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20. (6分)某中学八年级数学社团随机抽取部分学生,对“错题整理习惯”进行问卷调查,他们设计的问题:“你对自己做错的题目进行整理纠错吗?”答案选项为:A.很少,B.有时,C.常常,D.总是.将调查结果的数据进行整理,绘制成部分统计图如图.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)本次参与调查的共有
(2)求出“很少”所占的百分比$a=$
(3)若该校有3 000名学生,请你估计其中“总是”对做错的题目进行整理纠错的学生人数.
(1)本次参与调查的共有
200
名学生；(2)求出“很少”所占的百分比$a=$
12%
；(3)若该校有3 000名学生,请你估计其中“总是”对做错的题目进行整理纠错的学生人数.
答案
【点拨】本题考查条形统计图、扇形统计图的应用,用样本估计总体.
【解析】(1)$44÷22\%=200$(名),
$\therefore$ 本次参与调查的共有 200 名学生. 故答案为 200.
(2)$a=\dfrac{24}{200}×100\%=12\%$,
$\therefore$“很少”所占的百分比 $a=12\%$. 故答案为 $12\%$.
(3)$3000×\dfrac{72}{200}=1080$(名).
答:估计其中“总是”对做错的题目进行整理纠错的学生共有 1080 名.
【解析】(1)$44÷22\%=200$(名),
$\therefore$ 本次参与调查的共有 200 名学生. 故答案为 200.
(2)$a=\dfrac{24}{200}×100\%=12\%$,
$\therefore$“很少”所占的百分比 $a=12\%$. 故答案为 $12\%$.
(3)$3000×\dfrac{72}{200}=1080$(名).
答:估计其中“总是”对做错的题目进行整理纠错的学生共有 1080 名.
解析
【分析】要解答本题，需结合条形统计图和扇形统计图的对应数据逐步计算：首先利用“有时”整理错题的人数及对应百分比求出总调查人数；再用“很少”的人数除以总人数得到其百分比；最后用样本中“总是”的人数占比乘以全校总人数，估计总体中对应学生数。
【解析】(1) 由条形图知“有时”整理错题的人数为44，扇形图中“有时”占比22%，则总人数为：$44÷22\% = 200$（名）；
(2) “很少”整理错题的人数为24，其百分比$a = \frac{24}{200}×100\% = 12\%$；
(3) 样本中“总是”整理错题的人数为72，占比为$\frac{72}{200}$，该校共3000名学生，估计对应人数为：$3000×\frac{72}{200} = 1080$（名）。
【答案】(1)200；(2)12%；(3)1080名
【知识点】条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】本题结合两种统计图的互补信息，考查统计基本计算与用样本估计总体的思想，解题关键是找准对应部分的人数与百分比的关系，属于基础统计题。
【难度系数】0.6
【解析】(1) 由条形图知“有时”整理错题的人数为44，扇形图中“有时”占比22%，则总人数为：$44÷22\% = 200$（名）；
(2) “很少”整理错题的人数为24，其百分比$a = \frac{24}{200}×100\% = 12\%$；
(3) 样本中“总是”整理错题的人数为72，占比为$\frac{72}{200}$，该校共3000名学生，估计对应人数为：$3000×\frac{72}{200} = 1080$（名）。
【答案】(1)200；(2)12%；(3)1080名
【知识点】条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】本题结合两种统计图的互补信息，考查统计基本计算与用样本估计总体的思想，解题关键是找准对应部分的人数与百分比的关系，属于基础统计题。
【难度系数】0.6
21. (6 分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0 $.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若 $ △ ABC $ 的两边 $ AB,AC $ 的长是这个方程的两个实数根,第三边 $ BC $ 的长为 5,当 $ △ ABC $ 是直角三角形时,求 $ k $ 的值.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若 $ △ ABC $ 的两边 $ AB,AC $ 的长是这个方程的两个实数根,第三边 $ BC $ 的长为 5,当 $ △ ABC $ 是直角三角形时,求 $ k $ 的值.
答案
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式,三角形的三边关系及勾股定理.
【解析】(1)证明:关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,$b^2-4ac=[-(2k+1)]^2-4×1·(k^2+k)=1＞0$,
$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根.
(2)$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$
$(x-k)[x-(k+1)]=0$
解得 $x_1=k$,$x_2=k+1$.
$\because △ ABC$ 的两边 $AB,AC$ 的长是这个方程的两个实数根,则 $x_1=k＞0$,$x_2=k+1＞0$,$\therefore k＞0$,且 $k＜k+1$.
当 $BC$ 为直角边时,$k+1$ 为斜边,$k^2+5^2=(k+1)^2$,
解得 $k=12$;
当 $BC$ 为斜边时,$k^2+(k+1)^2=5^2$,
解得 $k_1=3$,$k_2=-4$(不符合题意,舍去).$\therefore k$ 的值为 12 或 3.
【解析】(1)证明:关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,$b^2-4ac=[-(2k+1)]^2-4×1·(k^2+k)=1＞0$,
$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根.
(2)$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$
$(x-k)[x-(k+1)]=0$
解得 $x_1=k$,$x_2=k+1$.
$\because △ ABC$ 的两边 $AB,AC$ 的长是这个方程的两个实数根,则 $x_1=k＞0$,$x_2=k+1＞0$,$\therefore k＞0$,且 $k＜k+1$.
当 $BC$ 为直角边时,$k+1$ 为斜边,$k^2+5^2=(k+1)^2$,
解得 $k=12$;
当 $BC$ 为斜边时,$k^2+(k+1)^2=5^2$,
解得 $k_1=3$,$k_2=-4$(不符合题意,舍去).$\therefore k$ 的值为 12 或 3.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，核心是计算判别式的值并判断其符号；第(2)问先解方程得到两个根，再结合直角三角形的性质，分BC为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理列方程，同时注意边长为正，舍去不符合题意的解。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$，其中 $a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2 + k$。
根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2 + k) = 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4k = 1 ＞ 0$，因此原方程有两个不相等的实数根。
(2) 解方程 $x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$，因式分解得 $(x - k)[x - (k + 1)] = 0$，解得 $x_1 = k$，$x_2 = k + 1$。
因为 $AB, AC$ 是三角形边长，所以 $k ＞ 0$，$k + 1 ＞ 0$，即 $k ＞ 0$，且 $k ＜ k + 1$。
分两种情况讨论直角三角形的斜边：
① 当 $BC = 5$ 为直角边时，斜边为 $k + 1$，根据勾股定理：
$k^2 + 5^2 = (k + 1)^2$，展开得 $k^2 + 25 = k^2 + 2k + 1$，解得 $k = 12$；
② 当 $BC = 5$ 为斜边时，两条直角边为 $k$ 和 $k + 1$，根据勾股定理：
$k^2 + (k + 1)^2 = 5^2$，展开得 $2k^2 + 2k + 1 = 25$，化简为 $k^2 + k - 12 = 0$，因式分解得 $(k + 4)(k - 3) = 0$，解得 $k = 3$ 或 $k = -4$，因为 $k ＞ 0$，舍去 $k = -4$，故 $k = 3$。
综上，$k$ 的值为 $12$ 或 $3$。
【答案】
$k$ 的值为 $12$ 或 $3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、勾股定理、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程与直角三角形的性质，解题关键是分情况讨论直角边和斜边，同时需结合边长为正的条件舍去不符合的解，避免漏解，难度中等。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，核心是计算判别式的值并判断其符号；第(2)问先解方程得到两个根，再结合直角三角形的性质，分BC为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理列方程，同时注意边长为正，舍去不符合题意的解。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$，其中 $a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2 + k$。
根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k^2 + k) = 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4k = 1 ＞ 0$，因此原方程有两个不相等的实数根。
(2) 解方程 $x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$，因式分解得 $(x - k)[x - (k + 1)] = 0$，解得 $x_1 = k$，$x_2 = k + 1$。
因为 $AB, AC$ 是三角形边长，所以 $k ＞ 0$，$k + 1 ＞ 0$，即 $k ＞ 0$，且 $k ＜ k + 1$。
分两种情况讨论直角三角形的斜边：
① 当 $BC = 5$ 为直角边时，斜边为 $k + 1$，根据勾股定理：
$k^2 + 5^2 = (k + 1)^2$，展开得 $k^2 + 25 = k^2 + 2k + 1$，解得 $k = 12$；
② 当 $BC = 5$ 为斜边时，两条直角边为 $k$ 和 $k + 1$，根据勾股定理：
$k^2 + (k + 1)^2 = 5^2$，展开得 $2k^2 + 2k + 1 = 25$，化简为 $k^2 + k - 12 = 0$，因式分解得 $(k + 4)(k - 3) = 0$，解得 $k = 3$ 或 $k = -4$，因为 $k ＞ 0$，舍去 $k = -4$，故 $k = 3$。
综上，$k$ 的值为 $12$ 或 $3$。
【答案】
$k$ 的值为 $12$ 或 $3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、勾股定理、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程与直角三角形的性质，解题关键是分情况讨论直角边和斜边，同时需结合边长为正的条件舍去不符合的解，避免漏解，难度中等。
【难度系数】
0.5
