x + y}$，得：
$\frac{2x}{x + \frac{3}{2}x} = \frac{2x}{\frac{5}{2}x}$
因为$x ≠ 0$（否则分式分母为0无意义），分子分母同除以$x$，得：
$\frac{2}{\frac{5}{2}} = \frac{4}{5}$
【答案】$\frac{4}{5}$
【知识点】比例的性质、分式化简求值
【点评】本题是初中代数基础题型，考查比例变形与分式化简，解题关键是利用比例关系统一变量，计算过程简单，属于易得分题。
【难度系数】0.7
【解析】$\because \frac{x}{2} = \frac{y}{3}$，根据比例的基本性质交叉相乘得$3x = 2y$，解得$y = \frac{3}{2}x$。
将$y = \frac{3}{2}x$代入$\frac{2x}{x + y}$，得：
$\frac{2x}{x + \frac{3}{2}x} = \frac{2x}{\frac{5}{2}x}$
因为$x ≠ 0$（否则分式分母为0无意义），分子分母同除以$x$，得：
$\frac{2}{\frac{5}{2}} = \frac{4}{5}$
【答案】$\frac{4}{5}$
【知识点】比例的性质、分式化简求值
【点评】本题是初中代数基础题型，考查比例变形与分式化简，解题关键是利用比例关系统一变量，计算过程简单，属于易得分题。
【难度系数】0.7
13. 如图，$△ ABC∽△ CBD$，$AB=9$，$BD=25$，则$BC=\_\_\_\_\_\_$。
答案
13. 15 【点拨】本题考查相似三角形的性质,由相似三角形的性质得对应边成比例,计算即可.
【解析】$\because △ ABC∽△ CBD$,$\therefore \dfrac{AB}{CB} = \dfrac{CB}{DB}$,$\therefore CB^2 = AB · DB = 225$,
$\therefore CB = 15$(负值已舍). 故答案为15.
【解析】$\because △ ABC∽△ CBD$,$\therefore \dfrac{AB}{CB} = \dfrac{CB}{DB}$,$\therefore CB^2 = AB · DB = 225$,
$\therefore CB = 15$(负值已舍). 故答案为15.
解析
【分析】要解决本题，需利用相似三角形的核心性质：相似三角形的对应边成比例。首先确定相似三角形△ABC与△CBD的对应边，列出对应边的比例关系，再代入已知边长计算BC的长度，注意边长为正数，舍去负解。
【解析】
∵△ABC∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AB}{CB} = \frac{CB}{DB}$
交叉相乘变形得：$CB^2 = AB · DB$
将AB=9，BD=25代入上式：
$CB^2 = 9 × 25 = 225$
∵BC为线段长度，取正值，
∴$CB = \sqrt{225} = 15$
【答案】15
【知识点】相似三角形的性质
【点评】本题考查相似三角形性质的基础应用，关键是找准相似三角形的对应边，通过比例关系建立方程求解，属于常规基础题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
∵△ABC∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AB}{CB} = \frac{CB}{DB}$
交叉相乘变形得：$CB^2 = AB · DB$
将AB=9，BD=25代入上式：
$CB^2 = 9 × 25 = 225$
∵BC为线段长度，取正值，
∴$CB = \sqrt{225} = 15$
【答案】15
【知识点】相似三角形的性质
【点评】本题考查相似三角形性质的基础应用，关键是找准相似三角形的对应边，通过比例关系建立方程求解，属于常规基础题，难度适中。
【难度系数】0.5
14. 若实数$ x,y $满足$ (x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 2) = 3 $，则$ x^2 + y^2 $的值为________.
答案
14. 3 【点拨】本题考查换元法解方程,解题关键是找到要变形的整体,设$x^2 + y^2 = a$,将原方程变形为一元二次方程即可求解.
【解析】设$x^2 + y^2 = a$,则$a(a - 2) = 3$,即$a^2 - 2a - 3 = 0$,解得$a_1 = 3$,$a_2 = -1$. $\because x^2 + y^2 ≥ 0$,$\therefore a = -1$(舍去),即$x^2 + y^2 = 3$. 故答案为3.
【解析】设$x^2 + y^2 = a$,则$a(a - 2) = 3$,即$a^2 - 2a - 3 = 0$,解得$a_1 = 3$,$a_2 = -1$. $\because x^2 + y^2 ≥ 0$,$\therefore a = -1$(舍去),即$x^2 + y^2 = 3$. 故答案为3.
解析
【分析】本题中$x^2+y^2$重复出现，可采用换元法简化方程。设$x^2+y^2$为新变量$a$，将原方程转化为关于$a$的一元二次方程，求解后结合平方和的非负性舍去不符合条件的解，即可得到结果。
【解析】设$x^2 + y^2 = a$（$a ≥ 0$，因为平方数非负，故它们的和也非负），则原方程可变形为：
$a(a - 2) = 3$
整理得一元二次方程：
$a^2 - 2a - 3 = 0$
因式分解得：
$(a - 3)(a + 1) = 0$
解得：$a_1 = 3$，$a_2 = -1$
由于$a ≥ 0$，因此舍去$a = -1$，故$x^2 + y^2 = 3$。
【答案】3
【知识点】换元法解一元二次方程；平方和的非负性
【点评】本题通过换元法将复杂的高次方程转化为简单的一元二次方程，简化了解题过程，同时需注意隐含条件（平方和非负），避免出现解的取舍错误，是换元法应用的基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】设$x^2 + y^2 = a$（$a ≥ 0$，因为平方数非负，故它们的和也非负），则原方程可变形为：
$a(a - 2) = 3$
整理得一元二次方程：
$a^2 - 2a - 3 = 0$
因式分解得：
$(a - 3)(a + 1) = 0$
解得：$a_1 = 3$，$a_2 = -1$
由于$a ≥ 0$，因此舍去$a = -1$，故$x^2 + y^2 = 3$。
【答案】3
【知识点】换元法解一元二次方程；平方和的非负性
【点评】本题通过换元法将复杂的高次方程转化为简单的一元二次方程，简化了解题过程，同时需注意隐含条件（平方和非负），避免出现解的取舍错误，是换元法应用的基础题型。
【难度系数】0.7
15. 若$a,b$是方程$x^2 + 2x - 2021 = 0$的两个不相等的实数根，则$a^2 + 3a + b$的值为________。
答案
15. 2019 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系,利用根与系数的关系得出$a + b$的值,再将$x = a$代入方程得出$a^2 + 2a = 2021$,据此可解决问题.
【解析】$\because a,b$是方程$x^2 + 2x - 2021 = 0$的两个不相等的实数根,$\therefore a + b = -2$,$a^2 + 2a - 2021 = 0$,则$a^2 + 2a = 2021$,$\therefore a^2 + 3a + b = a^2 + 2a + a + b = 2021 + (-2) = 2019$. 故答案为2019.
【解析】$\because a,b$是方程$x^2 + 2x - 2021 = 0$的两个不相等的实数根,$\therefore a + b = -2$,$a^2 + 2a - 2021 = 0$,则$a^2 + 2a = 2021$,$\therefore a^2 + 3a + b = a^2 + 2a + a + b = 2021 + (-2) = 2019$. 故答案为2019.
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系（韦达定理）转化所求代数式：首先将根$a$代入方程得到$a^2 + 2a$的值，再利用韦达定理得到两根和$a+b$，最后把所求式子拆分为包含这两个结果的形式，代入计算即可。
【解析】
解：
∵$a,b$是方程$x^2 + 2x - 2021 = 0$的两个不相等的实数根，
∴根据一元二次方程根的定义，将$x=a$代入方程得：$a^2 + 2a - 2021 = 0$，即$a^2 + 2a = 2021$；
根据韦达定理，两根之和$a + b = -2$；
对所求代数式变形：$a^2 + 3a + b = (a^2 + 2a) + (a + b)$，
将$a^2 + 2a = 2021$、$a + b = -2$代入得：$2021 + (-2) = 2019$。
【答案】
2019
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心是利用根的定义和韦达定理拆分转化代数式，将未知量转化为已知的两根和，解题思路清晰，属于易得分题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系（韦达定理）转化所求代数式：首先将根$a$代入方程得到$a^2 + 2a$的值，再利用韦达定理得到两根和$a+b$，最后把所求式子拆分为包含这两个结果的形式，代入计算即可。
【解析】
解：
∵$a,b$是方程$x^2 + 2x - 2021 = 0$的两个不相等的实数根，
∴根据一元二次方程根的定义，将$x=a$代入方程得：$a^2 + 2a - 2021 = 0$，即$a^2 + 2a = 2021$；
根据韦达定理，两根之和$a + b = -2$；
对所求代数式变形：$a^2 + 3a + b = (a^2 + 2a) + (a + b)$，
将$a^2 + 2a = 2021$、$a + b = -2$代入得：$2021 + (-2) = 2019$。
【答案】
2019
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心是利用根的定义和韦达定理拆分转化代数式，将未知量转化为已知的两根和，解题思路清晰，属于易得分题。
【难度系数】
0.6
16. 如图所示,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, CD ⊥ AB$, 垂足为点 $D$, 如果 $\frac{C_{△ ADC}}{C_{△ CDB}} = \frac{3}{2}, AD = 9$, 那么 $BC$ 的长为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
16. $2\sqrt{13}$ 【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质,证明$△ ABC∽△ CBD$得$BC^2 = AB · BD$,再由相似图形的性质求出$DB = 4$,$AB = 13$,从而计算即可.
【解析】$\because ∠ ACB = 90°$,$CD ⊥ AB$,$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$,$∠ BCD + ∠ B = 90°$,$\therefore ∠ A = ∠ BCD$. $\because ∠ A = ∠ BCD$,$∠ B = ∠ B$,
$\therefore △ ABC∽△ CBD$,$△ ADC∽△ CDB$,$\therefore \dfrac{AB}{CB} = \dfrac{BC}{BD}$,$\dfrac{C_{△ ADC}}{C_{△ CDB}} = \dfrac{AD}{CD} = \dfrac{DC}{DB} = \dfrac{3}{2}$,$\therefore BC^2 = AB · BD$,$CD = \dfrac{2}{3}AD = 6$,$\therefore DB = \dfrac{2}{3}DC = 4$,
$\therefore AB = AD + DB = 13$. $\because BC^2 = AB · BD$,即$BC^2 = 13 × 4 = 52$.
$\therefore BC = 2\sqrt{13}$(负值已舍). 故答案为$2\sqrt{13}$.
【解析】$\because ∠ ACB = 90°$,$CD ⊥ AB$,$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$,$∠ BCD + ∠ B = 90°$,$\therefore ∠ A = ∠ BCD$. $\because ∠ A = ∠ BCD$,$∠ B = ∠ B$,
$\therefore △ ABC∽△ CBD$,$△ ADC∽△ CDB$,$\therefore \dfrac{AB}{CB} = \dfrac{BC}{BD}$,$\dfrac{C_{△ ADC}}{C_{△ CDB}} = \dfrac{AD}{CD} = \dfrac{DC}{DB} = \dfrac{3}{2}$,$\therefore BC^2 = AB · BD$,$CD = \dfrac{2}{3}AD = 6$,$\therefore DB = \dfrac{2}{3}DC = 4$,
$\therefore AB = AD + DB = 13$. $\because BC^2 = AB · BD$,即$BC^2 = 13 × 4 = 52$.
$\therefore BC = 2\sqrt{13}$(负值已舍). 故答案为$2\sqrt{13}$.
解析
【分析】
本题是直角三角形斜边上的高相关的几何题，解题思路为：根据直角三角形斜边上的高的性质，得出△ADC与△CDB相似，利用相似三角形周长比等于相似比，结合已知的周长比和AD的长度，求出CD和DB的长度；再利用相似三角形的对应边关系（射影定理），计算出BC的长度。
【解析】
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴ ∠ADC=∠CDB=90°，且∠A + ∠ACD=90°，∠ACD + ∠BCD=90°，
∴ ∠A=∠BCD，
∴ △ADC∽△CDB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，且$\frac{C_{△ ADC}}{C_{△ CDB}} = \frac{3}{2}$，
∴ △ADC与△CDB的相似比为$\frac{3}{2}$，即$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB} = \frac{3}{2}$。
已知AD=9，代入$\frac{AD}{CD} = \frac{3}{2}$，得$\frac{9}{CD} = \frac{3}{2}$，解得CD=6。
再代入$\frac{CD}{DB} = \frac{3}{2}$，得$\frac{6}{DB} = \frac{3}{2}$，解得DB=4。
∴ AB=AD + DB=9 + 4=13。
又
∵ △ABC∽△CDB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{DB}$，即$BC^2 = AB · DB$。
将AB=13，DB=4代入，得$BC^2 = 13×4=52$，
∵ BC为线段长度，取正值，
∴ $BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；直角三角形射影定理
【点评】
本题考查直角三角形斜边上的高形成的相似三角形的性质，核心是利用相似三角形周长比等于相似比，结合射影定理求解边长，关键在于准确找出相似三角形及对应边的比例关系，是几何中常见的基础题型。
【难度系数】
0.5
本题是直角三角形斜边上的高相关的几何题，解题思路为：根据直角三角形斜边上的高的性质，得出△ADC与△CDB相似，利用相似三角形周长比等于相似比，结合已知的周长比和AD的长度，求出CD和DB的长度；再利用相似三角形的对应边关系（射影定理），计算出BC的长度。
【解析】
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴ ∠ADC=∠CDB=90°，且∠A + ∠ACD=90°，∠ACD + ∠BCD=90°，
∴ ∠A=∠BCD，
∴ △ADC∽△CDB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，且$\frac{C_{△ ADC}}{C_{△ CDB}} = \frac{3}{2}$，
∴ △ADC与△CDB的相似比为$\frac{3}{2}$，即$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB} = \frac{3}{2}$。
已知AD=9，代入$\frac{AD}{CD} = \frac{3}{2}$，得$\frac{9}{CD} = \frac{3}{2}$，解得CD=6。
再代入$\frac{CD}{DB} = \frac{3}{2}$，得$\frac{6}{DB} = \frac{3}{2}$，解得DB=4。
∴ AB=AD + DB=9 + 4=13。
又
∵ △ABC∽△CDB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{DB}$，即$BC^2 = AB · DB$。
将AB=13，DB=4代入，得$BC^2 = 13×4=52$，
∵ BC为线段长度，取正值，
∴ $BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；直角三角形射影定理
【点评】
本题考查直角三角形斜边上的高形成的相似三角形的性质，核心是利用相似三角形周长比等于相似比，结合射影定理求解边长，关键在于准确找出相似三角形及对应边的比例关系，是几何中常见的基础题型。
【难度系数】
0.5
17. 如图,点 O 是矩形 ABCD 的中心,E 是 AB 上的点,沿 CE 折叠后,点 B 恰好与点 O 重合.若 BC=3,则折痕 CE 的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
17. $2\sqrt{3}$ 【点拨】本题考查翻折变换,主要利用了折叠前后两个三角形全等,矩形的性质,线段垂直平分线的判定与线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等边对等角等,认真审题,合理分析计算即可.
【解析】由折叠可得$△ CBE≌△ COE$,$\therefore ∠ B = ∠ COE = 90°$,$CO = CB = 3$,$∠ BCE = ∠ ACE$. $\because O$是矩形$ABCD$的中心,$\therefore CO = AO$,
$\therefore OE$垂直平分$AC$,$\therefore CE = AE$,$\therefore ∠ ACE = ∠ CAE$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BCE = ∠ ACE = ∠ CAE$,$\therefore ∠ BCE = 30°$,$\therefore CE = \dfrac{BC}{\cos30°} = \dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}$. 故答案为$2\sqrt{3}$.
【解析】由折叠可得$△ CBE≌△ COE$,$\therefore ∠ B = ∠ COE = 90°$,$CO = CB = 3$,$∠ BCE = ∠ ACE$. $\because O$是矩形$ABCD$的中心,$\therefore CO = AO$,
$\therefore OE$垂直平分$AC$,$\therefore CE = AE$,$\therefore ∠ ACE = ∠ CAE$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BCE = ∠ ACE = ∠ CAE$,$\therefore ∠ BCE = 30°$,$\therefore CE = \dfrac{BC}{\cos30°} = \dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}$. 故答案为$2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合折叠的性质和矩形的性质逐步推导：首先，根据折叠前后图形全等，得到对应边、角相等，确定CO的长度和∠BCE与∠ACE的关系；再利用矩形中心是对角线中点的性质，求出AC的长度；接着在Rt△ABC中，通过边长关系确定∠BAC的度数，进而推出∠BCE的度数；最后在Rt△BCE中，利用三角函数计算CE的长度。
【解析】
1. 由折叠的性质可知：△CBE≌△COE，因此∠COE=∠B=90°，CO=CB=3，∠BCE=∠ACE；
2. 因为O是矩形ABCD的中心，所以O为AC的中点，故AC=2CO=2×3=6；
3. 在Rt△ABC中，BC=3，AC=6，根据直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°，可得∠BAC=30°，因此∠ACB=90°-30°=60°；
4. 结合折叠的∠BCE=∠ACE，可知∠BCE=∠ACE=∠ACB÷2=60°÷2=30°；
5. 在Rt△BCE中，∠B=90°，∠BCE=30°，BC=3，根据余弦的定义：cos∠BCE=邻边/斜边=BC/CE，因此CE=BC÷cos30°=3÷(√3/2)=2√3。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的三角函数
【点评】
本题是矩形折叠的典型几何计算题，综合考查了折叠的全等性质、矩形对角线的中点性质以及直角三角形的角度与三角函数关系，解题关键是利用折叠得到的角度等量关系，结合直角三角形的特殊角性质推导，需学生具备一定的几何推理能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合折叠的性质和矩形的性质逐步推导：首先，根据折叠前后图形全等，得到对应边、角相等，确定CO的长度和∠BCE与∠ACE的关系；再利用矩形中心是对角线中点的性质，求出AC的长度；接着在Rt△ABC中，通过边长关系确定∠BAC的度数，进而推出∠BCE的度数；最后在Rt△BCE中，利用三角函数计算CE的长度。
【解析】
1. 由折叠的性质可知：△CBE≌△COE，因此∠COE=∠B=90°，CO=CB=3，∠BCE=∠ACE；
2. 因为O是矩形ABCD的中心，所以O为AC的中点，故AC=2CO=2×3=6；
3. 在Rt△ABC中，BC=3，AC=6，根据直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°，可得∠BAC=30°，因此∠ACB=90°-30°=60°；
4. 结合折叠的∠BCE=∠ACE，可知∠BCE=∠ACE=∠ACB÷2=60°÷2=30°；
5. 在Rt△BCE中，∠B=90°，∠BCE=30°，BC=3，根据余弦的定义：cos∠BCE=邻边/斜边=BC/CE，因此CE=BC÷cos30°=3÷(√3/2)=2√3。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的三角函数
【点评】
本题是矩形折叠的典型几何计算题，综合考查了折叠的全等性质、矩形对角线的中点性质以及直角三角形的角度与三角函数关系，解题关键是利用折叠得到的角度等量关系，结合直角三角形的特殊角性质推导，需学生具备一定的几何推理能力。
【难度系数】
0.5
18. 如图,矩形$ABCD$中,$AB=6$,$BC=10$,点$E$在边$AD$上,且$AE=2$,$F$为边$AB$上的一个动点,连接$EF$,过点$E$作$EG ⊥ EF$交直线$BC$于点$G$,连接$FG$,若$P$是$FG$的中点,则$DP$的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
18. $\dfrac{9\sqrt{10}}{5}$ 【点拨】本题考查矩形中的动点问题,矩形的性质,勾股定理,三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质,解题关键是要找出$P$点的运动轨迹.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore ∠ BAD = ∠ ABC = ∠ BCD = ∠ ADC = 90°$,$DC = AB = 6$,$AD = BC = 10$. 如图,当点$F$与点$A$重合时,作$EG_1 ⊥ BC$于$G_1$,则四边形$ABG_1E$是矩形,连接$AG_1$,$BE$交于点$O$,则$O$是$AG_1$的中点,也是$BE$的中点,此时,$P$点与$O$点重合.
当点$F$与点$B$重合时,作$EG_2 ⊥ EB$交$BC$的延长线于$G_2$.
$\because AD// BC$,$\therefore ∠ AEB = ∠ EBG_2$. $\because ∠ BAE = ∠ BEG_2 = 90°$,
$\therefore △ ABE∽△ EG_2B$,$\therefore \dfrac{AE}{BE} = \dfrac{BE}{BG_2}$. $\because BE = \sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$,$\therefore \dfrac{2}{2\sqrt{10}} = \dfrac{2\sqrt{10}}{BG_2}$,$\therefore BG_2 = 20$. 设$BG_2$的中点为$P_2$,则$BP_2 = 10$,$\therefore$ 点$P_2$与点$C$重合,$\therefore$ 点$P$的运动轨迹为线段$OC$,$\therefore$ 当$DP ⊥ OC$时,$DP$的值最小. $\because$ 点$O$是$BE$的中点,点$C$是$BG_2$的中点,$\therefore OC$是$△ BEG_2$的中位线,$\therefore OC// EG_2$. $\therefore ∠ BOC = ∠ BEG_2 = 90°$,
$\therefore ∠ BOC = ∠ DPC$. $\because ∠ OBC + ∠ OCB = ∠ DCP + ∠ OCB = 90°$,
$\therefore ∠ OBC = ∠ PCD$,$\therefore △ OBC∽△ PCD$,$\therefore \dfrac{OC}{DP} = \dfrac{BC}{DC}$. $\because BO = \dfrac{1}{2}BE = \sqrt{10}$,$BC = 10$,$\therefore OC = \sqrt{BC^2 - BO^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{10})^2} = 3\sqrt{10}$,$\therefore \dfrac{3\sqrt{10}}{DP} = \dfrac{10}{6}$,解得$DP = \dfrac{9\sqrt{10}}{5}$. 故答案为$\dfrac{9\sqrt{10}}{5}$.
解析
【分析】要解决DP的最小值问题，核心是确定动点P的运动轨迹。已知P是FG的中点，需结合矩形性质、相似三角形判定，分析F运动时G的位置变化，推导P的轨迹为某条线段，再利用“点到直线的距离中垂线段最短”，计算D到该线段的垂线段长度即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=6，AD=BC=10。
∵AE=2，
∴BE=√(AB²+AE²)=√(6²+2²)=2√10。
∵EG⊥EF，AD//BC，
∴∠AEF+∠BEG=90°，∠AEF+∠AFE=90°，故∠AFE=∠BEG，又∠EAF=∠EBG=90°，
∴△AEF∽△BEG，可确定G随F的位置变化规律。
取特殊点推导P的轨迹：当F与A重合时，EG₁⊥BC，AG₁与BE交于O，O是AG₁、BE的中点，此时P与O重合；当F与B重合时，EG₂⊥EB，由△ABE∽△EG₂B，得BG₂=20，BG₂的中点P₂与C重合，因此P的运动轨迹为线段OC。
∵O是BE中点，C是BG₂中点，
∴OC是△BEG₂的中位线，故OC//EG₂，∠BOC=∠BEG₂=90°，即OC⊥BE。
在Rt△OBC中，BO=BE/2=√10，BC=10，
∴OC=√(BC² - BO²)=√(10² - (√10)²)=3√10。
∵∠OBC+∠OCB=90°，∠DCP+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠DCP，又∠BOC=∠CPD=90°，故△OBC∽△PCD，得OC/DP=BC/DC，即3√10/DP=10/6，解得DP=9√10/5。
【答案】9√10/5
【知识点】矩形性质，相似三角形，三角形中位线
【点评】本题为矩形背景下的动点最值问题，关键是通过特殊点确定动点P的运动轨迹，结合相似三角形与中位线定理求解，考查几何分析与转化能力。
【难度系数】0.5
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=6，AD=BC=10。
∵AE=2，
∴BE=√(AB²+AE²)=√(6²+2²)=2√10。
∵EG⊥EF，AD//BC，
∴∠AEF+∠BEG=90°，∠AEF+∠AFE=90°，故∠AFE=∠BEG，又∠EAF=∠EBG=90°，
∴△AEF∽△BEG，可确定G随F的位置变化规律。
取特殊点推导P的轨迹：当F与A重合时，EG₁⊥BC，AG₁与BE交于O，O是AG₁、BE的中点，此时P与O重合；当F与B重合时，EG₂⊥EB，由△ABE∽△EG₂B，得BG₂=20，BG₂的中点P₂与C重合，因此P的运动轨迹为线段OC。
∵O是BE中点，C是BG₂中点，
∴OC是△BEG₂的中位线，故OC//EG₂，∠BOC=∠BEG₂=90°，即OC⊥BE。
在Rt△OBC中，BO=BE/2=√10，BC=10，
∴OC=√(BC² - BO²)=√(10² - (√10)²)=3√10。
∵∠OBC+∠OCB=90°，∠DCP+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠DCP，又∠BOC=∠CPD=90°，故△OBC∽△PCD，得OC/DP=BC/DC，即3√10/DP=10/6，解得DP=9√10/5。
【答案】9√10/5
【知识点】矩形性质，相似三角形，三角形中位线
【点评】本题为矩形背景下的动点最值问题，关键是通过特殊点确定动点P的运动轨迹，结合相似三角形与中位线定理求解，考查几何分析与转化能力。
【难度系数】0.5
