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22. (6分)如图1、图2、图3均是$6×6$的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点.$△ ABC$的顶点均在格点上,点$D$为$AC$上的一格点,点$E$为$AB$上的任一点,只用无刻度的直尺,在给定的网格中,分别按下列要求画图,保留作图痕迹.
(1)在图1中画$△ ABC$的中位线$DF$,使点$F$在边$AB$上;
(2)在图2中画以$AC$为对角线的$□ ABCG$;
(3)在图3中作射线$ED$,在其上找到一点$H$,使$DH = DE$.
(1)在图1中画$△ ABC$的中位线$DF$,使点$F$在边$AB$上;
(2)在图2中画以$AC$为对角线的$□ ABCG$;
(3)在图3中作射线$ED$,在其上找到一点$H$,使$DH = DE$.
答案
【点拨】本题考查借助网格结构作图的应用与设计,三角形中位线的定义,平行四边形的判定与性质.
【解析】(1)如图1,$DF$ 即为所求.
(2)如图2,$□ ABCG$ 即为所求.
(3)如图3,连接 $ED$ 并延长,与(2)中所作 $□ ABCG$ 的边 $CG$ 交于点 $H$,点 $H$ 即为所求.
解析
【分析】
本题是利用网格进行几何作图的题目，需结合三角形中位线、平行四边形的性质分析：
(1) 三角形中位线是连接三角形两边中点的线段，已知D为AC上的格点，需找到AB的中点F，利用网格的格点特征确定F的位置，连接DF即可；
(2) 平行四边形对边平行且相等，以AC为对角线作平行四边形ABCG，需保证AB与CG平行且相等、BC与AG平行且相等，结合网格的平行关系确定G点；
(3) 要使DH=DE，结合(2)中所作的平行四边形ABCG，利用网格中线段的平行与比例关系，延长射线ED，与平行四边形的边CG的交点即为H，此时满足DH=DE。
【解析】
(1) 因为△ABC的中位线DF，D是AC上的格点，找到AB的中点F（AB上距离A、B等距的格点），连接DF，即为所求的中位线；
(2) 根据平行四边形对边平行且相等的性质，过点A作AG平行于BC，过点C作CG平行于AB，AG与CG交于点G，则四边形ABCG是以AC为对角线的平行四边形；
(3) 连接ED并延长，与(2)中所作平行四边形ABCG的边CG交于点H，此时DH=DE，点H即为所求。
【答案】
(1) 如图1，DF即为所求；
(2) 如图2，□ABCG即为所求；
(3) 如图3，点H即为所求；
【知识点】
三角形中位线、平行四边形判定、网格作图
【点评】
本题借助6×6网格的格点特征，结合三角形中位线、平行四边形的性质作图，重点考察学生对几何基本性质的应用能力，作图需利用网格的平行、等距特性，符合无刻度直尺作图的要求。
【难度系数】
0.5
本题是利用网格进行几何作图的题目，需结合三角形中位线、平行四边形的性质分析：
(1) 三角形中位线是连接三角形两边中点的线段，已知D为AC上的格点，需找到AB的中点F，利用网格的格点特征确定F的位置，连接DF即可；
(2) 平行四边形对边平行且相等，以AC为对角线作平行四边形ABCG，需保证AB与CG平行且相等、BC与AG平行且相等，结合网格的平行关系确定G点；
(3) 要使DH=DE，结合(2)中所作的平行四边形ABCG，利用网格中线段的平行与比例关系，延长射线ED，与平行四边形的边CG的交点即为H，此时满足DH=DE。
【解析】
(1) 因为△ABC的中位线DF，D是AC上的格点，找到AB的中点F（AB上距离A、B等距的格点），连接DF，即为所求的中位线；
(2) 根据平行四边形对边平行且相等的性质，过点A作AG平行于BC，过点C作CG平行于AB，AG与CG交于点G，则四边形ABCG是以AC为对角线的平行四边形；
(3) 连接ED并延长，与(2)中所作平行四边形ABCG的边CG交于点H，此时DH=DE，点H即为所求。
【答案】
(1) 如图1，DF即为所求；
(2) 如图2，□ABCG即为所求；
(3) 如图3，点H即为所求；
【知识点】
三角形中位线、平行四边形判定、网格作图
【点评】
本题借助6×6网格的格点特征，结合三角形中位线、平行四边形的性质作图，重点考察学生对几何基本性质的应用能力，作图需利用网格的平行、等距特性，符合无刻度直尺作图的要求。
【难度系数】
0.5
23. (6分)如图,在$□ ABCD$中,DE平分$∠ADB$交AB于点E,BF平分$∠CBD$交CD于点F.
(1)求证:$DE = BF$;
(2)若$AD = BD$,求证:四边形$DEBF$是矩形.
(1)求证:$DE = BF$;
(2)若$AD = BD$,求证:四边形$DEBF$是矩形.
答案
【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,矩形的判定.
【解析】证明:(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AB// CD$,$AD// BC$,$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$.
$\because DE,BF$ 分别平分 $∠ ADB,∠ CBD$,
$\therefore ∠ EDB=\dfrac{1}{2}∠ ADB$,$∠ FBD=\dfrac{1}{2}∠ CBD$,
$\therefore ∠ EDB=∠ FBD$,$\therefore ED// BF$,
$\therefore$ 四边形 $DEBF$ 是平行四边形,$\therefore DE=BF$.
(2)$\because AD=BD$,$\therefore △ DAB$ 是等腰三角形.
$\because DE$ 平分 $∠ ADB$,$\therefore DE⊥ AB$,$\therefore ∠ BED=90°$.
由(1)知四边形 $DEBF$ 是平行四边形,
$\therefore$ 四边形 $DEBF$ 是矩形.
【解析】证明:(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AB// CD$,$AD// BC$,$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$.
$\because DE,BF$ 分别平分 $∠ ADB,∠ CBD$,
$\therefore ∠ EDB=\dfrac{1}{2}∠ ADB$,$∠ FBD=\dfrac{1}{2}∠ CBD$,
$\therefore ∠ EDB=∠ FBD$,$\therefore ED// BF$,
$\therefore$ 四边形 $DEBF$ 是平行四边形,$\therefore DE=BF$.
(2)$\because AD=BD$,$\therefore △ DAB$ 是等腰三角形.
$\because DE$ 平分 $∠ ADB$,$\therefore DE⊥ AB$,$\therefore ∠ BED=90°$.
由(1)知四边形 $DEBF$ 是平行四边形,
$\therefore$ 四边形 $DEBF$ 是矩形.
解析
【分析】
要解决这道题，分两步推导：
(1) 证明DE=BF：先利用平行四边形ABCD的性质得到角相等，结合角平分线推出内错角相等，进而得到DE//BF，再结合AB//CD，判定四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可得证。
(2) 证明四边形DEBF是矩形：由AD=BD得△DAB是等腰三角形，结合DE平分∠ADB，利用等腰三角形三线合一推出DE⊥AB，再结合(1)中已证的平行四边形DEBF，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得证。
【解析】
证明：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD//BC，
∴ ∠ADB=∠CBD。
∵ DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴ ∠EDB = 1/2∠ADB，∠FBD = 1/2∠CBD，
∴ ∠EDB=∠FBD，
∴ ED//BF。
又
∵ AB//CD，即EB//DF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ DE=BF。
(2)
∵ AD=BD，
∴ △DAB是等腰三角形。
∵ DE平分∠ADB，
∴ 根据等腰三角形三线合一，DE⊥AB，
∴ ∠BED=90°。
由(1)知四边形DEBF是平行四边形，
∴ 有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴ 四边形DEBF是矩形。
【答案】
(1) DE=BF，证明成立；
(2) 四边形DEBF是矩形，证明成立。
【知识点】
平行四边形的性质与判定、矩形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的判定与性质，需熟练运用等腰三角形三线合一的性质，逻辑推理过程要清晰，是初中几何的常规中档题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，分两步推导：
(1) 证明DE=BF：先利用平行四边形ABCD的性质得到角相等，结合角平分线推出内错角相等，进而得到DE//BF，再结合AB//CD，判定四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可得证。
(2) 证明四边形DEBF是矩形：由AD=BD得△DAB是等腰三角形，结合DE平分∠ADB，利用等腰三角形三线合一推出DE⊥AB，再结合(1)中已证的平行四边形DEBF，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得证。
【解析】
证明：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AD//BC，
∴ ∠ADB=∠CBD。
∵ DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴ ∠EDB = 1/2∠ADB，∠FBD = 1/2∠CBD，
∴ ∠EDB=∠FBD，
∴ ED//BF。
又
∵ AB//CD，即EB//DF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ DE=BF。
(2)
∵ AD=BD，
∴ △DAB是等腰三角形。
∵ DE平分∠ADB，
∴ 根据等腰三角形三线合一，DE⊥AB，
∴ ∠BED=90°。
由(1)知四边形DEBF是平行四边形，
∴ 有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴ 四边形DEBF是矩形。
【答案】
(1) DE=BF，证明成立；
(2) 四边形DEBF是矩形，证明成立。
【知识点】
平行四边形的性质与判定、矩形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的判定与性质，需熟练运用等腰三角形三线合一的性质，逻辑推理过程要清晰，是初中几何的常规中档题型。
【难度系数】
0.6
24. (7分)现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.据调查南京市某家小型快递公司,今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率;
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率;
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?
答案
【点拨】本题考查指数增长模型,一元二次方程的应用.
【解析】(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 $x$,根据题意得 $10(1+x)^2=12.1$,
解得 $1+x=\pm1.1$,
$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1=-210\%$(不符合题意,舍去).
答:该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 $10\%$.
(2)由题意可知,四月份快递投递任务为 $12.1×(1+10\%)=13.31$(万件),
公司现有人员最多完成投递任务 $0.6×21=12.6$(万件).
$\because 12.6＜13.31$.$\therefore$ 该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年四月份的快递投递任务.
设增加 $m$ 名业务员才能完成今年四月份的快递投递任务,则 $(21+m)×0.6≥13.31$($m$ 为正整数),
解得 $m≥\dfrac{71}{60}=1\dfrac{11}{60}$.$\therefore$ 至少需要增加 2 名业务员.
【解析】(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 $x$,根据题意得 $10(1+x)^2=12.1$,
解得 $1+x=\pm1.1$,
$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1=-210\%$(不符合题意,舍去).
答:该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 $10\%$.
(2)由题意可知,四月份快递投递任务为 $12.1×(1+10\%)=13.31$(万件),
公司现有人员最多完成投递任务 $0.6×21=12.6$(万件).
$\because 12.6＜13.31$.$\therefore$ 该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年四月份的快递投递任务.
设增加 $m$ 名业务员才能完成今年四月份的快递投递任务,则 $(21+m)×0.6≥13.31$($m$ 为正整数),
解得 $m≥\dfrac{71}{60}=1\dfrac{11}{60}$.$\therefore$ 至少需要增加 2 名业务员.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是增长率问题，需利用“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)^增长次数”的模型，设月平均增长率为x，根据1月和3月的投递量列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根；第(2)问先计算4月的投递任务量，再计算现有21名业务员能完成的投递量，比较两者判断是否能完成，若不能，设需增加m名业务员，根据“总投递量≥4月任务量”列一元一次不等式，结合m为正整数求解最小的m值。
【解析】
(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为$ x $，根据题意，1月投递10万件，经过两个月增长到3月的12.1万件，可得方程：
$ 10(1+x)^2 = 12.1 $
解方程：
$ (1+x)^2 = 1.21 $
开方得$ 1+x = \pm1.1 $
解得$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = -2.1 = -210\% $（增长率不能为负，不符合实际，舍去）
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为$ 10\% $。
(2)首先计算四月份的快递投递任务：
四月份投递量 = 三月份投递量×(1+增长率) = $ 12.1×(1+10\%) = 13.31 $（万件）
现有21名业务员每月最多可投递量：$ 0.6×21 = 12.6 $（万件）
因为$ 12.6 ＜ 13.31 $，所以现有21名业务员不能完成四月份的投递任务。
设需要增加$ m $名业务员才能完成任务，根据题意可得不等式：
$ (21+m)×0.6 ≥ 13.31 $
解不等式：
$ 21+m ≥ \frac{13.31}{0.6} ≈ 22.18 $
$ m ≥ 22.18 - 21 = 1.18 $
因为$ m $为正整数，所以$ m $最小取2。
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年四月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员。
【答案】
(1)月平均增长率为10%；(2)不能完成，至少需要增加2名业务员。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是结合快递行业实际的应用题，考查增长率模型的应用和一元一次不等式的求解，解题时需注意舍去不符合实际意义的解，以及人数需取正整数的隐含条件，整体难度适中，能较好地考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问是增长率问题，需利用“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)^增长次数”的模型，设月平均增长率为x，根据1月和3月的投递量列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根；第(2)问先计算4月的投递任务量，再计算现有21名业务员能完成的投递量，比较两者判断是否能完成，若不能，设需增加m名业务员，根据“总投递量≥4月任务量”列一元一次不等式，结合m为正整数求解最小的m值。
【解析】
(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为$ x $，根据题意，1月投递10万件，经过两个月增长到3月的12.1万件，可得方程：
$ 10(1+x)^2 = 12.1 $
解方程：
$ (1+x)^2 = 1.21 $
开方得$ 1+x = \pm1.1 $
解得$ x_1 = 0.1 = 10\% $，$ x_2 = -2.1 = -210\% $（增长率不能为负，不符合实际，舍去）
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为$ 10\% $。
(2)首先计算四月份的快递投递任务：
四月份投递量 = 三月份投递量×(1+增长率) = $ 12.1×(1+10\%) = 13.31 $（万件）
现有21名业务员每月最多可投递量：$ 0.6×21 = 12.6 $（万件）
因为$ 12.6 ＜ 13.31 $，所以现有21名业务员不能完成四月份的投递任务。
设需要增加$ m $名业务员才能完成任务，根据题意可得不等式：
$ (21+m)×0.6 ≥ 13.31 $
解不等式：
$ 21+m ≥ \frac{13.31}{0.6} ≈ 22.18 $
$ m ≥ 22.18 - 21 = 1.18 $
因为$ m $为正整数，所以$ m $最小取2。
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年四月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员。
【答案】
(1)月平均增长率为10%；(2)不能完成，至少需要增加2名业务员。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是结合快递行业实际的应用题，考查增长率模型的应用和一元一次不等式的求解，解题时需注意舍去不符合实际意义的解，以及人数需取正整数的隐含条件，整体难度适中，能较好地考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
