3.(杭州市拱墅区)下列分式中,属于最简分式的为 ()

A.$\dfrac{x}{x^2+y^2}$
B.$\dfrac{3x^2-xy}{xy}$
C.$\dfrac{x+2}{x^2-4}$
D.$\dfrac{1-x}{x^2-2x+1}$

A

【分析】
要判断最简分式，需先明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式为最简分式。解题时需对每个选项的分子、分母进行因式分解，再判断是否存在公因式，存在公因式则可约分，不是最简分式；无公因式则是最简分式。
【解析】
根据最简分式的定义，逐一分析选项：
选项A：分子为$x$，分母为$x^2+y^2$，$x^2+y^2$无法因式分解，分子与分母无公因式，属于最简分式；
选项B：分子$3x^2-xy=x(3x-y)$，分母为$xy$，分子与分母有公因式$x$，可约分为$\frac{3x-y}{y}$，不是最简分式；
选项C：分母$x^2-4=(x+2)(x-2)$，分子为$x+2$，分子与分母有公因式$x+2$，可约分为$\frac{1}{x-2}$，不是最简分式；
选项D：分母$x^2-2x+1=(x-1)^2$，分子$1-x=-(x-1)$，分子与分母有公因式$x-1$，可约分为$-\frac{1}{x-1}$，不是最简分式。
综上，最简分式为选项A。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的判断、分式的约分
【点评】
本题考查最简分式的判定，核心是掌握分式约分的前提：分子分母因式分解后无公因式。属于基础题型，需熟练运用因式分解方法（如提公因式法、公式法）分析分子分母，难度不大。
【难度系数】
0.7

4.(龙泉市)分式$\dfrac{x+y}{x^2 - y^2}$化简的结果是。

$\dfrac{1}{x-y}$

【分析】
要化简分式$\dfrac{x+y}{x^2 - y^2}$，首先需对分母利用平方差公式因式分解，再找出分子分母的公因式进行约分，同时注意保证分式有意义的条件。
【解析】
解：先对分母因式分解，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，
则原式$=\dfrac{x+y}{(x+y)(x-y)}$，
约去公因式$(x+y)$（需满足$x+y≠0$，保证分式有意义），
化简结果为$\dfrac{1}{x-y}$。
【答案】
$\dfrac{1}{x-y}$
【知识点】
分式约分、平方差公式
【点评】
本题是分式化简的基础题，核心考查平方差公式的应用和分式约分的基本方法，属于学生必须掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8

5.(绍兴市上虞区)如图,一个长为$ l $、宽为$ a $的长方形内,铺满了一层半径为$ r $的圆,则长方形的面积的利用率(圆的总面积与长方形面积的比)为$$$$(结果保留$π$)。

$\dfrac{π}{4}$

【分析】要计算长方形面积的利用率，需先求出长方形内所有圆的总面积，再除以长方形的面积。首先根据圆的半径$r$得到直径为$2r$，由此确定长方形长、宽方向可容纳的圆的数量，进而算出圆的总个数；再结合单个圆的面积求出所有圆的总面积，最后与长方形面积作比化简即可。
【解析】已知圆的半径为$r$，则直径为$2r$。
长方形的长为$l$，则长方向可放置的圆的数量为$\frac{l}{2r}$；
长方形的宽为$a$，则宽方向可放置的圆的数量为$\frac{a}{2r}$；
因此圆的总个数为：$\frac{l}{2r} × \frac{a}{2r} = \frac{la}{4r^2}$；
单个圆的面积为$π r^2$，则所有圆的总面积为：$\frac{la}{4r^2} × π r^2 = \frac{π la}{4}$；
长方形的面积为$la$；
所以面积利用率 = $\frac{圆的总面积}{长方形面积} = \frac{\frac{π la}{4}}{la} = \frac{π}{4}$。
【答案】$\dfrac{π}{4}$
【知识点】圆的面积计算、长方形面积计算、代数式化简
【点评】本题结合长方形和圆的面积考查代数式的应用，核心是确定长方形内圆的总个数，通过代数运算化简得到结果，属于基础题型。
【难度系数】0.5

例5 (温州市)计算：$\dfrac{a^2}{a - 2} + \dfrac{2a}{2 - a}=$。

$a$

【分析】本题是分式的加减运算，需先将异分母分式转化为同分母分式。观察两个分母$a-2$与$2-a$互为相反数，可将第二个分式的分母变形为$a-2$，转化为同分母后按同分母分式加减法则计算，再通过因式分解和约分得到结果。
【解析】原式=$\dfrac{a^2}{a - 2} + \dfrac{2a}{-(a - 2)} = \dfrac{a^2}{a - 2} - \dfrac{2a}{a - 2}$，根据同分母分式加减法则，分子相减、分母不变，得$\dfrac{a^2 - 2a}{a - 2}$；对分子因式分解得$\dfrac{a(a - 2)}{a - 2}$，约去公因式$a-2$（$a≠2$），结果为$a$。
【答案】$a$
【知识点】分式的加减运算、分式的约分
【点评】本题考查分式的基础运算，核心是处理互为相反数的分母实现通分，结合因式分解和约分简化结果，属于分式运算的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

例6 (绍兴市上虞区)先阅读右边的解题过程,再回答问题:

(1)右边的解答有错误,错误步骤的序号是,错误的原因是。
(2)请你给出正确的解答。

(1)③ 不应该去分母
(2)正确解法为
原式$=\frac{4}{(x+2)(x-2)}-\frac{1}{x-2}$
$=\frac{4}{(x+2)(x-2)}-\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{4-(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}=-\frac{1}{x+2}$。

【分析】
本题考查分式的加减运算，需遵循异分母分式加减的规则：先通分，化为同分母分式后，分子相加减，分母保持不变。观察给出的解题过程，步骤③错误地直接去掉了分母，违背了分式运算的规则，分式运算中不能随意去分母，只能在通分后对分子进行加减运算，分母不变。
【解析】
(1) 分析解题过程：步骤①将$\frac{1}{2-x}$变形为$-\frac{1}{x-2}$，正确；步骤②通分，将两个分式化为同分母$\frac{(x+2)(x-2)}$，正确；步骤③错误，分式加减运算不能直接去掉分母，应保留分母，仅对分子进行加减，故错误步骤是③，错误原因是不应该去分母（或分式加减不能直接去分母，需保留分母）。
(2) 正确解法：
原式$=\frac{4}{(x+2)(x-2)} - \frac{1}{x-2}$
$=\frac{4}{(x+2)(x-2)} - \frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{4 - (x+2)}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{4 - x - 2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{2 - x}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{-(x - 2)}{(x+2)(x-2)}$
$=-\frac{1}{x+2}$
【答案】
(1) ③；不应该去分母（或分式加减不能直接去分母，应保留分母）
(2) $-\frac{1}{x+2}$
【知识点】
分式的加减运算、通分、约分
【点评】
本题考查分式加减的基础运算，核心是掌握异分母分式加减的规则，避免混淆分式运算与整式方程的去分母操作，需熟练运用通分、分子化简、约分的步骤，是分式运算的典型易错题型。
【难度系数】
0.5

6.(嘉兴市)化简：$\dfrac{b}{a-b}-\dfrac{a}{a-b}=$。

$-1$

【分析】
本题是同分母分式的减法运算，解题思路：利用同分母分式的加减法法则，先合并分子，再对分子变形后约分得到结果。具体步骤：同分母分式相减时分母不变，分子相减；将得到的分子提取负号转化为与分母相同的形式，再约分即可。
【解析】
根据同分母分式的减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，可得：
$\dfrac{b}{a-b}-\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{b-a}{a-b}$
对分子提取负号变形：$b-a=-(a-b)$，代入得：
$\dfrac{-(a-b)}{a-b}$
由于分式有意义，故$a-b≠0$，约分后得：
原式$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式的加减运算、约分
【点评】
本题考查基础的同分母分式化简，核心是掌握同分母分式的运算法则和分式约分的符号处理，属于分式运算的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

7.(临海市)已知$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=1$,则$(a-1)(b+1)=$。

$-1$

【分析】
首先对已知的分式等式通分，推导得出a与b的关系；再将所求代数式展开，把变形后的a、b关系代入展开式，即可计算出结果。
【解析】
解：已知$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=1$，
通分得：$\dfrac{b - a}{ab}=1$，
因此$b - a = ab$，即$a - b = -ab$。
展开所求代数式：
$(a - 1)(b + 1)=ab + a - b - 1$，
将$a - b = -ab$代入上式：
$ab + (-ab) - 1 = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式运算、代数式化简求值
【点评】
本题结合分式变形与代数式代入求值，考查代数运算的综合应用，核心是合理转化已知条件，简化计算过程。
【难度系数】
0.5

8.(诸暨市)化简$\frac{2}{a^2 - 1} + \frac{1}{a + 1}$，并求当$a=2$时原式的值。

$\frac{2}{a^2 - 1} + \frac{1}{a + 1}=\frac{2+(a-1)}{(a+1)(a-1)}=\frac{1}{a-1}$，当$a=2$时，原式$=\frac{1}{2-1}=1$。

【分析】
要化简该分式，首先利用平方差公式分解分母$a^2 -1=(a+1)(a-1)$，确定异分母分式加减的最简公分母为$(a+1)(a-1)$；接着将第二个分式通分，转化为同分母分式后进行分子的加减运算，再约分得到最简形式；最后将$a=2$代入化简后的式子计算结果。
【解析】
解：先分解因式找最简公分母，$a^2 -1=(a+1)(a-1)$，则：
$\begin{aligned}\frac{2}{a^2 -1} + \frac{1}{a +1}&=\frac{2}{(a+1)(a-1)} + \frac{a -1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{2 + a -1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a +1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{1}{a -1}\end{aligned}$
当$a=2$时，代入化简后的式子得：$\frac{1}{2 -1}=1$。
【答案】
化简结果为$\frac{1}{a -1}$，当$a=2$时，原式的值为$1$。
【知识点】
分式的加减运算、分式的化简求值
【点评】
本题考查分式的通分、加减运算及化简求值，属于基础题型，解题关键是正确分解因式确定最简公分母，步骤清晰即可完成。
【难度系数】
0.7

例7 (绍兴市)先化简,再求值:$\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 - ab} ÷ (a + \dfrac{2ab + b^2}{a})$,其中$a=2,b=-1$。

原式$=\frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)}÷\frac{a^2+2ab+b^2}{a}=\frac{a+b}{a}·\frac{a}{(a+b)^2}=\frac{1}{a+b}$，当$a=2,b=-1$时，原式$=\frac{1}{2-1}=1$。

【分析】本题是分式的化简求值题，解题思路为：先对分式的分子、分母进行因式分解，再处理括号内的分式（通分后因式分解），将除法转化为乘法后约分得到最简形式，最后代入a、b的值计算结果。
【解析】先对原式各部分因式分解并化简：
原式$=\frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)}÷\frac{a^2+2ab+b^2}{a}$
括号内通分计算：$\frac{a^2}{a}+\frac{2ab+b^2}{a}=\frac{a^2+2ab+b^2}{a}=\frac{(a+b)^2}{a}$
将除法转化为乘法：$\frac{a+b}{a}·\frac{a}{(a+b)^2}$
约分后得：$\frac{1}{a+b}$
代入$a=2,b=-1$，得$\frac{1}{2+(-1)}=1$
【答案】1
【知识点】分式的化简求值、因式分解、分式运算
【点评】本题考查分式的化简求值，核心是利用因式分解（平方差公式、完全平方公式）对分式约分，处理括号内的分式时需注意通分规则，代入求值时要准确处理符号，属于基础运算题，难度适中。
【难度系数】0.8