例1 (宁波市鄞州区)当$x=\underline{\hspace{3em}}$时，分式$\dfrac{3x-1}{x+2}$的值为0。

$\dfrac{1}{3}$

【分析】要确定使分式$\dfrac{3x-1}{x+2}$的值为0的$x$，需明确分式值为0的两个必要条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件必须同时满足。解题时先令分子为0求出$x$的可能值，再代入分母验证是否不为0，符合条件的即为答案。
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。
1. 令分子$3x - 1 = 0$，解方程得：$3x=1$，即$x=\dfrac{1}{3}$；
2. 检验分母：当$x=\dfrac{1}{3}$时，分母$x+2=\dfrac{1}{3}+2=\dfrac{7}{3}≠0$，满足分母不为0的条件；
因此，当$x=\dfrac{1}{3}$时，分式的值为0。
【答案】$\dfrac{1}{3}$
【知识点】分式的值为0的条件
【点评】本题是分式相关的基础题，核心考查分式值为0的两个关键条件，需注意避免只考虑分子为0而忽略分母不为0的易错点，属于初中数学必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8

例2 (嘉兴市)下列代数式中,属于分式的是 ()

A.$\dfrac{x}{x+1}$
B.$3y$
C.$\dfrac{x}{2}$
D.$\dfrac{x}{2}+y$

A

【分析】首先明确分式的定义：一般地，若A、B为两个整式，且B中含有字母（B≠0），则式子$\frac{A}{B}$叫做分式。接下来依据该定义，逐个分析选项判断是否为分式。
【解析】根据分式的定义逐一判断：
选项A：$\frac{x}{x+1}$的分母是$x+1$，含有字母$x$，符合分式的定义，属于分式；
选项B：$3y$是单项式，属于整式，其分母为常数1，不含字母，不是分式；
选项C：$\frac{x}{2}$的分母是常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
选项D：$\frac{x}{2}+y$是两个整式的和，属于多项式，是整式，不是分式。
综上，属于分式的是选项A。
【答案】A
【知识点】分式的定义
【点评】本题考查分式的基本概念，属于基础题，只要准确掌握分式的定义即可快速判断，难度较低。
【难度系数】0.8

1.(杭州市西湖区)若分式$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$的值为零,则$x$等于 ()

A.$0$
B.$-2$
C.$2$
D.$2$或$-2$

B

【分析】要解决分式值为零的问题，需牢记分式的值为零的核心条件：分子等于0，且分母不等于0。解题时先令分子为0求出可能的x值，再代入分母检验，排除使分母为0的x，即可得到正确结果。
【解析】解：要使分式$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$的值为零，需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$x^2 - 4 = 0$，解得$x = 2$或$x = -2$；
2. 分母不为0：$x^2 - 3x + 2 ≠ 0$，因式分解得$(x - 1)(x - 2) ≠ 0$，即$x ≠ 1$且$x ≠ 2$；
结合上述条件，排除使分母为0的$x=2$，仅剩下$x=-2$，因此答案选B。
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件、解一元二次方程
【点评】本题考查分式值为零的基础知识点，易错点是忽略“分母不为零”的条件，直接选取分子为0的解，需注意检验分母的取值，属于分式相关的基础题型。
【难度系数】0.6

2.(金华市婺城区)要使分式$\dfrac{x - 3}{(x + 1)(x - 3)}$有意义,则 ()

A.$x≠-1$
B.$x≠3$
C.$x≠-1$或$x≠3$
D.$x≠-1$且$x≠3$

D

【分析】首先明确分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题中分式的分母是两个因式的乘积，要使乘积不为0，需每个因式都不为0，因此要分别求解两个因式不为0的情况，再取两者同时满足的条件，即可得出x的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】分式有意义的条件是分母不等于0。对于分式$\dfrac{x - 3}{(x + 1)(x - 3)}$，其分母为$(x + 1)(x - 3)$，因此需满足$(x + 1)(x - 3) ≠ 0$。根据乘法的性质，两个数的乘积不为0等价于这两个数都不为0，即：
$x + 1 ≠ 0$，解得$x ≠ -1$；
同时$x - 3 ≠ 0$，解得$x ≠ 3$；
因此x需同时满足$x ≠ -1$且$x ≠ 3$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基础知识点，核心是掌握“分母不为0”的规则，易错点在于混淆“且”与“或”的逻辑关系，需注意乘积不为0需每个因式都不为0，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.3

例3 (杭州市上城区)如果把分式$\frac{2xy}{3x - 2y}$中的$x,y$都扩大到原来的3倍,那么分式的值 ()

A.缩小到原来的$\frac{1}{3}$
B.不变
C.扩大到原来的3倍
D.扩大到原来的9倍

C

【分析】本题考查分式值随变量变化的规律，解题思路是：根据题意将原分式中的x、y分别替换为3x、3y，计算出新分式，再与原分式作对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】原分式为$\frac{2xy}{3x - 2y}$，当$x$、$y$都扩大到原来的3倍时，新的$x=3x$，$y=3y$，代入新分式得：
分子：$2 · (3x) · (3y) = 18xy$
分母：$3 · (3x) - 2 · (3y) = 9x - 6y = 3(3x - 2y)$
则新分式为：$\frac{18xy}{3(3x - 2y)} = \frac{6xy}{3x - 2y}$
对比原分式$\frac{2xy}{3x - 2y}$，可得新分式是原分式的$\frac{6xy}{3x - 2y} ÷ \frac{2xy}{3x - 2y} = 3$倍，即分式的值扩大到原来的3倍。
【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式的值
【点评】本题是分式性质的基础应用题，核心是掌握“变量替换后代入计算对比”的方法，属于分式章节的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7

例4 (杭州市上城区)已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，求代数式$\frac{2x - 3xy + 2y}{x + xy + y}$的值。

由已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$得$x+y=2xy$，原式$=\frac{2(x+y)-3xy}{(x+y)+xy}=\frac{4xy-3xy}{2xy+xy}=\frac{xy}{3xy}=\frac{1}{3}$。

【分析】
首先对已知条件$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$通分变形，得到$x+y$与$xy$的关系；再观察所求代数式，其分子和分母均包含$x+y$和$xy$，因此采用整体代入法，将$x+y$用含$xy$的式子替换，简化计算即可求出结果。
【解析】
解：由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，通分得：
$\frac{x+y}{xy}=2$，即$x+y=2xy$。
将$x+y=2xy$代入所求代数式：
原式$=\frac{2(x+y)-3xy}{(x+y)+xy}$
$=\frac{2×2xy -3xy}{2xy + xy}$
$=\frac{4xy -3xy}{3xy}$
$=\frac{xy}{3xy}$
$=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式化简求值；整体代入法
【点评】
本题利用整体思想，通过变形已知条件得到$x+y$与$xy$的关系，再代入所求代数式简化计算，避免了求解$x$、$y$的具体值，是分式化简求值的典型应用题型。
【难度系数】
0.6