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11. 小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了2 cm，量得小水桶的底面直径为24 cm，求铅球的半径.(球的体积公式为$V=\frac{4}{3}π r^3$，r为球的半径)
答案
11.解:设铅球的半径为$r$ cm,
$\because$铅球的体积为$2×(\dfrac{24}{2})^2π=288π$,
$\therefore\dfrac{4}{3}π r^3=288π$,解得$r=6$,
$\therefore$铅球的半径为6 cm.
$\because$铅球的体积为$2×(\dfrac{24}{2})^2π=288π$,
$\therefore\dfrac{4}{3}π r^3=288π$,解得$r=6$,
$\therefore$铅球的半径为6 cm.
解析
【分析】
解题时首先要找准等量关系：铅球完全浸没在水中，拿出铅球后，水面下降部分的水的体积就等于铅球的体积。我们可以先利用圆柱的体积公式算出下降的水的体积，再将该体积代入球的体积公式，建立方程求解即可得到铅球的半径。
【解析】
解：设铅球的半径为$r$ cm。
1. 计算下降部分水的体积：小水桶的底面半径为$\frac{24}{2}=12$ cm，水面下降高度为2 cm，根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=π R^2 h$，可得下降的水的体积为：
$V=π×12^2×2=288π\ \mathrm{cm}^3$
2. 根据下降的水的体积等于铅球的体积，结合题目给出的球的体积公式$V_{球}=\frac{4}{3}π r^3$，列方程：
$\frac{4}{3}π r^3=288π$
两边同时消去$π$，得$\frac{4}{3}r^3=288$，计算得$r^3=216$，即$r=6$。
【答案】
铅球的半径为6 cm。
【知识点】
1. 等积变形原理
2. 圆柱体积计算
3. 球体体积计算
【点评】
本题是体积等积变形的典型应用题，核心是抓住浸没物体的体积等于液面下降部分的体积这一关系，结合给定的体积公式列式计算即可，重点考查对等量关系的提炼能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要找准等量关系：铅球完全浸没在水中，拿出铅球后，水面下降部分的水的体积就等于铅球的体积。我们可以先利用圆柱的体积公式算出下降的水的体积，再将该体积代入球的体积公式，建立方程求解即可得到铅球的半径。
【解析】
解：设铅球的半径为$r$ cm。
1. 计算下降部分水的体积：小水桶的底面半径为$\frac{24}{2}=12$ cm，水面下降高度为2 cm，根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=π R^2 h$，可得下降的水的体积为：
$V=π×12^2×2=288π\ \mathrm{cm}^3$
2. 根据下降的水的体积等于铅球的体积，结合题目给出的球的体积公式$V_{球}=\frac{4}{3}π r^3$，列方程：
$\frac{4}{3}π r^3=288π$
两边同时消去$π$，得$\frac{4}{3}r^3=288$，计算得$r^3=216$，即$r=6$。
【答案】
铅球的半径为6 cm。
【知识点】
1. 等积变形原理
2. 圆柱体积计算
3. 球体体积计算
【点评】
本题是体积等积变形的典型应用题，核心是抓住浸没物体的体积等于液面下降部分的体积这一关系，结合给定的体积公式列式计算即可，重点考查对等量关系的提炼能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
12.小明在学完立方根后研究了如下问题:如何求出－50 653 的立方根？他进行了如下步骤:
①首先进行了估算:因为$10^3=1\ 000,100^3=1\ 000\ 000$,所以$\sqrt[3]{50\ 653}$是两位数；
②其次观察了立方数:$1^3=1,2^3=8,3^3=27,4^3=64,5^3=125,6^3=216,7^3=343,8^3=512,9^3=729$;猜想$\sqrt[3]{50\ 653}$的个位数字是7；
③接着将 50 653 往前移动 3 位小数点后约为 50,因为$3^3=27,4^3=64$,所以$\sqrt[3]{50\ 653}$的十位数字应为 3,于是猜想$\sqrt[3]{50\ 653}=37$,验证得:50 653 的立方根是 37；
④最后依据“负数的立方根是负数”得到$\sqrt[3]{-50\ 653}=-37$,同时发现结论:若两个数互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立.
请你根据小明的方法和结论,完成下列问题:
(1)$\sqrt[3]{-117\ 649}=$
(2)若$\sqrt[3]{1-2x}+\sqrt[3]{5}=0$,则$x=$
(3)已知$\sqrt[3]{x-2}+2=x$,且$\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,求$x,y$的值.
①首先进行了估算:因为$10^3=1\ 000,100^3=1\ 000\ 000$,所以$\sqrt[3]{50\ 653}$是两位数；
②其次观察了立方数:$1^3=1,2^3=8,3^3=27,4^3=64,5^3=125,6^3=216,7^3=343,8^3=512,9^3=729$;猜想$\sqrt[3]{50\ 653}$的个位数字是7；
③接着将 50 653 往前移动 3 位小数点后约为 50,因为$3^3=27,4^3=64$,所以$\sqrt[3]{50\ 653}$的十位数字应为 3,于是猜想$\sqrt[3]{50\ 653}=37$,验证得:50 653 的立方根是 37；
④最后依据“负数的立方根是负数”得到$\sqrt[3]{-50\ 653}=-37$,同时发现结论:若两个数互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立.
请你根据小明的方法和结论,完成下列问题:
(1)$\sqrt[3]{-117\ 649}=$
-49
；(2)若$\sqrt[3]{1-2x}+\sqrt[3]{5}=0$,则$x=$
3
；(3)已知$\sqrt[3]{x-2}+2=x$,且$\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,求$x,y$的值.
答案
12.解:(1)$-49$ (2)$3$
(3)$\sqrt[3]{x-2}+2=x$,即$\sqrt[3]{x-2}=x-2$,
$\therefore x-2=0$或$x-2=1$或$x-2=-1$,
解得$x=2$或$x=3$或$x=1$.
$\because\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,
即$\sqrt[3]{3y-1}+\sqrt[3]{1-2x}=0$,
$\therefore 3y-1+1-2x=0$,即$3y-2x=0$,
$\therefore$当$x=2$时,$y=\dfrac{4}{3}$;当$x=3$时,$y=2$;
当$x=1$时,$y=\dfrac{2}{3}$.
(3)$\sqrt[3]{x-2}+2=x$,即$\sqrt[3]{x-2}=x-2$,
$\therefore x-2=0$或$x-2=1$或$x-2=-1$,
解得$x=2$或$x=3$或$x=1$.
$\because\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,
即$\sqrt[3]{3y-1}+\sqrt[3]{1-2x}=0$,
$\therefore 3y-1+1-2x=0$,即$3y-2x=0$,
$\therefore$当$x=2$时,$y=\dfrac{4}{3}$;当$x=3$时,$y=2$;
当$x=1$时,$y=\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
(1) 求负数的立方根可先求对应正数的立方根，再添加负号：先观察1~9的立方的个位特征，确定117649的立方根的个位数字；再将117649前移3位小数点，结合立方数确定十位数字，即可得到正数的立方根，最后加负号得到结果。
(2) 根据题干给出的结论“两个立方根互为相反数，则被开方数也互为相反数”，列一元一次方程求解即可。
(3) 先将方程变形得到立方根等于本身的形式，立方根等于本身的数有0、1、-1，据此求出x的所有可能值；再利用互为相反数的两个数的立方根的性质，得到被开方数之和为0，代入不同的x值求出对应y的值即可。
【解析】
(1) 先计算$\sqrt[3]{117649}$：
① 观察1~9的立方，只有$9^3=729$的个位数字为9，故$\sqrt[3]{117649}$的个位数字是9；
② 将117649往前移动3位小数点得117，$4^3=64$，$5^3=125$，$64＜117＜125$，故$\sqrt[3]{117649}$的十位数字是4，即$\sqrt[3]{117649}=49$；
③ 由负数的立方根是负数，得$\sqrt[3]{-117649}=-49$。
(2) 已知$\sqrt[3]{1-2x}+\sqrt[3]{5}=0$，说明$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{5}$互为相反数，根据结论可得：
$1-2x=-5$
解得$x=3$。
(3) 对$\sqrt[3]{x-2}+2=x$移项得：$\sqrt[3]{x-2}=x-2$，
∵ 立方根等于本身的数为0、1、-1，
∴ $x-2=0$或$x-2=1$或$x-2=-1$，
解得$x=2$或$x=3$或$x=1$。
∵ $\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数，
∴ $3y-1+1-2x=0$，化简得$3y=2x$，
当$x=2$时，$y=\dfrac{4}{3}$；
当$x=3$时，$y=2$；
当$x=1$时，$y=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1)$-49$；(2)$3$；(3)$x=1,y=\dfrac{2}{3}$或$x=2,y=\dfrac{4}{3}$或$x=3,y=2$
【知识点】
立方根的性质，相反数的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于立方根的迁移应用类题目，需要准确理解题干给出的探究结论，解题时要注意立方根等于本身的数有3个，避免出现漏解的情况，整体侧重对基础知识灵活应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
(1) 求负数的立方根可先求对应正数的立方根，再添加负号：先观察1~9的立方的个位特征，确定117649的立方根的个位数字；再将117649前移3位小数点，结合立方数确定十位数字，即可得到正数的立方根，最后加负号得到结果。
(2) 根据题干给出的结论“两个立方根互为相反数，则被开方数也互为相反数”，列一元一次方程求解即可。
(3) 先将方程变形得到立方根等于本身的形式，立方根等于本身的数有0、1、-1，据此求出x的所有可能值；再利用互为相反数的两个数的立方根的性质，得到被开方数之和为0，代入不同的x值求出对应y的值即可。
【解析】
(1) 先计算$\sqrt[3]{117649}$：
① 观察1~9的立方，只有$9^3=729$的个位数字为9，故$\sqrt[3]{117649}$的个位数字是9；
② 将117649往前移动3位小数点得117，$4^3=64$，$5^3=125$，$64＜117＜125$，故$\sqrt[3]{117649}$的十位数字是4，即$\sqrt[3]{117649}=49$；
③ 由负数的立方根是负数，得$\sqrt[3]{-117649}=-49$。
(2) 已知$\sqrt[3]{1-2x}+\sqrt[3]{5}=0$，说明$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{5}$互为相反数，根据结论可得：
$1-2x=-5$
解得$x=3$。
(3) 对$\sqrt[3]{x-2}+2=x$移项得：$\sqrt[3]{x-2}=x-2$，
∵ 立方根等于本身的数为0、1、-1，
∴ $x-2=0$或$x-2=1$或$x-2=-1$，
解得$x=2$或$x=3$或$x=1$。
∵ $\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数，
∴ $3y-1+1-2x=0$，化简得$3y=2x$，
当$x=2$时，$y=\dfrac{4}{3}$；
当$x=3$时，$y=2$；
当$x=1$时，$y=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1)$-49$；(2)$3$；(3)$x=1,y=\dfrac{2}{3}$或$x=2,y=\dfrac{4}{3}$或$x=3,y=2$
【知识点】
立方根的性质，相反数的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于立方根的迁移应用类题目，需要准确理解题干给出的探究结论，解题时要注意立方根等于本身的数有3个，避免出现漏解的情况，整体侧重对基础知识灵活应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
