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一、单项选择题
1. 下列四个数中，是无理数的是 （
A.$-2$
B.$\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{9}$
D.$0.5$
1. 下列四个数中，是无理数的是 （
B
）A.$-2$
B.$\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{9}$
D.$0.5$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查无理数的识别，解题思路是先明确有理数和无理数的定义，再逐一分析每个选项，对带根号的数先化简再判断，最终选出符合无理数定义的选项。首先回忆：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的有开方开不尽的数、含π的数等。
【解析】
解：先明确概念：有理数包括整数、分数（有限小数和无限循环小数均可转化为分数，属于有理数）；无理数是无限不循环小数。
逐一分析选项：
A. $-2$是整数，属于有理数，不符合要求；
B. $\sqrt{3}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
C. $-\sqrt{9}=-3$，是整数，属于有理数，不符合要求；
D. $0.5$是有限小数，属于分数，是有理数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别,有理数的概念,算术平方根运算
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握有理数和无理数的分类，注意遇到带根号的数时要先计算化简，再判断是否为无理数，避免误判。
【难度系数】
0.9
本题考查无理数的识别，解题思路是先明确有理数和无理数的定义，再逐一分析每个选项，对带根号的数先化简再判断，最终选出符合无理数定义的选项。首先回忆：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的有开方开不尽的数、含π的数等。
【解析】
解：先明确概念：有理数包括整数、分数（有限小数和无限循环小数均可转化为分数，属于有理数）；无理数是无限不循环小数。
逐一分析选项：
A. $-2$是整数，属于有理数，不符合要求；
B. $\sqrt{3}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
C. $-\sqrt{9}=-3$，是整数，属于有理数，不符合要求；
D. $0.5$是有限小数，属于分数，是有理数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别,有理数的概念,算术平方根运算
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握有理数和无理数的分类，注意遇到带根号的数时要先计算化简，再判断是否为无理数，避免误判。
【难度系数】
0.9
2. 在$0,-\dfrac{22}{7},3.14,-\dfrac{π}{2},\sqrt[3]{27},0.101\ 001\ 000\ 1···$（相邻两个1之间依次多一个0）这六个数中，无理数的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义，再逐个判断给出的6个数是否属于无理数，最后统计无理数的个数即可。解题思路如下：第一步，回忆无理数的概念：无限不循环小数是无理数，整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数；第二步，对带运算的数先化简（如三次根号27要先算出结果），再逐一判断每个数的类型；第三步，数出无理数的总个数，对应选出正确选项。
【解析】
根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐个分析各数：
1. 0是整数，属于有理数；
2. $-\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数；
3. $3.14$是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
4. $-\dfrac{π}{2}$：$π$是无限不循环小数，因此$-\dfrac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt[3]{27}=3$，是整数，属于有理数；
6. $0.101\ 001\ 000\ 1···$（相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 立方根化简
3. 实数分类
【点评】
本题考查对无理数概念的掌握，解题时要注意：带根号的数需要先化简再判断是否为无理数，不要误将有规律但不循环的无限小数、含$π$的数判定为有理数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义，再逐个判断给出的6个数是否属于无理数，最后统计无理数的个数即可。解题思路如下：第一步，回忆无理数的概念：无限不循环小数是无理数，整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数；第二步，对带运算的数先化简（如三次根号27要先算出结果），再逐一判断每个数的类型；第三步，数出无理数的总个数，对应选出正确选项。
【解析】
根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐个分析各数：
1. 0是整数，属于有理数；
2. $-\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数；
3. $3.14$是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
4. $-\dfrac{π}{2}$：$π$是无限不循环小数，因此$-\dfrac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt[3]{27}=3$，是整数，属于有理数；
6. $0.101\ 001\ 000\ 1···$（相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 立方根化简
3. 实数分类
【点评】
本题考查对无理数概念的掌握，解题时要注意：带根号的数需要先化简再判断是否为无理数，不要误将有规律但不循环的无限小数、含$π$的数判定为有理数。
【难度系数】
0.7
3. 比较$2$，$\sqrt{5}$，$\sqrt[3]{7}$的大小，正确的是 （
A.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
D.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
D
）A.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
D.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
答案
3.D
解析
【分析】
要比较含有平方根、立方根的实数大小，可利用乘方的性质去掉根号，将无理数转化为整数后比较。对于正数，平方后数值越大原数越大，立方后数值越大原数也越大。我们可以选择2作为中间量，分别比较√5和2、$\sqrt[3]{7}$和2的大小，再排列三个数的顺序即可。
【解析】
第一步，比较2和$\sqrt{5}$的大小：
对两个正数同时平方，得$2^2=4$，$(\sqrt{5})^2=5$，
因为$4＜5$，且正数平方越大原数越大，所以$2＜\sqrt{5}$。
第二步，比较2和$\sqrt[3]{7}$的大小：
对两个正数同时立方，得$2^3=8$，$(\sqrt[3]{7})^3=7$，
因为$7＜8$，且正数立方越大原数越大，所以$\sqrt[3]{7}＜2$。
综合两次比较结果，可得$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
实数大小比较；平方根运算；立方根运算
【点评】
本题考查带根号实数的大小比较，将带根号的数通过乘方转化为整数比较是常用解题技巧，解题时注意区分平方根、立方根对应的乘方次数，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
要比较含有平方根、立方根的实数大小，可利用乘方的性质去掉根号，将无理数转化为整数后比较。对于正数，平方后数值越大原数越大，立方后数值越大原数也越大。我们可以选择2作为中间量，分别比较√5和2、$\sqrt[3]{7}$和2的大小，再排列三个数的顺序即可。
【解析】
第一步，比较2和$\sqrt{5}$的大小：
对两个正数同时平方，得$2^2=4$，$(\sqrt{5})^2=5$，
因为$4＜5$，且正数平方越大原数越大，所以$2＜\sqrt{5}$。
第二步，比较2和$\sqrt[3]{7}$的大小：
对两个正数同时立方，得$2^3=8$，$(\sqrt[3]{7})^3=7$，
因为$7＜8$，且正数立方越大原数越大，所以$\sqrt[3]{7}＜2$。
综合两次比较结果，可得$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
实数大小比较；平方根运算；立方根运算
【点评】
本题考查带根号实数的大小比较，将带根号的数通过乘方转化为整数比较是常用解题技巧，解题时注意区分平方根、立方根对应的乘方次数，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
4. 下列关于$\sqrt{8}$的描述中，不正确的是 （
A.$\sqrt{6}＜\sqrt{8}＜3$
B.$\sqrt{8}$是无理数
C.$(\sqrt{8})^2=8$
D.在数轴上找不到表示$\sqrt{8}$的点
D
）A.$\sqrt{6}＜\sqrt{8}＜3$
B.$\sqrt{8}$是无理数
C.$(\sqrt{8})^2=8$
D.在数轴上找不到表示$\sqrt{8}$的点
答案
4.D
解析
【分析】
本题要求选出关于$\sqrt{8}$描述不正确的选项，解题思路是逐个分析每个选项，结合二次根式大小比较、无理数定义、二次根式性质、实数与数轴的对应关系这几个知识点，判断每个选项的正误，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 对于正数，平方越大则原数越大。$(\sqrt{6})^2=6$，$(\sqrt{8})^2=8$，$3^2=9$，因为$6＜8＜9$，所以$\sqrt{6}＜\sqrt{8}＜3$，该选项描述正确，不符合题意；
B. 无理数是无限不循环小数，$\sqrt{8}$开方开不尽，属于无限不循环小数，因此$\sqrt{8}$是无理数，该选项描述正确，不符合题意；
C. 根据二次根式的性质，当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，$8≥0$，因此$(\sqrt{8})^2=8$，该选项描述正确，不符合题意；
D. 实数与数轴上的点是一一对应的，$\sqrt{8}$是实数，因此可以在数轴上找到表示$\sqrt{8}$的点，该选项描述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；无理数的定义；实数与数轴的关系
【点评】
本题属于基础概念类考题，综合考查了二次根式和实数的相关基础知识点，掌握核心概念即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题要求选出关于$\sqrt{8}$描述不正确的选项，解题思路是逐个分析每个选项，结合二次根式大小比较、无理数定义、二次根式性质、实数与数轴的对应关系这几个知识点，判断每个选项的正误，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 对于正数，平方越大则原数越大。$(\sqrt{6})^2=6$，$(\sqrt{8})^2=8$，$3^2=9$，因为$6＜8＜9$，所以$\sqrt{6}＜\sqrt{8}＜3$，该选项描述正确，不符合题意；
B. 无理数是无限不循环小数，$\sqrt{8}$开方开不尽，属于无限不循环小数，因此$\sqrt{8}$是无理数，该选项描述正确，不符合题意；
C. 根据二次根式的性质，当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$，$8≥0$，因此$(\sqrt{8})^2=8$，该选项描述正确，不符合题意；
D. 实数与数轴上的点是一一对应的，$\sqrt{8}$是实数，因此可以在数轴上找到表示$\sqrt{8}$的点，该选项描述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；无理数的定义；实数与数轴的关系
【点评】
本题属于基础概念类考题，综合考查了二次根式和实数的相关基础知识点，掌握核心概念即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
5.若a,b是连续的两个整数，且$a＜\sqrt[3]{10}＜b$，则$a+b$的值为（
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
5.D
解析
【分析】
要解决本题，首先需要确定$\sqrt[3]{10}$的取值范围，找到它在哪两个连续整数之间。我们可以先计算常见整数的立方值，找到10介于哪两个整数的立方之间，再根据立方根的性质得到$\sqrt[3]{10}$的范围，进而确定a、b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
第一步：计算相邻整数的立方
因为$2^3=8$，$3^3=27$，可得$8＜10＜27$。
第二步：对不等式同时开立方，不等号方向不变
所以$\sqrt[3]{8}＜\sqrt[3]{10}＜\sqrt[3]{27}$，化简得$2＜\sqrt[3]{10}＜3$。
第三步：确定a、b的值
已知a、b是连续整数，且$a＜\sqrt[3]{10}＜b$，因此$a=2$，$b=3$。
第四步：计算$a+b$
$a+b=2+3=5$。
【答案】
D
【知识点】
1. 立方根估算 2. 立方运算
【点评】
本题主要考查无理数的估算能力，解题核心是找到与被开立方数相邻的两个完全立方数，从而确定无理数的整数范围，是对基础运算和估算能力的考查。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要确定$\sqrt[3]{10}$的取值范围，找到它在哪两个连续整数之间。我们可以先计算常见整数的立方值，找到10介于哪两个整数的立方之间，再根据立方根的性质得到$\sqrt[3]{10}$的范围，进而确定a、b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
第一步：计算相邻整数的立方
因为$2^3=8$，$3^3=27$，可得$8＜10＜27$。
第二步：对不等式同时开立方，不等号方向不变
所以$\sqrt[3]{8}＜\sqrt[3]{10}＜\sqrt[3]{27}$，化简得$2＜\sqrt[3]{10}＜3$。
第三步：确定a、b的值
已知a、b是连续整数，且$a＜\sqrt[3]{10}＜b$，因此$a=2$，$b=3$。
第四步：计算$a+b$
$a+b=2+3=5$。
【答案】
D
【知识点】
1. 立方根估算 2. 立方运算
【点评】
本题主要考查无理数的估算能力，解题核心是找到与被开立方数相邻的两个完全立方数，从而确定无理数的整数范围，是对基础运算和估算能力的考查。
【难度系数】
0.8
6.如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，输出y的值是（
A.3
B.$-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$-3$
C
）A.3
B.$-\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$-3$
答案
6.C
解析
【分析】
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后先计算其算术平方根，若结果是有理数，就将该结果作为新的x再次代入取算术平方根，直到得到的结果是无理数时，将该结果输出。解题时按照这个规则逐步计算即可，注意算术平方根为非负数，可先排除负数选项，再按步骤运算判断。
【解析】
第一步，输入$x=9$，计算9的算术平方根：$\sqrt{9}=3$；
第二步，判断3是有理数，因此需要将3作为新的输入值，再次计算算术平方根；
第三步，计算3的算术平方根为$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，符合输出条件，因此输出$y=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的识别
【点评】
本题需要准确理解数值转换器的运行逻辑，切忌只计算一次算术平方根就直接输出，同时要牢记算术平方根的非负性，能正确区分有理数和无理数。
【难度系数】
0.7
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后先计算其算术平方根，若结果是有理数，就将该结果作为新的x再次代入取算术平方根，直到得到的结果是无理数时，将该结果输出。解题时按照这个规则逐步计算即可，注意算术平方根为非负数，可先排除负数选项，再按步骤运算判断。
【解析】
第一步，输入$x=9$，计算9的算术平方根：$\sqrt{9}=3$；
第二步，判断3是有理数，因此需要将3作为新的输入值，再次计算算术平方根；
第三步，计算3的算术平方根为$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，符合输出条件，因此输出$y=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的识别
【点评】
本题需要准确理解数值转换器的运行逻辑，切忌只计算一次算术平方根就直接输出，同时要牢记算术平方根的非负性，能正确区分有理数和无理数。
【难度系数】
0.7
7.如图,通过画边长为1的正方形,就能准确的把$\sqrt{2}$表示在数轴上点$A_1$处,记$A_1$右侧最近的整数点为$B_1$,以点$B_1$为圆心,$A_1B_1$为半径画半圆,交数轴于另一点$A_2$,记$A_2$右侧最近的整数点为$B_2$,以点$B_2$为圆心,$A_2B_2$为半径画半圆,交数轴于另一点$A_3$,如此继续,则$A_8B_8$的长为 (
A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$2-\sqrt{2}$
A
)A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$2-\sqrt{2}$
答案
7.A
解析
【分析】
解题时首先根据题目的提示得到点A1表示的数为√2，再根据“右侧最近的整数点”确定B1对应的数，计算出A1B1的长度；接着按照作图规则算出A2、B2对应的数，得到A2B2的长度，同理算出A3B3的长度，总结规律：当n为奇数时A_nB_n=2-√2，当n为偶数时A_nB_n=√2-1，最后代入n=8即可得到结果。
【解析】
1. 由题意得，数轴上点A1表示的数为√2≈1.414。
2. A1右侧最近的整数点B1对应的数是2，因此A1B1=2 - √2≈0.586。
3. 以B1为圆心，A1B1为半径画半圆交数轴于A2，因此B1A2=A1B1，A2表示的数为2 + (2 - √2)=4 - √2≈2.586。
4. A2右侧最近的整数点B2对应的数是3，因此A2B2=3 - (4 - √2)=√2 - 1≈0.414。
5. 以B2为圆心，A2B2为半径画半圆交数轴于A3，因此B2A3=A2B2，A3表示的数为3 + (√2 - 1)=2 + √2≈3.414。
6. A3右侧最近的整数点B3对应的数是4，因此A3B3=4 - (2 + √2)=2 - √2，与A1B1长度相等。
由此可得规律：当n为奇数时，A_nB_n=2 - √2；当n为偶数时，A_nB_n=√2 - 1。
因为8是偶数，所以A8B8=√2 - 1。
【答案】
A
【知识点】
实数与数轴，无理数估算，规律探究
【点评】
本题将数轴、无理数的估算结合，需要通过计算前几段的长度总结出周期性规律，再结合所求项的序号求解，较好地考查了归纳推理的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据题目的提示得到点A1表示的数为√2，再根据“右侧最近的整数点”确定B1对应的数，计算出A1B1的长度；接着按照作图规则算出A2、B2对应的数，得到A2B2的长度，同理算出A3B3的长度，总结规律：当n为奇数时A_nB_n=2-√2，当n为偶数时A_nB_n=√2-1，最后代入n=8即可得到结果。
【解析】
1. 由题意得，数轴上点A1表示的数为√2≈1.414。
2. A1右侧最近的整数点B1对应的数是2，因此A1B1=2 - √2≈0.586。
3. 以B1为圆心，A1B1为半径画半圆交数轴于A2，因此B1A2=A1B1，A2表示的数为2 + (2 - √2)=4 - √2≈2.586。
4. A2右侧最近的整数点B2对应的数是3，因此A2B2=3 - (4 - √2)=√2 - 1≈0.414。
5. 以B2为圆心，A2B2为半径画半圆交数轴于A3，因此B2A3=A2B2，A3表示的数为3 + (√2 - 1)=2 + √2≈3.414。
6. A3右侧最近的整数点B3对应的数是4，因此A3B3=4 - (2 + √2)=2 - √2，与A1B1长度相等。
由此可得规律：当n为奇数时，A_nB_n=2 - √2；当n为偶数时，A_nB_n=√2 - 1。
因为8是偶数，所以A8B8=√2 - 1。
【答案】
A
【知识点】
实数与数轴，无理数估算，规律探究
【点评】
本题将数轴、无理数的估算结合，需要通过计算前几段的长度总结出周期性规律，再结合所求项的序号求解，较好地考查了归纳推理的能力。
【难度系数】
0.6
