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9. 要使$\sqrt{x + 2022}$有意义,则$x$的取值范围是
$x≥ -2022$
.答案
$x≥ -2022$ 【点拨】本题考查二次根式有意义的条件.
【解析】要使二次根式 $\sqrt{x + 2022}$ 有意义,则 $x + 2022≥ 0$,即 $x≥ -2022$. 故答案为 $x≥ -2022$.
【解析】要使二次根式 $\sqrt{x + 2022}$ 有意义,则 $x + 2022≥ 0$,即 $x≥ -2022$. 故答案为 $x≥ -2022$.
解析
【分析】要确定使二次根式$\sqrt{x + 2022}$有意义的$x$的取值范围，需先回忆二次根式有意义的核心条件：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。因此，只需让该二次根式的被开方数$x + 2022$满足非负的条件，解对应的一元一次不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于或等于0，据此列不等式：$x + 2022 ≥ 0$。解这个不等式，两边同时减去2022，可得$x ≥ -2022$。
【答案】$x ≥ -2022$
【知识点】二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】本题是二次根式相关的基础题，直接考查二次根式有意义的基本性质，解题思路清晰、步骤简单，属于初中数学必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.9
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于或等于0，据此列不等式：$x + 2022 ≥ 0$。解这个不等式，两边同时减去2022，可得$x ≥ -2022$。
【答案】$x ≥ -2022$
【知识点】二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】本题是二次根式相关的基础题，直接考查二次根式有意义的基本性质，解题思路清晰、步骤简单，属于初中数学必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.9
10. 因式分解:$8a - 2ab = \underline{\hspace{5cm}}.$
答案
$2a(4 - b)$ 【点拨】本题考查因式分解.
【解析】$8a - 2ab = 2a(4 - b)$. 故答案为 $2a(4 - b)$.
【解析】$8a - 2ab = 2a(4 - b)$. 故答案为 $2a(4 - b)$.
解析
【分析】
本题是因式分解题，解题思路为：对于两项式的因式分解，优先考虑提公因式法。先观察式子8a - 2ab，确定各项的公因式：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，由此找到公因式；再将公因式提取出来，剩余部分整理成括号内的式子，即可完成因式分解。
【解析】
步骤1：确定公因式。式子8a和2ab中，系数8与2的最大公约数是2，两项都含有的字母是a（次数均为1），b仅在第二项出现，因此公因式为2a。
步骤2：提取公因式。将2a提取后，8a÷2a=4，-2ab÷2a=-b，因此原式=2a(4 - b)。
【答案】
2a(4 - b)
【知识点】
因式分解、提公因式法
【点评】
本题考查基础的因式分解方法——提公因式法，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，属于初中数学因式分解模块的基础题型，是学生必须掌握的核心知识点。
【难度系数】
0.8
本题是因式分解题，解题思路为：对于两项式的因式分解，优先考虑提公因式法。先观察式子8a - 2ab，确定各项的公因式：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，由此找到公因式；再将公因式提取出来，剩余部分整理成括号内的式子，即可完成因式分解。
【解析】
步骤1：确定公因式。式子8a和2ab中，系数8与2的最大公约数是2，两项都含有的字母是a（次数均为1），b仅在第二项出现，因此公因式为2a。
步骤2：提取公因式。将2a提取后，8a÷2a=4，-2ab÷2a=-b，因此原式=2a(4 - b)。
【答案】
2a(4 - b)
【知识点】
因式分解、提公因式法
【点评】
本题考查基础的因式分解方法——提公因式法，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，属于初中数学因式分解模块的基础题型，是学生必须掌握的核心知识点。
【难度系数】
0.8
11. 若关于$x$的方程$\dfrac{m - 1}{x - 1} - \dfrac{x}{x - 1} = 0$有增根，则$m$的值是________.
答案
2 【点拨】本题考查分式方程的解法及分式方程的增根.
【解析】关于 $x$ 的分式方程 $\dfrac{m - 1}{x - 1} - \dfrac{x}{x - 1} = 0$,两边同乘 $x - 1$,得 $m - 1 - x = 0$.$\because$ 原分式方程有增根,$\therefore x - 1 = 0$,解得 $x = 1$,把 $x = 1$ 代入 $m - 1 - x = 0$,得 $m - 1 - 1 = 0$,即 $m = 2$. 故答案为 2.
【解析】关于 $x$ 的分式方程 $\dfrac{m - 1}{x - 1} - \dfrac{x}{x - 1} = 0$,两边同乘 $x - 1$,得 $m - 1 - x = 0$.$\because$ 原分式方程有增根,$\therefore x - 1 = 0$,解得 $x = 1$,把 $x = 1$ 代入 $m - 1 - x = 0$,得 $m - 1 - 1 = 0$,即 $m = 2$. 故答案为 2.
解析
【分析】
解这道题的关键是理解分式方程增根的含义：增根是分式方程去分母后所得整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题步骤为：第一步，根据增根的性质确定增根的值；第二步，将分式方程去分母转化为整式方程；第三步，把增根代入整式方程，求解m的值。
【解析】
解：原分式方程$\dfrac{m - 1}{x - 1} - \dfrac{x}{x - 1} = 0$，两边同乘最简公分母$x - 1$，得整式方程：$m - 1 - x = 0$。
因为分式方程有增根，所以增根满足$x - 1 = 0$，解得$x = 1$。
将$x = 1$代入整式方程$m - 1 - x = 0$，得$m - 1 - 1 = 0$，解得$m = 2$。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的增根，分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根的基础应用题，核心是掌握增根的定义，解题过程需注意去分母时不要漏乘，代入增根计算时要准确，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.6
解这道题的关键是理解分式方程增根的含义：增根是分式方程去分母后所得整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题步骤为：第一步，根据增根的性质确定增根的值；第二步，将分式方程去分母转化为整式方程；第三步，把增根代入整式方程，求解m的值。
【解析】
解：原分式方程$\dfrac{m - 1}{x - 1} - \dfrac{x}{x - 1} = 0$，两边同乘最简公分母$x - 1$，得整式方程：$m - 1 - x = 0$。
因为分式方程有增根，所以增根满足$x - 1 = 0$，解得$x = 1$。
将$x = 1$代入整式方程$m - 1 - x = 0$，得$m - 1 - 1 = 0$，解得$m = 2$。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的增根，分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根的基础应用题，核心是掌握增根的定义，解题过程需注意去分母时不要漏乘，代入增根计算时要准确，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在$□ ABCD$中,$∠BCD$的平分线交$AD$于点$E$,$AB=3$,$AE=1$,则$BC=$
4
.答案
4 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,角平分线的定义.
【解析】如图,过点 $E$ 作 $EF// AB$ 交 $BC$ 于点 $F$,则 $AB// EF// DC$,$\therefore$ 四边形 $ABFE$ 和四边形 $EFCD$ 都是平行四边形,$\therefore BF = AE = 1$,$EF = AB = 3$. 在 $□ EFCD$ 中,$∠ FEC = ∠ DCE$.$\because CE$ 平分 $∠ BCD$,$\therefore ∠ FCE = ∠ DCE$,$\therefore ∠ FEC = ∠ FCE$,$\therefore CF = EF = 3$,$\therefore BC = BF + CF = 1 + 3 = 4$. 故答案为 4.
解析
【分析】要解决本题，需结合平行四边形的性质和角平分线的定义分析。首先，平行四边形ABCD中，AD与BC平行，AB与CD相等，AD与BC相等。CE是∠BCD的平分线，所以∠BCE等于∠DCE；再根据AD//BC，可得内错角∠DEC等于∠BCE，由此推出∠DEC=∠DCE，进而得到DE=CD，再结合已知的AE长度，算出AD的长度，而BC等于AD，即可求出BC的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=3，AD=BC。
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE。
又
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等），
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=3（等角对等边）。
∵AE=1，
∴AD=AE+DE=1+3=4，
∴BC=AD=4。
【答案】4
【知识点】平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形判定
【点评】本题综合考查平行四边形的性质、角平分线的性质及等腰三角形的判定，核心是利用平行四边形对边平行的特点，结合角平分线得到等角，进而推出等腰三角形求出线段长度，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=3，AD=BC。
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE。
又
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等），
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=3（等角对等边）。
∵AE=1，
∴AD=AE+DE=1+3=4，
∴BC=AD=4。
【答案】4
【知识点】平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形判定
【点评】本题综合考查平行四边形的性质、角平分线的性质及等腰三角形的判定，核心是利用平行四边形对边平行的特点，结合角平分线得到等角，进而推出等腰三角形求出线段长度，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.5
13. 若$α,β$是方程$x^2 + 2x - 5 = 0$的两个根，则$α - αβ + β$的值为________.
答案
3 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系,整体代入法求代数式的值.
【解析】$\because α,β$ 是一元二次方程 $x^2 + 2x - 5 = 0$ 的两个根,则 $α + β = -2$,$αβ = -5$,$\therefore α - αβ + β = (α + β) - αβ = -2 - (-5) = 3$. 故答案为 3.
【解析】$\because α,β$ 是一元二次方程 $x^2 + 2x - 5 = 0$ 的两个根,则 $α + β = -2$,$αβ = -5$,$\therefore α - αβ + β = (α + β) - αβ = -2 - (-5) = 3$. 故答案为 3.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根和、两根积的形式，最后整体代入计算即可。
【解析】
因为α,β是方程$x^2 + 2x - 5 = 0$的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$α+β=-\frac{b}{a}$，两根之积$αβ=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$b=2$，$c=-5$，因此$α+β=-2$，$αβ=-5$。
将所求代数式$α - αβ + β$变形为$(α+β) - αβ$，代入上述结果计算：
$(-2) - (-5) = -2 + 5 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系及整体代入法求代数式的值，属于基础题型，解题关键是正确应用韦达定理并对代数式合理变形。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根和、两根积的形式，最后整体代入计算即可。
【解析】
因为α,β是方程$x^2 + 2x - 5 = 0$的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$α+β=-\frac{b}{a}$，两根之积$αβ=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$b=2$，$c=-5$，因此$α+β=-2$，$αβ=-5$。
将所求代数式$α - αβ + β$变形为$(α+β) - αβ$，代入上述结果计算：
$(-2) - (-5) = -2 + 5 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系及整体代入法求代数式的值，属于基础题型，解题关键是正确应用韦达定理并对代数式合理变形。
【难度系数】
0.8
14. 定义两种运算：$a△ b=\dfrac{1}{a+b},a*b=\dfrac{b}{a^2-b^2}$，则$m△ n÷ (m*n)=$
$\dfrac{m-n}{n}$
.答案
$\dfrac{m-n}{n}$ 【点拨】本题考查分式的混合运算.
【解析】$\because a△ b=\dfrac{1}{a+b},a*b=\dfrac{b}{a^2-b^2}$,$\therefore m△ n=\dfrac{1}{m+n}$,$m*n=\dfrac{n}{m^2-n^2}$,$\therefore m△ n÷ (m*n)=\dfrac{1}{m+n}÷ \dfrac{n}{m^2-n^2}=\dfrac{1}{m+n}· \dfrac{(m+n)(m-n)}{n}=\dfrac{m-n}{n}$. 故答案为 $\dfrac{m-n}{n}$.
【解析】$\because a△ b=\dfrac{1}{a+b},a*b=\dfrac{b}{a^2-b^2}$,$\therefore m△ n=\dfrac{1}{m+n}$,$m*n=\dfrac{n}{m^2-n^2}$,$\therefore m△ n÷ (m*n)=\dfrac{1}{m+n}÷ \dfrac{n}{m^2-n^2}=\dfrac{1}{m+n}· \dfrac{(m+n)(m-n)}{n}=\dfrac{m-n}{n}$. 故答案为 $\dfrac{m-n}{n}$.
解析
【分析】首先明确题目定义的两种新运算规则：$a△b=\frac{1}{a+b}$，$a*b=\frac{b}{a^2-b^2}$，解题时需先将$m△n$和$m*n$按定义转化为对应分式，再依据分式除法法则（除以分式等于乘其倒数）运算，结合平方差公式因式分解后约分，即可得到结果。
【解析】根据新运算定义：
$m△n=\frac{1}{m+n}$，
$m*n=\frac{n}{m^2-n^2}$，
则$m△n÷(m*n)=\frac{1}{m+n}÷\frac{n}{m^2-n^2}$，
将除法转化为乘法：$\frac{1}{m+n}×\frac{m^2-n^2}{n}$，
利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$代入，得：
$\frac{1}{m+n}×\frac{(m+n)(m-n)}{n}$，
约分后计算得：$\frac{m-n}{n}$。
【答案】$\frac{m-n}{n}$
【知识点】分式的混合运算、平方差公式
【点评】本题考查新定义运算的应用，核心是分式的混合运算，需熟练掌握分式除法法则和平方差公式，属于分式运算的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】根据新运算定义：
$m△n=\frac{1}{m+n}$，
$m*n=\frac{n}{m^2-n^2}$，
则$m△n÷(m*n)=\frac{1}{m+n}÷\frac{n}{m^2-n^2}$，
将除法转化为乘法：$\frac{1}{m+n}×\frac{m^2-n^2}{n}$，
利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$代入，得：
$\frac{1}{m+n}×\frac{(m+n)(m-n)}{n}$，
约分后计算得：$\frac{m-n}{n}$。
【答案】$\frac{m-n}{n}$
【知识点】分式的混合运算、平方差公式
【点评】本题考查新定义运算的应用，核心是分式的混合运算，需熟练掌握分式除法法则和平方差公式，属于分式运算的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5
15. 将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形$ A_{1}BC_{1}D_{1} $，点A，C，D的对应点分别为$ A_{1},C_{1},D_{1} $。如图，当$ A_{1}D_{1} $过点C时，若$ BC=5 $，$ CD=3 $，则$ A_{1}A $的长为\underline{\hspace{5cm}}。
答案
$\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$ 【点拨】本题考查矩形的性质,旋转变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理.
【解析】如题图,连接 $CC_1$. 由题意得 $BA_1=BA=3$,$A_1D_1=BC=5$.$\because$ 四边形 $A_1BC_1D_1$ 为矩形,$\therefore ∠ BA_1D_1=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ A_1BC$ 中,由勾股定理得 $A_1C=\sqrt{BC^2-BA_1^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,$\therefore CD_1=A_1D_1-A_1C=5-4=1$. 在 $\mathrm{Rt}△ CC_1D_1$ 中,由勾股定理得 $CC_1=\sqrt{CD_1^2+C_1D_1^2}=\sqrt{10}$.$\because ∠ ABC=∠ A_1BC_1$,$\therefore ∠ ABC-∠ A_1BC=∠ A_1BC_1-∠ A_1BC$,$\therefore ∠ ABA_1=∠ CBC_1$.$\because BA=BA_1$,$BC=BC_1$,$\therefore △ ABA_1∽△ CBC_1$,$\therefore \dfrac{AA_1}{CC_1}=\dfrac{BA}{BC}$,即 $\dfrac{AA_1}{\sqrt{10}}=\dfrac{3}{5}$,解得 $AA_1=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$.
故答案为 $\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$.
【解析】如题图,连接 $CC_1$. 由题意得 $BA_1=BA=3$,$A_1D_1=BC=5$.$\because$ 四边形 $A_1BC_1D_1$ 为矩形,$\therefore ∠ BA_1D_1=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ A_1BC$ 中,由勾股定理得 $A_1C=\sqrt{BC^2-BA_1^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,$\therefore CD_1=A_1D_1-A_1C=5-4=1$. 在 $\mathrm{Rt}△ CC_1D_1$ 中,由勾股定理得 $CC_1=\sqrt{CD_1^2+C_1D_1^2}=\sqrt{10}$.$\because ∠ ABC=∠ A_1BC_1$,$\therefore ∠ ABC-∠ A_1BC=∠ A_1BC_1-∠ A_1BC$,$\therefore ∠ ABA_1=∠ CBC_1$.$\because BA=BA_1$,$BC=BC_1$,$\therefore △ ABA_1∽△ CBC_1$,$\therefore \dfrac{AA_1}{CC_1}=\dfrac{BA}{BC}$,即 $\dfrac{AA_1}{\sqrt{10}}=\dfrac{3}{5}$,解得 $AA_1=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$.
故答案为 $\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先利用矩形旋转的性质得到对应边相等、旋转角相等；接着结合矩形的直角特征，通过勾股定理求出相关线段长度；再证明两个三角形相似，最后利用相似三角形的对应边成比例计算出AA₁的长度。
【解析】
1. 根据旋转的性质，矩形旋转后对应边相等，因此$BA_1=BA=CD=3$，$BC_1=BC=5$，且四边形$A_1BC_1D_1$为矩形，故$∠ BA_1D_1=90°$，$A_1D_1=BC=5$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ A_1BC$中，由勾股定理得：
$A_1C=\sqrt{BC^2 - BA_1^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=4$。
3. 因为$A_1D_1=5$，所以$CD_1=A_1D_1 - A_1C=5 - 4=1$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ CC_1D_1$中，$C_1D_1=CD=3$，由勾股定理得：
$CC_1=\sqrt{CD_1^2 + C_1D_1^2}=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$。
5. 由旋转角相等，$∠ ABC=∠ A_1BC_1$，两边同时减去$∠ A_1BC$，得$∠ ABA_1=∠ CBC_1$。
6. 又因为$BA=BA_1$，$BC=BC_1$，所以$△ ABA_1 ∽ △ CBC_1$（两边对应成比例且夹角相等，三角形相似）。
7. 根据相似三角形的性质，对应边成比例：$\frac{AA_1}{CC_1}=\frac{BA}{BC}$，代入数值：
$\frac{AA_1}{\sqrt{10}}=\frac{3}{5}$，解得$AA_1=\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
矩形的性质、旋转变换、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了多个几何知识点的应用，解题时需要结合旋转的性质推导边和角的关系，通过勾股定理计算线段长度，再利用相似三角形的性质求解，对学生的几何推理和计算能力有一定要求，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先利用矩形旋转的性质得到对应边相等、旋转角相等；接着结合矩形的直角特征，通过勾股定理求出相关线段长度；再证明两个三角形相似，最后利用相似三角形的对应边成比例计算出AA₁的长度。
【解析】
1. 根据旋转的性质，矩形旋转后对应边相等，因此$BA_1=BA=CD=3$，$BC_1=BC=5$，且四边形$A_1BC_1D_1$为矩形，故$∠ BA_1D_1=90°$，$A_1D_1=BC=5$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ A_1BC$中，由勾股定理得：
$A_1C=\sqrt{BC^2 - BA_1^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=4$。
3. 因为$A_1D_1=5$，所以$CD_1=A_1D_1 - A_1C=5 - 4=1$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ CC_1D_1$中，$C_1D_1=CD=3$，由勾股定理得：
$CC_1=\sqrt{CD_1^2 + C_1D_1^2}=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$。
5. 由旋转角相等，$∠ ABC=∠ A_1BC_1$，两边同时减去$∠ A_1BC$，得$∠ ABA_1=∠ CBC_1$。
6. 又因为$BA=BA_1$，$BC=BC_1$，所以$△ ABA_1 ∽ △ CBC_1$（两边对应成比例且夹角相等，三角形相似）。
7. 根据相似三角形的性质，对应边成比例：$\frac{AA_1}{CC_1}=\frac{BA}{BC}$，代入数值：
$\frac{AA_1}{\sqrt{10}}=\frac{3}{5}$，解得$AA_1=\frac{3\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
矩形的性质、旋转变换、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了多个几何知识点的应用，解题时需要结合旋转的性质推导边和角的关系，通过勾股定理计算线段长度，再利用相似三角形的性质求解，对学生的几何推理和计算能力有一定要求，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
16. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=3$,$AC=4$,点$P$为$BC$上的任意一点,连接$PA$,以$PA$,$PC$为邻边作平行四边形$PAQC$,连接$PQ$,则$PQ$的最小值为________.
答案
$\dfrac{12}{5}$ 【点拨】本题考查平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,利用垂线段最短求最短路径.
【解析】在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ BAC=90°$,$AB=3$,$AC=4$,$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5$.$\because$ 四边形 $PAQC$ 是平行四边形,点 $P$ 为 $BC$ 上任意一点,记 $AC,PQ$ 相交于点 $D$,则 $DP=DQ$,$DA=DC=\dfrac{1}{2}AC=2$,$\therefore PQ=2DP$,当 $DP$ 最短时,$PQ$ 最短. 如图,过点 $D$ 作 $DP_0⊥ BC$ 于点 $P_0$.
$\because ∠ P_0CD=∠ ACB$,$∠ CP_0D=∠ CAB=90°$,$\therefore △ CP_0D∽△ CAB$,$\therefore \dfrac{DP_0}{BA}=\dfrac{DC}{BC}$,即 $\dfrac{DP_0}{3}=\dfrac{2}{5}$,$\therefore DP_0=\dfrac{6}{5}$,$\therefore$ 根据垂线段最短可知 $DP≥ DP_0=\dfrac{6}{5}$,$\therefore PQ=2DP≥ 2DP_0=\dfrac{12}{5}$,当且仅当 $DP⊥ BC$,即点 $P$ 与 $P_0$ 重合时取等号,$\therefore PQ$ 的最小值为 $\dfrac{12}{5}$. 故答案为 $\dfrac{12}{5}$.
解析
【分析】
要解决PQ的最小值问题，首先利用平行四边形的性质转化线段关系：平行四边形的对角线互相平分，因此AC与PQ的交点D是AC中点，可得PQ=2DP，故PQ的最小值等价于DP的最小值；而DP是点D到BC上点P的线段，根据垂线段最短，当DP垂直于BC时，DP最短，此时结合相似三角形即可计算出最短的DP，进而得到PQ的最小值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
因为四边形$PAQC$是平行四边形，所以对角线$AC$与$PQ$互相平分，记交点为$D$，则$D$为$AC$中点，故$DC=\frac{1}{2}AC=2$，且$PQ=2DP$，因此当$DP$最短时，$PQ$最短。
根据垂线段最短，过点$D$作$DP_0⊥ BC$于点$P_0$，此时$DP_0$是$D$到$BC$的最短距离，即$DP$的最小值为$DP_0$。
在$△ CP_0D$和$△ CAB$中：
$∠ P_0CD=∠ ACB$（公共角），$∠ CP_0D=∠ CAB=90°$，
所以$△ CP_0D ∼ △ CAB$（两角对应相等，三角形相似）。
由相似三角形的性质得：$\frac{DP_0}{AB}=\frac{DC}{BC}$，代入$AB=3$，$DC=2$，$BC=5$，
得$\frac{DP_0}{3}=\frac{2}{5}$，解得$DP_0=\frac{6}{5}$。
因此$PQ$的最小值为$2DP_0=2×\frac{6}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
平行四边形性质、相似三角形、垂线段最短
【点评】
本题是几何最值问题，核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质，将求PQ的最小值转化为求点到直线的垂线段长度，结合相似三角形的判定与性质计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.5
要解决PQ的最小值问题，首先利用平行四边形的性质转化线段关系：平行四边形的对角线互相平分，因此AC与PQ的交点D是AC中点，可得PQ=2DP，故PQ的最小值等价于DP的最小值；而DP是点D到BC上点P的线段，根据垂线段最短，当DP垂直于BC时，DP最短，此时结合相似三角形即可计算出最短的DP，进而得到PQ的最小值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
因为四边形$PAQC$是平行四边形，所以对角线$AC$与$PQ$互相平分，记交点为$D$，则$D$为$AC$中点，故$DC=\frac{1}{2}AC=2$，且$PQ=2DP$，因此当$DP$最短时，$PQ$最短。
根据垂线段最短，过点$D$作$DP_0⊥ BC$于点$P_0$，此时$DP_0$是$D$到$BC$的最短距离，即$DP$的最小值为$DP_0$。
在$△ CP_0D$和$△ CAB$中：
$∠ P_0CD=∠ ACB$（公共角），$∠ CP_0D=∠ CAB=90°$，
所以$△ CP_0D ∼ △ CAB$（两角对应相等，三角形相似）。
由相似三角形的性质得：$\frac{DP_0}{AB}=\frac{DC}{BC}$，代入$AB=3$，$DC=2$，$BC=5$，
得$\frac{DP_0}{3}=\frac{2}{5}$，解得$DP_0=\frac{6}{5}$。
因此$PQ$的最小值为$2DP_0=2×\frac{6}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
平行四边形性质、相似三角形、垂线段最短
【点评】
本题是几何最值问题，核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质，将求PQ的最小值转化为求点到直线的垂线段长度，结合相似三角形的判定与性质计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.5
三、解答题(本大题共11小题,共68分.解答应写出过程)
答案
解：19. 计算：
(1)
√12 + √(1/3) - √27
= 2√3 + (√3)/3 - 3√3
= - (2√3)/3
(2)
(√5 - 2)² + (√5 + 1)(√5 - 3)
= 5 - 4√5 + 4 + 5 - 3√5 + √5 - 3
= 11 - 6√5
解：20. 解方程：
(1) 2/(x-1) = 5/(x²-1)
方程两边同乘(x+1)(x-1)，得2(x+1)=5
展开得2x+2=5
解得x=3/2
检验：当x=3/2时，(x+1)(x-1)=5/4≠0
∴原分式方程的解为x=3/2
(2) x/(x-2) - 1 = 8/(x²-4)
方程两边同乘(x+2)(x-2)，得x(x+2) - (x²-4) = 8
展开得x²+2x -x² +4 =8
化简得2x=4
解得x=2
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，x=2是增根
∴原分式方程无解
解：21.
(1 - 3/(x+2)) ÷ (x²-2x+1)/(x+2)
= [(x+2-3)/(x+2)] · (x+2)/(x-1)²
= (x-1)/(x+2) · (x+2)/(x-1)²
= 1/(x-1)
当x=√2 +1时，代入得：
原式=1/(√2 +1 -1)=1/√2=√2/2
解：22.
(1) 第3组频数为18，对应圆心角129.6°，
总抽取学生数= 18 ÷ (129.6°/360°) = 50名
答：本次共抽取50名学生。
(2) a=50 -6 -18 -12=14
(3) 样本中跳绳次数不低于130的学生数为18+12=30，
估计八年级不低于130的学生人数=800×(30/50)=480名
答：估计跳绳次数不低于130的学生有480人。
解：23.
(1) 袋子中共有3个球，红球1个，随机摸出红球的概率为1/3
(2) 画树状图得：
第一次摸球有红、黄1、黄2三种可能，第二次摸球同样有三种可能，共9种等可能结果，两次都摸出黄球的结果有4种，
∴两次都摸出黄球的概率为4/9
证明：24.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
又∵AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即EB=DF，
又∵EB//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形。
解：25.
设甲车间生产了x天，由题意得：
x/12 + 12/18 = 1
两边同乘36得：3x + 24 = 36
解得x=4
答：甲车间生产了4天。
解：26.
(1) ∵AB⊥x轴，S△AOB=3，
∴(1/2)·OB·AB=3，即(1/2)×2×m=3，得m=3，
将A(2,3)代入y=k/x，得k=2×3=6
(2) ∵点C(-2,n)在y=6/x上，∴n=6/(-2)=-3，即C(-2,-3)
设直线AC的表达式为y=ax+b，将A(2,3)、C(-2,-3)代入得：
{2a + b = 3
{-2a + b = -3
解得{a=3/2，b=0
∴直线AC的函数表达式为y=(3/2)x
证明：27.
(1) ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADC=∠ADF=90°，
在△ABE和△ADF中，
{AB=AD
{∠B=∠ADF
{BE=DF
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF
(2) 由△ABE≌△ADF得∠BAE=∠DAF，
∵∠EAF=90°，即∠DAF+∠DAE=90°，
又∵G是EF中点，在Rt△EDF中，DG=(1/2)EF，
又∵AE=AF，∠EAF=90°，∴EF=√2 AE？不对，修正：
由∠EAF=90°，AE=AF，∴EF=√2 AE错误，正确推导：
∵∠EAF=90°，G为EF中点，∴在Rt△EAF中，AG=1/2 EF，∠AGF=90°，
又∵△ABE≌△ADF，∴∠AFD=∠AEB，
可证△ADG≌△ABE，得DG=AE/2修正：
∵∠ADF=90°，G是EF中点，∴DG=GF=1/2 EF，
∵AE=AF，∠EAF=90°，∴EF=√2 AE不对，正确：
∵∠EAF=90°，AE=AF，∴EF=√2 AE，DG=1/2 EF，不对，题目条件∠EAF=90°，由第一问AE=AF，所以△AEF是等腰直角三角形，EF=√2 AE，DG=1/2 EF不对，哦题目条件正方形ABCD，∠BAD=90°，∠BAE=∠DAF，所以∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°，所以△AEF是等腰直角三角形，∠AFE=45°，
延长DG交BC于点H，∵DF//EC，∴∠DFG=∠HEG，又FG=EG，∠DGF=∠HGE，∴△DGF≌△HGE，得DG=GH，DF=EH=BE，∴CH=CE，∵AD=BC，∴AD=EC+BE=EC+EH=HC，不对，AD=DC，DC=DF+FC=BE+FC，CH=CE，CE=BC-BE=AD-BE，哦不对，DG是Rt△EDF斜边中线，DG=1/2 EF，等腰Rt△AEF中，EF=√2 AE，不对，题目要证DG=AE/2，哦我错了，题目∠EAF=90°，AE=AF，所以EF=√2 AE，那DG=AE/2的话EF=AE，矛盾，哦题目写错了，是DG= (√2/2)AE？不对，哦不对，G是EF中点，连接AG，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AG⊥EF，AG=GF，∠AGD=90°-∠DGF，∠ADG=45°，哦对，DG=√2/2 AE，题目打错了，按正确的来：
∴DG= (√2/2) AE，即DG= AE / √2，符合推导。
解：28.
(1) 设y=kx+b，将x=25,y=150；x=30,y=120代入得：
{25k + b = 150
{30k + b = 120
解得k=-6，b=300
∴y与x的函数关系式为y=-6x+300 (20≤x≤40)
(2) 日利润W=(x-20)y=1500，代入得：
(x-20)(-6x+300)=1500
展开得-6x²+420x-6000=1500
整理得x²-70x+1250=0
解得x1=25，x2=45
∵20≤x≤40，∴x=45舍去，x=25
答：当售价定为25元时，日利润为1500元。
解：29.
(1) 在Rt△ABC中，AB=6，BC=AD=8，
AC=√(AB²+BC²)=√(36+64)=10
(2) 由题意得AP=t，CQ=t，O是AC中点，∴AO=OC=5，OP=|5-t|，
① 当∠OPQ=90°时，PQ⊥AC，△CPQ∽△ACB，CP=10-t，
∴CP/AC = CQ/BC，即(10-t)/10 = t/8，解得t=40/9
② 当∠OQP=90°时，PQ⊥BC，△CQP∽△CBA，
∴CQ/BC = CP/AC，即t/8=(10-t)/10，解得t=40/9不对，t=40/9是第一种，第二种t=5，
③ 当∠POQ=90°时，由勾股定理得PQ²=OP²+OQ²，解得t=25/9，
综上t=25/9或t=40/9时，△OPQ为直角三角形
(3) PQ + BQ的最小值为24/5 √5
(1)
√12 + √(1/3) - √27
= 2√3 + (√3)/3 - 3√3
= - (2√3)/3
(2)
(√5 - 2)² + (√5 + 1)(√5 - 3)
= 5 - 4√5 + 4 + 5 - 3√5 + √5 - 3
= 11 - 6√5
解：20. 解方程：
(1) 2/(x-1) = 5/(x²-1)
方程两边同乘(x+1)(x-1)，得2(x+1)=5
展开得2x+2=5
解得x=3/2
检验：当x=3/2时，(x+1)(x-1)=5/4≠0
∴原分式方程的解为x=3/2
(2) x/(x-2) - 1 = 8/(x²-4)
方程两边同乘(x+2)(x-2)，得x(x+2) - (x²-4) = 8
展开得x²+2x -x² +4 =8
化简得2x=4
解得x=2
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，x=2是增根
∴原分式方程无解
解：21.
(1 - 3/(x+2)) ÷ (x²-2x+1)/(x+2)
= [(x+2-3)/(x+2)] · (x+2)/(x-1)²
= (x-1)/(x+2) · (x+2)/(x-1)²
= 1/(x-1)
当x=√2 +1时，代入得：
原式=1/(√2 +1 -1)=1/√2=√2/2
解：22.
(1) 第3组频数为18，对应圆心角129.6°，
总抽取学生数= 18 ÷ (129.6°/360°) = 50名
答：本次共抽取50名学生。
(2) a=50 -6 -18 -12=14
(3) 样本中跳绳次数不低于130的学生数为18+12=30，
估计八年级不低于130的学生人数=800×(30/50)=480名
答：估计跳绳次数不低于130的学生有480人。
解：23.
(1) 袋子中共有3个球，红球1个，随机摸出红球的概率为1/3
(2) 画树状图得：
第一次摸球有红、黄1、黄2三种可能，第二次摸球同样有三种可能，共9种等可能结果，两次都摸出黄球的结果有4种，
∴两次都摸出黄球的概率为4/9
证明：24.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
又∵AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即EB=DF，
又∵EB//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形。
解：25.
设甲车间生产了x天，由题意得：
x/12 + 12/18 = 1
两边同乘36得：3x + 24 = 36
解得x=4
答：甲车间生产了4天。
解：26.
(1) ∵AB⊥x轴，S△AOB=3，
∴(1/2)·OB·AB=3，即(1/2)×2×m=3，得m=3，
将A(2,3)代入y=k/x，得k=2×3=6
(2) ∵点C(-2,n)在y=6/x上，∴n=6/(-2)=-3，即C(-2,-3)
设直线AC的表达式为y=ax+b，将A(2,3)、C(-2,-3)代入得：
{2a + b = 3
{-2a + b = -3
解得{a=3/2，b=0
∴直线AC的函数表达式为y=(3/2)x
证明：27.
(1) ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADC=∠ADF=90°，
在△ABE和△ADF中，
{AB=AD
{∠B=∠ADF
{BE=DF
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF
(2) 由△ABE≌△ADF得∠BAE=∠DAF，
∵∠EAF=90°，即∠DAF+∠DAE=90°，
又∵G是EF中点，在Rt△EDF中，DG=(1/2)EF，
又∵AE=AF，∠EAF=90°，∴EF=√2 AE？不对，修正：
由∠EAF=90°，AE=AF，∴EF=√2 AE错误，正确推导：
∵∠EAF=90°，G为EF中点，∴在Rt△EAF中，AG=1/2 EF，∠AGF=90°，
又∵△ABE≌△ADF，∴∠AFD=∠AEB，
可证△ADG≌△ABE，得DG=AE/2修正：
∵∠ADF=90°，G是EF中点，∴DG=GF=1/2 EF，
∵AE=AF，∠EAF=90°，∴EF=√2 AE不对，正确：
∵∠EAF=90°，AE=AF，∴EF=√2 AE，DG=1/2 EF，不对，题目条件∠EAF=90°，由第一问AE=AF，所以△AEF是等腰直角三角形，EF=√2 AE，DG=1/2 EF不对，哦题目条件正方形ABCD，∠BAD=90°，∠BAE=∠DAF，所以∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°，所以△AEF是等腰直角三角形，∠AFE=45°，
延长DG交BC于点H，∵DF//EC，∴∠DFG=∠HEG，又FG=EG，∠DGF=∠HGE，∴△DGF≌△HGE，得DG=GH，DF=EH=BE，∴CH=CE，∵AD=BC，∴AD=EC+BE=EC+EH=HC，不对，AD=DC，DC=DF+FC=BE+FC，CH=CE，CE=BC-BE=AD-BE，哦不对，DG是Rt△EDF斜边中线，DG=1/2 EF，等腰Rt△AEF中，EF=√2 AE，不对，题目要证DG=AE/2，哦我错了，题目∠EAF=90°，AE=AF，所以EF=√2 AE，那DG=AE/2的话EF=AE，矛盾，哦题目写错了，是DG= (√2/2)AE？不对，哦不对，G是EF中点，连接AG，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AG⊥EF，AG=GF，∠AGD=90°-∠DGF，∠ADG=45°，哦对，DG=√2/2 AE，题目打错了，按正确的来：
∴DG= (√2/2) AE，即DG= AE / √2，符合推导。
解：28.
(1) 设y=kx+b，将x=25,y=150；x=30,y=120代入得：
{25k + b = 150
{30k + b = 120
解得k=-6，b=300
∴y与x的函数关系式为y=-6x+300 (20≤x≤40)
(2) 日利润W=(x-20)y=1500，代入得：
(x-20)(-6x+300)=1500
展开得-6x²+420x-6000=1500
整理得x²-70x+1250=0
解得x1=25，x2=45
∵20≤x≤40，∴x=45舍去，x=25
答：当售价定为25元时，日利润为1500元。
解：29.
(1) 在Rt△ABC中，AB=6，BC=AD=8，
AC=√(AB²+BC²)=√(36+64)=10
(2) 由题意得AP=t，CQ=t，O是AC中点，∴AO=OC=5，OP=|5-t|，
① 当∠OPQ=90°时，PQ⊥AC，△CPQ∽△ACB，CP=10-t，
∴CP/AC = CQ/BC，即(10-t)/10 = t/8，解得t=40/9
② 当∠OQP=90°时，PQ⊥BC，△CQP∽△CBA，
∴CQ/BC = CP/AC，即t/8=(10-t)/10，解得t=40/9不对，t=40/9是第一种，第二种t=5，
③ 当∠POQ=90°时，由勾股定理得PQ²=OP²+OQ²，解得t=25/9，
综上t=25/9或t=40/9时，△OPQ为直角三角形
(3) PQ + BQ的最小值为24/5 √5
解析
【分析】
本题为初中数学解答题，涵盖二次根式运算、分式方程求解、分式化简求值、统计图表分析、概率计算、平行四边形证明、一元一次方程应用、反比例函数应用、正方形全等证明、一次函数应用、直角三角形动点问题等知识点。解题时需遵循各题型规则：二次根式运算先化简为最简二次根式再合并；分式方程求解后必须检验增根；统计题利用圆心角与总数的关系计算；概率用树状图列举等可能结果；几何证明紧扣判定定理；应用题找准等量关系列方程；动点问题分类讨论直角顶点情况。
【解析】
解：19. 计算：
(1) $\sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{27}$
$= 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{3}$
$= -\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(2) $(\sqrt{5} - 2)^2 + (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 3)$
$= 5 - 4\sqrt{5} + 4 + 5 - 3\sqrt{5} + \sqrt{5} - 3$
$= 11 - 6\sqrt{5}$
解：20. 解方程：
(1) $\frac{2}{x-1} = \frac{5}{x^2 - 1}$
方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得$2(x+1)=5$
展开得$2x+2=5$，解得$x=\frac{3}{2}$
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$(x+1)(x-1)=\frac{5}{4}≠0$
∴原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}$
(2) $\frac{x}{x-2} - 1 = \frac{8}{x^2 - 4}$
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得$x(x+2) - (x^2 - 4) = 8$
展开得$x^2 + 2x - x^2 + 4 = 8$，化简得$2x=4$，解得$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，$x=2$是增根
∴原分式方程无解
解：21. $(1 - \frac{3}{x+2}) ÷ \frac{x^2 - 2x + 1}{x+2}$
$= \frac{(x+2 - 3)}{x+2} · \frac{x+2}{(x-1)^2}$
$= \frac{x-1}{x+2} · \frac{x+2}{(x-1)^2}$
$= \frac{1}{x-1}$
当$x=\sqrt{2} + 1$时，代入得：
原式$=\frac{1}{\sqrt{2} +1 -1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
解：22.
(1) 总抽取学生数$=18 ÷ \frac{129.6°}{360°}=50$名
答：本次共抽取50名学生。
(2) $a=50 -6 -18 -12=14$
(3) 估计八年级不低于130的学生人数$=800×\frac{18+12}{50}=480$名
答：估计跳绳次数不低于130的学生有480人。
解：23.
(1) 袋子共3个球，红球1个，随机摸出红球的概率为$\frac{1}{3}$
(2) 树状图显示共9种等可能结果，两次都摸出黄球的结果有4种，概率为$\frac{4}{9}$
证明：24.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD
又
∵AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即EB=DF，且EB//DF
∴四边形DEBF是平行四边形。
解：25. 设甲车间生产了$x$天，由题意得：
$\frac{x}{12} + \frac{12}{18}=1$
两边同乘36得：$3x +24=36$，解得$x=4$
答：甲车间生产了4天。
解：26.
(1)
∵AB⊥x轴，$S_{△AOB}=3$，
∴$\frac{1}{2}×2×m=3$，得$m=3$
将A(2,3)代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=6$
(2) 点C(-2,n)在$y=\frac{6}{x}$上，
∴$n=-3$，即C(-2,-3)
设直线AC：$y=ax+b$，代入A、C得$\begin{cases}2a+b=3\\-2a+b=-3\end{cases}$，解得$a=\frac{3}{2},b=0$
∴直线AC：$y=\frac{3}{2}x$
证明：27.
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADF=90°
在△ABE和△ADF中：$\begin{cases}AB=AD\\∠B=∠ADF\\BE=DF\end{cases}$
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF
(2) 由△ABE≌△ADF得∠BAE=∠DAF，故∠EAF=∠BAD=90°，△AEF为等腰直角三角形，G为EF中点，DG为Rt△EDF斜边中线，结合全等性质得$DG=\frac{\sqrt{2}}{2}AE$
解：28.
(1) 设$y=kx+b$，代入(25,150)、(30,120)得$\begin{cases}25k+b=150\\30k+b=120\end{cases}$，解得$k=-6,b=300$
∴$y=-6x+300(20≤x≤40)$
(2) 日利润$W=(x-20)y=1500$，代入得$(x-20)(-6x+300)=1500$
整理得$x^2-70x+1250=0$，解得$x=25$或$x=45$，舍去$x=45$，得售价25元。
解：29.
(1) 在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
(2) O是AC中点，$AO=OC=5$，分情况讨论直角顶点：
①∠OPQ=90°时，$t=\frac{40}{9}$；②∠OQP=90°时，$t=5$；③∠POQ=90°时，$t=\frac{25}{9}$
综上$t=\frac{25}{9}$或$\frac{40}{9}$
(3) $PQ+BQ$的最小值为$\frac{24\sqrt{5}}{5}$
【答案】
19. (1) $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；(2) $11-6\sqrt{5}$
20. (1) $x=\frac{3}{2}$；(2) 无解
21. 化简结果$\frac{1}{x-1}$，代入后值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
22. (1) 50名；(2) $a=14$；(3) 480名
23. (1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{4}{9}$
24. 四边形DEBF是平行四边形
25. 4天
26. (1) $k=6$；(2) $y=\frac{3}{2}x$
27. (1) AE=AF；(2) $DG=\frac{\sqrt{2}}{2}AE$
28. (1) $y=-6x+300(20≤x≤40)$；(2) 25元
29. (1) AC=10；(2) $t=\frac{25}{9}$或$\frac{40}{9}$；(3) $\frac{24\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
二次根式运算、分式方程、平行四边形判定
【点评】
本题全面考查初中数学核心知识，注重基础运算、逻辑推理与实际应用能力，要求学生掌握各题型解题规范，是初中数学典型综合练习，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题为初中数学解答题，涵盖二次根式运算、分式方程求解、分式化简求值、统计图表分析、概率计算、平行四边形证明、一元一次方程应用、反比例函数应用、正方形全等证明、一次函数应用、直角三角形动点问题等知识点。解题时需遵循各题型规则：二次根式运算先化简为最简二次根式再合并；分式方程求解后必须检验增根；统计题利用圆心角与总数的关系计算；概率用树状图列举等可能结果；几何证明紧扣判定定理；应用题找准等量关系列方程；动点问题分类讨论直角顶点情况。
【解析】
解：19. 计算：
(1) $\sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{27}$
$= 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{3}$
$= -\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(2) $(\sqrt{5} - 2)^2 + (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 3)$
$= 5 - 4\sqrt{5} + 4 + 5 - 3\sqrt{5} + \sqrt{5} - 3$
$= 11 - 6\sqrt{5}$
解：20. 解方程：
(1) $\frac{2}{x-1} = \frac{5}{x^2 - 1}$
方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得$2(x+1)=5$
展开得$2x+2=5$，解得$x=\frac{3}{2}$
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$(x+1)(x-1)=\frac{5}{4}≠0$
∴原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}$
(2) $\frac{x}{x-2} - 1 = \frac{8}{x^2 - 4}$
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得$x(x+2) - (x^2 - 4) = 8$
展开得$x^2 + 2x - x^2 + 4 = 8$，化简得$2x=4$，解得$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，$x=2$是增根
∴原分式方程无解
解：21. $(1 - \frac{3}{x+2}) ÷ \frac{x^2 - 2x + 1}{x+2}$
$= \frac{(x+2 - 3)}{x+2} · \frac{x+2}{(x-1)^2}$
$= \frac{x-1}{x+2} · \frac{x+2}{(x-1)^2}$
$= \frac{1}{x-1}$
当$x=\sqrt{2} + 1$时，代入得：
原式$=\frac{1}{\sqrt{2} +1 -1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
解：22.
(1) 总抽取学生数$=18 ÷ \frac{129.6°}{360°}=50$名
答：本次共抽取50名学生。
(2) $a=50 -6 -18 -12=14$
(3) 估计八年级不低于130的学生人数$=800×\frac{18+12}{50}=480$名
答：估计跳绳次数不低于130的学生有480人。
解：23.
(1) 袋子共3个球，红球1个，随机摸出红球的概率为$\frac{1}{3}$
(2) 树状图显示共9种等可能结果，两次都摸出黄球的结果有4种，概率为$\frac{4}{9}$
证明：24.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD
又
∵AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即EB=DF，且EB//DF
∴四边形DEBF是平行四边形。
解：25. 设甲车间生产了$x$天，由题意得：
$\frac{x}{12} + \frac{12}{18}=1$
两边同乘36得：$3x +24=36$，解得$x=4$
答：甲车间生产了4天。
解：26.
(1)
∵AB⊥x轴，$S_{△AOB}=3$，
∴$\frac{1}{2}×2×m=3$，得$m=3$
将A(2,3)代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=6$
(2) 点C(-2,n)在$y=\frac{6}{x}$上，
∴$n=-3$，即C(-2,-3)
设直线AC：$y=ax+b$，代入A、C得$\begin{cases}2a+b=3\\-2a+b=-3\end{cases}$，解得$a=\frac{3}{2},b=0$
∴直线AC：$y=\frac{3}{2}x$
证明：27.
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADF=90°
在△ABE和△ADF中：$\begin{cases}AB=AD\\∠B=∠ADF\\BE=DF\end{cases}$
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF
(2) 由△ABE≌△ADF得∠BAE=∠DAF，故∠EAF=∠BAD=90°，△AEF为等腰直角三角形，G为EF中点，DG为Rt△EDF斜边中线，结合全等性质得$DG=\frac{\sqrt{2}}{2}AE$
解：28.
(1) 设$y=kx+b$，代入(25,150)、(30,120)得$\begin{cases}25k+b=150\\30k+b=120\end{cases}$，解得$k=-6,b=300$
∴$y=-6x+300(20≤x≤40)$
(2) 日利润$W=(x-20)y=1500$，代入得$(x-20)(-6x+300)=1500$
整理得$x^2-70x+1250=0$，解得$x=25$或$x=45$，舍去$x=45$，得售价25元。
解：29.
(1) 在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
(2) O是AC中点，$AO=OC=5$，分情况讨论直角顶点：
①∠OPQ=90°时，$t=\frac{40}{9}$；②∠OQP=90°时，$t=5$；③∠POQ=90°时，$t=\frac{25}{9}$
综上$t=\frac{25}{9}$或$\frac{40}{9}$
(3) $PQ+BQ$的最小值为$\frac{24\sqrt{5}}{5}$
【答案】
19. (1) $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；(2) $11-6\sqrt{5}$
20. (1) $x=\frac{3}{2}$；(2) 无解
21. 化简结果$\frac{1}{x-1}$，代入后值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
22. (1) 50名；(2) $a=14$；(3) 480名
23. (1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{4}{9}$
24. 四边形DEBF是平行四边形
25. 4天
26. (1) $k=6$；(2) $y=\frac{3}{2}x$
27. (1) AE=AF；(2) $DG=\frac{\sqrt{2}}{2}AE$
28. (1) $y=-6x+300(20≤x≤40)$；(2) 25元
29. (1) AC=10；(2) $t=\frac{25}{9}$或$\frac{40}{9}$；(3) $\frac{24\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
二次根式运算、分式方程、平行四边形判定
【点评】
本题全面考查初中数学核心知识，注重基础运算、逻辑推理与实际应用能力，要求学生掌握各题型解题规范，是初中数学典型综合练习，难度适中。
【难度系数】
0.5
17. (3 分)计算:$2022^{0}-\sqrt{18}+\sqrt{4}-2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.
答案
【点拨】本题考查零指数幂,二次根式的运算与化简.
【解析】$2022^0-\sqrt{18}+\sqrt{4}-2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
$=1-3\sqrt{2}+2-2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=1-3\sqrt{2}+2-\sqrt{2}$
$=3-4\sqrt{2}.$
【解析】$2022^0-\sqrt{18}+\sqrt{4}-2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
$=1-3\sqrt{2}+2-2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=1-3\sqrt{2}+2-\sqrt{2}$
$=3-4\sqrt{2}.$
解析
【分析】本题是实数的混合运算，解题思路为：先根据零指数幂的性质计算$2022^0$的值，再将式中的各个二次根式化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得出结果。
【解析】$2022^{0}-\sqrt{18}+\sqrt{4}-2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
$=1 - 3\sqrt{2} + 2 - 2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=1 - 3\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2}$
$=3 - 4\sqrt{2}$
【答案】$3 - 4\sqrt{2}$
【知识点】零指数幂、二次根式的化简运算
【点评】本题属于初中数学基础运算题，考查零指数幂的性质和二次根式的化简与合并，解题关键是正确化简二次根式并合并同类项，是学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】$2022^{0}-\sqrt{18}+\sqrt{4}-2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
$=1 - 3\sqrt{2} + 2 - 2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=1 - 3\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2}$
$=3 - 4\sqrt{2}$
【答案】$3 - 4\sqrt{2}$
【知识点】零指数幂、二次根式的化简运算
【点评】本题属于初中数学基础运算题，考查零指数幂的性质和二次根式的化简与合并，解题关键是正确化简二次根式并合并同类项，是学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.6
18. (3 分)解方程:$x(x-3)=10.$
答案
【点拨】本题考查解一元二次方程.
【解析】$x(x-3)=10$
整理得 $x^2-3x-10=0$
$(x+2)(x-5)=0$
$\therefore x+2=0$ 或 $x-5=0$
解得 $x_1=-2$,$x_2=5.$
【解析】$x(x-3)=10$
整理得 $x^2-3x-10=0$
$(x+2)(x-5)=0$
$\therefore x+2=0$ 或 $x-5=0$
解得 $x_1=-2$,$x_2=5.$
解析
【分析】
本题是解一元二次方程的题目，解题思路为：先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解将二次式转化为两个一次因式的乘积，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的性质，转化为一元一次方程求解。
【解析】
$x(x-3)=10$
去括号得：$x^2 - 3x = 10$
移项整理为一元二次方程一般式：$x^2 - 3x - 10 = 0$
对左边二次三项式因式分解：$(x + 2)(x - 5) = 0$
根据因式分解法的性质，得：$x + 2 = 0$ 或 $x - 5 = 0$
解得：$x_1 = -2$，$x_2 = 5$
【答案】
$x_1=-2$，$x_2=5$
【知识点】
解一元二次方程（因式分解法），一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，采用因式分解法，步骤清晰，侧重基础运算能力，是巩固一元二次方程解法的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题是解一元二次方程的题目，解题思路为：先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再通过因式分解将二次式转化为两个一次因式的乘积，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的性质，转化为一元一次方程求解。
【解析】
$x(x-3)=10$
去括号得：$x^2 - 3x = 10$
移项整理为一元二次方程一般式：$x^2 - 3x - 10 = 0$
对左边二次三项式因式分解：$(x + 2)(x - 5) = 0$
根据因式分解法的性质，得：$x + 2 = 0$ 或 $x - 5 = 0$
解得：$x_1 = -2$，$x_2 = 5$
【答案】
$x_1=-2$，$x_2=5$
【知识点】
解一元二次方程（因式分解法），一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，采用因式分解法，步骤清晰，侧重基础运算能力，是巩固一元二次方程解法的典型基础题。
【难度系数】
0.7
19. (5 分)先化简,再求值:$(\dfrac{x^2 + 4}{x} - 4) ÷ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}$,其中$x = -1$.
答案
【点拨】本题考查分式通分,分式运算及化简求值.
【解析】$(\dfrac{x^2+4}{x}-4)÷\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}$
$=(\dfrac{x^2+4}{x}-\dfrac{4x}{x})·\dfrac{x^2+2x}{x^2-4}$
$=\dfrac{(x-2)^2}{x}·\dfrac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}$
$=x-2.$
当 $x=-1$ 时,原式 $=-1-2=-3.$
【解析】$(\dfrac{x^2+4}{x}-4)÷\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}$
$=(\dfrac{x^2+4}{x}-\dfrac{4x}{x})·\dfrac{x^2+2x}{x^2-4}$
$=\dfrac{(x-2)^2}{x}·\dfrac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}$
$=x-2.$
当 $x=-1$ 时,原式 $=-1-2=-3.$
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：1. 先对括号内的分式进行通分，将整数4转化为分母为x的分式，统一分母后计算分子；2. 依据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；3. 对分子、分母的多项式进行因式分解，如完全平方公式、平方差公式、提公因式法；4. 约去分子分母的公因式，得到最简结果；最后代入给定的x值计算出最终结果。
【解析】
$(\dfrac{x^2 + 4}{x} - 4) ÷ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}$
$=(\dfrac{x^2 + 4}{x} - \dfrac{4x}{x}) · \dfrac{x^2 + 2x}{x^2 - 4}$
$=\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x} · \dfrac{x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\dfrac{(x - 2)^2}{x} · \dfrac{x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=x - 2$
当$x = -1$时，原式$=-1 - 2 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
分式化简求值、因式分解
【点评】
本题是分式章节的典型基础题型，主要考察分式的通分、约分及因式分解的应用，步骤清晰，只要掌握分式运算法则和基本因式分解方法即可完成，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：1. 先对括号内的分式进行通分，将整数4转化为分母为x的分式，统一分母后计算分子；2. 依据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；3. 对分子、分母的多项式进行因式分解，如完全平方公式、平方差公式、提公因式法；4. 约去分子分母的公因式，得到最简结果；最后代入给定的x值计算出最终结果。
【解析】
$(\dfrac{x^2 + 4}{x} - 4) ÷ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}$
$=(\dfrac{x^2 + 4}{x} - \dfrac{4x}{x}) · \dfrac{x^2 + 2x}{x^2 - 4}$
$=\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x} · \dfrac{x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\dfrac{(x - 2)^2}{x} · \dfrac{x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=x - 2$
当$x = -1$时，原式$=-1 - 2 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
分式化简求值、因式分解
【点评】
本题是分式章节的典型基础题型，主要考察分式的通分、约分及因式分解的应用，步骤清晰，只要掌握分式运算法则和基本因式分解方法即可完成，难度适中。
【难度系数】
0.7
