二、填空题
8.计算:$3\sqrt{9}-\sqrt[3]{27×8}=$；$\sqrt{36}-\sqrt[3]{\frac{133}{8}-1}+\sqrt{(-2)^2}=$.

8.3 $\frac{11}{2}$

【分析】
本题是根式的混合运算题，解题思路为：先分别化简每个算式中的算术平方根、立方根，再按照整数、分数的四则运算规则计算即可。第一步先处理开方运算：算术平方根的结果为非负数，立方根的符号与被开方数一致；第二步再进行加减运算。
【解析】
第一个算式计算：
先化简各项：$\sqrt{9}=3$，因此$3\sqrt{9}=3×3=9$；
$\sqrt[3]{27×8}=\sqrt[3]{27}×\sqrt[3]{8}=3×2=6$；
因此$3\sqrt{9}-\sqrt[3]{27×8}=9-6=3$。
第二个算式计算：
先化简各项：$\sqrt{36}=6$；
立方根内先算减法：$\frac{133}{8}-1=\frac{133}{8}-\frac{8}{8}=\frac{125}{8}$，因此$\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\frac{5}{2}$；
$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$；
因此原式$=6-\frac{5}{2}+2=8-\frac{5}{2}=\frac{16}{2}-\frac{5}{2}=\frac{11}{2}$。
【答案】
$3$；$\frac{11}{2}$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，根式混合运算
【点评】
本题属于根式运算的基础题型，解题核心是准确化简各类根式，再按运算顺序计算，需注意算术平方根的结果非负，立方根与被开方数符号一致，这类题型是后续实数运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

9. 大于$-\sqrt{53}$且小于$\sqrt{43}$的整数共有个.

9.14

【分析】
要解决这个问题，首先需要估算出$-\sqrt{53}$和$\sqrt{43}$分别在哪两个相邻整数之间，再找出位于这两个整数之间的所有整数，最后统计整数的个数即可。估算无理数的范围时，我们可以通过找与被开方数相邻的两个完全平方数来确定无理数的取值区间。
【解析】
1. 估算$-\sqrt{53}$的范围：
因为$7^2=49$，$8^2=64$，且$49＜53＜64$，所以$7＜\sqrt{53}＜8$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-8＜-\sqrt{53}＜-7$。
2. 估算$\sqrt{43}$的范围：
因为$6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜43＜49$，所以$6＜\sqrt{43}＜7$。
3. 找出满足条件的整数：
大于$-\sqrt{53}$且小于$\sqrt{43}$的整数，就是大于$-8$且小于$7$的整数，分别为：$-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6$，共14个。
【答案】
14
【知识点】
1. 无理数的大小估算
2. 实数的大小比较
3. 整数的概念
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，解题关键是借助相邻完全平方数确定无理数的取值区间，统计整数时要按顺序罗列，避免遗漏负数和0，也不要把边界的$-8$、$7$误算入内。
【难度系数】
0.7

10.若$\sqrt{3}$的整数部分为$x$，小数部分为$y$，则$y$是数(填“有理”或“无理”)。

10.无理

【分析】
要判断y的类型，首先需要先求出y的表达式：第一步先估算$\sqrt{3}$的取值范围，确定它的整数部分x；第二步用$\sqrt{3}$减去整数部分得到小数部分y；最后根据无理数的性质判断y是有理数还是无理数。
【解析】
解：$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$
可得$\sqrt{3}$的整数部分$x=1$
则小数部分$y = \sqrt{3} - x = \sqrt{3} - 1$
$\because \sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数，1是有理数，无理数减去有理数的结果仍是无理数
$\therefore y$是无理数
【答案】
无理
【知识点】
无理数的估算；无理数的判定
【点评】
本题考查无理数的估算与性质应用，解题核心是先通过平方数确定无理数的整数范围，再推导得到小数部分后结合无理数的定义判断类型，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

11.用“*”表示一种新运算:对于任意正实数$a,b$,都有$a*b=a+\sqrt{b}$.例如$4*9=4+\sqrt{9}=7$,那么$7*144=$.

11.19

【分析】
这是一道新定义运算的题目，解题第一步要先明确新运算“*”的规则：运算结果等于运算符号前的数加上运算符号后数的算术平方根。解题时先确定所求式子中对应规则里的a和b，再代入规则列式，最后正确计算算术平方根、求和即可。
【解析】
根据新运算规则$a*b=a+\sqrt{b}$，在$7*144$中，$a=7$，$b=144$，代入得：
$7*144=7+\sqrt{144}$
因为$\sqrt{144}=12$，所以原式$=7+12=19$
【答案】
19
【知识点】
新定义运算，算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解新运算的运算规则，只要能正确对应规则中的a、b，熟练掌握算术平方根的计算方法，就能顺利求解。
【难度系数】
0.9

三、解答题
12.计算：
(1)$|1-\sqrt{2}|-\sqrt{(-2)^2}-\sqrt{2}$；
(2)$(-1)^{2025}+\sqrt{25}-\sqrt{5}(1+\sqrt{5})$；
(3)$(\sqrt[3]{-81})^3 +5(\sqrt{13}-\sqrt{4^3})+|20-5\sqrt{13}|$；

12.解:(1)原式$=\sqrt{2}-1-2-\sqrt{2}=-3$.
(2)原式$=-1+5-\sqrt{5}-5=-1-\sqrt{5}$.
(3)原式$=-81+5\sqrt{13}-40+20-5\sqrt{13}=-101$.

【分析】
这三道题均属于实数的混合运算，解题遵循先算乘方、开方，再去绝对值、去括号，最后合并同类项/同类二次根式的顺序。思考步骤：①先判断绝对值内式子的正负，根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值；②根据乘方、开方的运算规则（如负数的奇次幂为负、$(\sqrt[3]{a})^3=a$、二次根式化简规则）计算乘方、开方项；③去括号时注意符号变化；④最后合并抵消同类项得到结果。
【解析】
(1) 首先去绝对值：$\because \sqrt{2}＞1$，$\therefore |1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；再计算开方：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，代入原式计算：
原式$=\sqrt{2}-1-2-\sqrt{2}=(\sqrt{2}-\sqrt{2})+(-1-2)=-3$
(2) 首先计算乘方：2025是奇数，$\therefore (-1)^{2025}=-1$；再计算开方：$\sqrt{25}=5$；去括号得$\sqrt{5}(1+\sqrt{5})=\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=\sqrt{5}+5$，代入原式计算：
原式$=-1+5-\sqrt{5}-5=(-1+5-5)-\sqrt{5}=-1-\sqrt{5}$
(3) 首先计算立方运算：根据立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，得$(\sqrt[3]{-81})^3=-81$；再化简括号内的项：$\sqrt{4^3}=\sqrt{64}=8$，去括号得$5(\sqrt{13}-8)=5\sqrt{13}-40$；去绝对值：$\because (5\sqrt{13})^2=325＜20^2=400$，即$5\sqrt{13}＜20$，$\therefore |20-5\sqrt{13}|=20-5\sqrt{13}$，代入原式计算：
原式$=-81+5\sqrt{13}-40+20-5\sqrt{13}=(5\sqrt{13}-5\sqrt{13})+(-81-40+20)=-101$
【答案】
(1)$-3$；(2)$-1-\sqrt{5}$；(3)$-101$
【知识点】
1.实数的混合运算 2.绝对值的性质 3.二次根式化简
【点评】
本题侧重考查实数运算的基础能力，解题核心是熟练掌握乘方、开方、绝对值的运算规则，去括号、去绝对值时注意判断符号，按顺序逐步计算即可避免错误。
【难度系数】
0.7

13.团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意.某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为$500\ \mathrm{cm}^2$.完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理(接口处长度忽略不计)，如图所示.
(1)圆形团扇的半径为cm(结果保留$π$)，正方形团扇的边长为cm；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短.

13.解:(1)$\sqrt{\dfrac{500}{π}}$ $\sqrt{500}$
(2)圆形扇的周长为$2π×\sqrt{\dfrac{500}{π}}$(cm),
正方形扇的周长为$4×\sqrt{500}$(cm).
$\because (2π×\sqrt{\dfrac{500}{π}})^2=2\ 000π$,
$(4×\sqrt{500})^2=8\ 000,2\ 000π＜8\ 000$,
$\therefore$ 圆形扇面所用的包边长度更短.

【分析】
本题是几何公式结合实际应用的题目，解题思路如下：
1. 求解第一问时，分别回忆圆和正方形的面积公式：圆的面积$S=πr^2$，正方形的面积$S=a^2$，已知两种扇面的面积均为$500\ \mathrm{cm}^2$，将面积代入对应公式，反解求出半径$r$和边长$a$即可。
2. 求解第二问时，包边长度对应图形的周长，先分别写出圆的周长公式$C_圆=2πr$、正方形的周长公式$C_正=4a$，代入第一问求出的$r$和$a$得到两个周长的表达式；由于两个周长都是正数，要比较它们的大小，可以先比较两个数平方的大小（正数平方越大，原数越大），计算更简便，最后根据平方的大小关系得出周长的大小关系，判断哪种包边更短。
【解析】
(1) 设圆形团扇的半径为$r\ \mathrm{cm}$，由圆的面积公式可得$πr^2=500$，半径为正数，解得$r=\sqrt{\dfrac{500}{π}}$；
设正方形团扇的边长为$a\ \mathrm{cm}$，由正方形的面积公式可得$a^2=500$，边长为正数，解得$a=\sqrt{500}$。
(2) 包边长度即扇面的周长：
圆形扇面的周长：$C_圆=2πr=2π×\sqrt{\dfrac{500}{π}}\ \mathrm{cm}$，
正方形扇面的周长：$C_正=4a=4×\sqrt{500}\ \mathrm{cm}$。
由于两个周长均为正数，通过比较二者平方的大小判断原数大小：
$(2π×\sqrt{\dfrac{500}{π}})^2=4π^2×\dfrac{500}{π}=2000π$，
$(4×\sqrt{500})^2=16×500=8000$，
$\because 2000π≈6280＜8000$，
$\therefore 2π×\sqrt{\dfrac{500}{π}} ＜ 4×\sqrt{500}$，即圆形扇面的包边长度更短。
【答案】
(1) $\sqrt{\dfrac{500}{π}}$；$\sqrt{500}$
(2) 圆形扇面所用的包边长度更短。
【知识点】
圆的周长与面积计算；正方形的周长与面积计算；实数大小比较
【点评】
本题结合传统团扇的生活场景考查几何公式的实际应用，将包边长度转化为图形周长是解题的切入点，通过平方法比较无理数大小的技巧可以简化计算，能很好地锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7