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例8 (杭州市拱墅区)甲、乙两人两次同时在同一家超市购买糖果,两次购买糖果的价格分别是每千克$a$元和$b$元($a≠b$),甲每次购买10 kg糖果,乙每次花10元钱购买糖果。
(1)甲两次购买糖果共付款
(2)请你判断甲、乙两人谁的购买方式的平均价格更低,并说明理由。
(1)甲两次购买糖果共付款
$10(a+b)$
元,乙两次共购买$\dfrac{10}{a}+\dfrac{10}{b}$
kg糖果。(用含$a,b$的代数式表示)(2)请你判断甲、乙两人谁的购买方式的平均价格更低,并说明理由。
答案
(1)$10(a+b)$；$\frac{10}{a}+\frac{10}{b}$
(2)乙购买糖果的平均价格更低。理由如下：
根据题意得甲购买糖果的平均价格为$\frac{10a+10b}{20}=\frac{a+b}{2}$（元），乙购买糖果的平均价格为$\frac{20}{\frac{10}{a}+\frac{10}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$（元）。
$\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge0$，
因为$a≠b$，所以原式＞0。所以乙购买糖果的平均价格更低。
(2)乙购买糖果的平均价格更低。理由如下：
根据题意得甲购买糖果的平均价格为$\frac{10a+10b}{20}=\frac{a+b}{2}$（元），乙购买糖果的平均价格为$\frac{20}{\frac{10}{a}+\frac{10}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$（元）。
$\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge0$，
因为$a≠b$，所以原式＞0。所以乙购买糖果的平均价格更低。
解析
【分析】
首先，第(1)问需根据“总付款=单价×重量”“总重量=各次购买重量之和”，结合甲、乙的购买方式用代数式表示结果；第(2)问需明确平均价格=总付款÷总重量，分别计算甲、乙的平均价格，再通过作差法比较两个分式的大小，利用a≠b的条件判断差的正负，从而得出结论。
【解析】
(1) 甲每次买10kg，两次单价为a元/kg、b元/kg，总付款为：$10a + 10b = 10(a+b)$元；
乙每次花10元，两次购买的重量分别为$\frac{10}{a}$kg、$\frac{10}{b}$kg，总重量为：$\frac{10}{a} + \frac{10}{b}$kg。
(2) 计算平均价格：
甲的平均价格 = $\frac{总付款}{总重量} = \frac{10a + 10b}{10+10} = \frac{a+b}{2}$（元/kg）；
乙的平均价格 = $\frac{总付款}{总重量} = \frac{10+10}{\frac{10}{a} + \frac{10}{b}} = \frac{20}{\frac{10(a+b)}{ab}} = \frac{2ab}{a+b}$（元/kg）；
作差比较大小：
$\frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$；
因为a≠b，所以$(a-b)^2＞0$，且单价a、b均为正数，分母$2(a+b)＞0$，故差大于0，即$\frac{a+b}{2} ＞ \frac{2ab}{a+b}$，因此乙的平均价格更低。
【答案】
(1) $10(a+b)$；$\frac{10}{a}+\frac{10}{b}$
(2) 乙购买糖果的平均价格更低，理由见解析。
【知识点】
代数式的表示、分式的运算、作差法比较大小
【点评】
本题结合实际购物场景考查代数知识的应用，核心是正确推导平均价格的表达式，通过作差法比较分式大小，体现了代数在实际问题中的实用性，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先，第(1)问需根据“总付款=单价×重量”“总重量=各次购买重量之和”，结合甲、乙的购买方式用代数式表示结果；第(2)问需明确平均价格=总付款÷总重量，分别计算甲、乙的平均价格，再通过作差法比较两个分式的大小，利用a≠b的条件判断差的正负，从而得出结论。
【解析】
(1) 甲每次买10kg，两次单价为a元/kg、b元/kg，总付款为：$10a + 10b = 10(a+b)$元；
乙每次花10元，两次购买的重量分别为$\frac{10}{a}$kg、$\frac{10}{b}$kg，总重量为：$\frac{10}{a} + \frac{10}{b}$kg。
(2) 计算平均价格：
甲的平均价格 = $\frac{总付款}{总重量} = \frac{10a + 10b}{10+10} = \frac{a+b}{2}$（元/kg）；
乙的平均价格 = $\frac{总付款}{总重量} = \frac{10+10}{\frac{10}{a} + \frac{10}{b}} = \frac{20}{\frac{10(a+b)}{ab}} = \frac{2ab}{a+b}$（元/kg）；
作差比较大小：
$\frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$；
因为a≠b，所以$(a-b)^2＞0$，且单价a、b均为正数，分母$2(a+b)＞0$，故差大于0，即$\frac{a+b}{2} ＞ \frac{2ab}{a+b}$，因此乙的平均价格更低。
【答案】
(1) $10(a+b)$；$\frac{10}{a}+\frac{10}{b}$
(2) 乙购买糖果的平均价格更低，理由见解析。
【知识点】
代数式的表示、分式的运算、作差法比较大小
【点评】
本题结合实际购物场景考查代数知识的应用，核心是正确推导平均价格的表达式，通过作差法比较分式大小，体现了代数在实际问题中的实用性，难度适中。
【难度系数】
0.6
9.(杭州市西湖区)若$\dfrac{x - y}{y} = \dfrac{1}{4}$，则$\dfrac{xy + y^2}{x^2 - xy} =$
$\dfrac{36}{5}$
。答案
$\dfrac{36}{5}$
解析
【分析】首先根据已知等式变形求出x与y的数量关系；再将所求分式的分子、分母分别因式分解，转化为用x、y关系表示的形式，代入化简计算即可。
【解析】
1. 处理已知条件，推导x与y的关系：
由$\dfrac{x - y}{y} = \dfrac{1}{4}$，拆分左边得$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{y} = \dfrac{1}{4}$，即$\dfrac{x}{y} - 1 = \dfrac{1}{4}$，解得$\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{4}$，故$x = \dfrac{5}{4}y$。
2. 对所求分式因式分解化简：
$\dfrac{xy + y^2}{x^2 - xy} = \dfrac{y(x + y)}{x(x - y)}$。
3. 代入关系计算结果：
将$x = \dfrac{5}{4}y$代入上式：
分子：$y(\dfrac{5}{4}y + y) = y · \dfrac{9}{4}y = \dfrac{9}{4}y^2$；
分母：$\dfrac{5}{4}y · (\dfrac{5}{4}y - y) = \dfrac{5}{4}y · \dfrac{1}{4}y = \dfrac{5}{16}y^2$；
则原式$= \dfrac{\dfrac{9}{4}y^2}{\dfrac{5}{16}y^2} = \dfrac{9}{4} × \dfrac{16}{5} = \dfrac{36}{5}$。
【答案】$\dfrac{36}{5}$
【知识点】分式化简求值、因式分解
【点评】本题属于分式化简求值的基础题型，核心是利用已知条件建立x与y的关系，通过因式分解简化分式后代入计算，步骤清晰易操作。
【难度系数】0.3
【解析】
1. 处理已知条件，推导x与y的关系：
由$\dfrac{x - y}{y} = \dfrac{1}{4}$，拆分左边得$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{y} = \dfrac{1}{4}$，即$\dfrac{x}{y} - 1 = \dfrac{1}{4}$，解得$\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{4}$，故$x = \dfrac{5}{4}y$。
2. 对所求分式因式分解化简：
$\dfrac{xy + y^2}{x^2 - xy} = \dfrac{y(x + y)}{x(x - y)}$。
3. 代入关系计算结果：
将$x = \dfrac{5}{4}y$代入上式：
分子：$y(\dfrac{5}{4}y + y) = y · \dfrac{9}{4}y = \dfrac{9}{4}y^2$；
分母：$\dfrac{5}{4}y · (\dfrac{5}{4}y - y) = \dfrac{5}{4}y · \dfrac{1}{4}y = \dfrac{5}{16}y^2$；
则原式$= \dfrac{\dfrac{9}{4}y^2}{\dfrac{5}{16}y^2} = \dfrac{9}{4} × \dfrac{16}{5} = \dfrac{36}{5}$。
【答案】$\dfrac{36}{5}$
【知识点】分式化简求值、因式分解
【点评】本题属于分式化简求值的基础题型，核心是利用已知条件建立x与y的关系，通过因式分解简化分式后代入计算，步骤清晰易操作。
【难度系数】0.3
10.(丽水市)先化简,再求值:$\dfrac{x^2 + 3x}{x - 2} ÷ (1 + \dfrac{5}{x - 2})$,其中$x=-2$。
答案
原式$=\frac{x(x+3)}{x-2}÷(\frac{x-2}{x-2}+\frac{5}{x-2})=\frac{x(x+3)}{x-2}÷\frac{x+3}{x-2}$
$=\frac{x(x+3)}{x-2}·\frac{x-2}{x+3}=x$。当$x=-2$时，原式$=-2$。
$=\frac{x(x+3)}{x-2}·\frac{x-2}{x+3}=x$。当$x=-2$时，原式$=-2$。
解析
【分析】本题是分式的化简求值题，解题思路为：先计算括号内的异分母分式加法，通过通分将其转化为同分母分式合并；再依据分式除法法则，把除法运算转化为乘法运算；最后通过约分得到最简整式，代入给定的x值计算出结果。
【解析】原式$=\dfrac{x^2 + 3x}{x - 2} ÷ (\dfrac{x - 2}{x - 2} + \dfrac{5}{x - 2})$
$=\dfrac{x(x + 3)}{x - 2} ÷ \dfrac{x + 3}{x - 2}$
$=\dfrac{x(x + 3)}{x - 2} × \dfrac{x - 2}{x + 3}$
$=x$
当$x=-2$时，原式$=-2$
【答案】$-2$
【知识点】分式的化简求值、分式的除法运算
【点评】本题是分式章节的基础题型，主要考查分式的通分、除法运算及约分规则，步骤清晰，只要掌握分式运算的基本方法就能顺利解答，是巩固分式运算的典型题目。
【难度系数】0.6
【解析】原式$=\dfrac{x^2 + 3x}{x - 2} ÷ (\dfrac{x - 2}{x - 2} + \dfrac{5}{x - 2})$
$=\dfrac{x(x + 3)}{x - 2} ÷ \dfrac{x + 3}{x - 2}$
$=\dfrac{x(x + 3)}{x - 2} × \dfrac{x - 2}{x + 3}$
$=x$
当$x=-2$时，原式$=-2$
【答案】$-2$
【知识点】分式的化简求值、分式的除法运算
【点评】本题是分式章节的基础题型，主要考查分式的通分、除法运算及约分规则，步骤清晰，只要掌握分式运算的基本方法就能顺利解答，是巩固分式运算的典型题目。
【难度系数】0.6
11.(杭州市萧山区)先化简$\dfrac{2a+2}{a-1}÷(a+1)+\dfrac{a^2-1}{a^2-2a+1}$，然后在$-1,1,2$这三个数中任选一个合适的数作为$a$的值代入求值。
答案
$\frac{2a+2}{a-1}÷(a+1)+\frac{a^2-1}{a^2-2a+1}$
$=\frac{2(a+1)}{a-1}·\frac{1}{a+1}+\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}=\frac{2}{a-1}+\frac{a+1}{a-1}=\frac{a+3}{a-1}$。
因为$a≠1$且$a≠-1$，所以当$a=2$时，原式$=\frac{2+3}{2-1}=5$。
$=\frac{2(a+1)}{a-1}·\frac{1}{a+1}+\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}=\frac{2}{a-1}+\frac{a+1}{a-1}=\frac{a+3}{a-1}$。
因为$a≠1$且$a≠-1$，所以当$a=2$时，原式$=\frac{2+3}{2-1}=5$。
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先对分式的分子、分母进行因式分解，将除法转化为乘法后约分，再进行同分母分式的加法运算得到最简结果；接着根据分式有意义的条件，排除使分母或除式为0的a值，最后选取合适的a值代入计算结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{2a+2}{a-1}÷(a+1)+\frac{a^2-1}{a^2-2a+1}\\=&\frac{2(a+1)}{a-1}·\frac{1}{a+1}+\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}\\=&\frac{2}{a-1}+\frac{a+1}{a-1}\\=&\frac{2+a+1}{a-1}\\=&\frac{a+3}{a-1}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，分母和除式不能为0，故$a≠1$且$a≠-1$，选择$a=2$代入：
当$a=2$时，原式$=\frac{2+3}{2-1}=5$。
【答案】
5
【知识点】
分式的化简求值，因式分解，分式的运算
【点评】
本题考查分式化简求值的基础题型，关键是正确进行因式分解和约分，需注意分式有意义的取值限制，整体难度适中，适合巩固分式运算的基本方法。
【难度系数】
0.6
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先对分式的分子、分母进行因式分解，将除法转化为乘法后约分，再进行同分母分式的加法运算得到最简结果；接着根据分式有意义的条件，排除使分母或除式为0的a值，最后选取合适的a值代入计算结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{2a+2}{a-1}÷(a+1)+\frac{a^2-1}{a^2-2a+1}\\=&\frac{2(a+1)}{a-1}·\frac{1}{a+1}+\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}\\=&\frac{2}{a-1}+\frac{a+1}{a-1}\\=&\frac{2+a+1}{a-1}\\=&\frac{a+3}{a-1}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，分母和除式不能为0，故$a≠1$且$a≠-1$，选择$a=2$代入：
当$a=2$时，原式$=\frac{2+3}{2-1}=5$。
【答案】
5
【知识点】
分式的化简求值，因式分解，分式的运算
【点评】
本题考查分式化简求值的基础题型，关键是正确进行因式分解和约分，需注意分式有意义的取值限制，整体难度适中，适合巩固分式运算的基本方法。
【难度系数】
0.6
例9 (宁波市鄞州区)解方程:$\dfrac{x}{2x - 1} - \dfrac{2}{1 - 2x} = 2$。
答案
两边都乘$2x-1$，得$x+2=2(2x-1)$，解得$x=\frac{4}{3}$。检验：当$x=\frac{4}{3}$时，$2x-1=\frac{5}{3}≠0$，所以分式方程的解为$x=\frac{4}{3}$。
解析
【分析】
解分式方程的核心是将其转化为整式方程，需先处理分母符号（本题中两个分式的分母互为相反数），再通过去分母、解整式方程，最后检验解的有效性，避免增根。
【解析】
原方程变形为：$\dfrac{x}{2x - 1} + \dfrac{2}{2x - 1} = 2$；
两边同乘最简公分母$2x - 1$，得整式方程：$x + 2 = 2(2x - 1)$；
展开并整理：$x + 2 = 4x - 2$，移项合并得$3x = 4$，解得$x = \dfrac{4}{3}$；
检验：当$x = \dfrac{4}{3}$时，$2x - 1 = \dfrac{5}{3}≠0$，故解有效。
【答案】
$x=\dfrac{4}{3}$
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题为分式方程基础题，重点考查去分母时的符号处理和解后检验，检验是分式方程求解的必要环节，也是学生易忽略的易错点。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心是将其转化为整式方程，需先处理分母符号（本题中两个分式的分母互为相反数），再通过去分母、解整式方程，最后检验解的有效性，避免增根。
【解析】
原方程变形为：$\dfrac{x}{2x - 1} + \dfrac{2}{2x - 1} = 2$；
两边同乘最简公分母$2x - 1$，得整式方程：$x + 2 = 2(2x - 1)$；
展开并整理：$x + 2 = 4x - 2$，移项合并得$3x = 4$，解得$x = \dfrac{4}{3}$；
检验：当$x = \dfrac{4}{3}$时，$2x - 1 = \dfrac{5}{3}≠0$，故解有效。
【答案】
$x=\dfrac{4}{3}$
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题为分式方程基础题，重点考查去分母时的符号处理和解后检验，检验是分式方程求解的必要环节，也是学生易忽略的易错点。
【难度系数】
0.7
例10 (金华市婺城区)张老师和李老师住在同一个小区,离学校3000 m。某天早晨,张老师和李老师分别于7时10分、7时15分离家骑自行车上班,刚好在校门口遇上。已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍。为了求他们各自骑自行车的速度,设张老师骑自行车的速度是$x$(m/min),则可列得方程为 (
A.$\dfrac{3000}{x} - \dfrac{3000}{1.2x} = 5$
B.$\dfrac{3000}{x} - \dfrac{3000}{1.2x} = 5 × 60$
C.$\dfrac{3000}{1.2x} - \dfrac{3000}{x} = 5$
D.$\dfrac{3000}{1.2x} - \dfrac{3000}{x} = 5 × 60$
A
)A.$\dfrac{3000}{x} - \dfrac{3000}{1.2x} = 5$
B.$\dfrac{3000}{x} - \dfrac{3000}{1.2x} = 5 × 60$
C.$\dfrac{3000}{1.2x} - \dfrac{3000}{x} = 5$
D.$\dfrac{3000}{1.2x} - \dfrac{3000}{x} = 5 × 60$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，需利用行程问题中“时间=路程÷速度”的关系，先明确两人的骑行时间，再结合出发时间差确定时间等量关系：已知张老师速度为$x$ m/min，李老师速度是张老师的1.2倍即$1.2x$ m/min，两人路程均为3000m；张老师7:10出发，李老师7:15出发且同时到校，说明张老师骑行时间比李老师多5分钟，据此可列出方程。
【解析】
设张老师骑自行车的速度是$x$ m/min，则李老师的速度为$1.2x$ m/min。
根据“时间=路程÷速度”：
1. 张老师的骑行时间：$\frac{3000}{x}$ min；
2. 李老师的骑行时间：$\frac{3000}{1.2x}$ min。
两人出发时间差为7时15分 -7时10分=5分钟，且同时到校，因此张老师骑行时间比李老师多5分钟，可列方程：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.2x} =5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用、行程问题
【点评】
本题是行程问题中利用时间差列分式方程的基础题，核心是找准两人的时间等量关系，难度较低，适合巩固分式方程在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需利用行程问题中“时间=路程÷速度”的关系，先明确两人的骑行时间，再结合出发时间差确定时间等量关系：已知张老师速度为$x$ m/min，李老师速度是张老师的1.2倍即$1.2x$ m/min，两人路程均为3000m；张老师7:10出发，李老师7:15出发且同时到校，说明张老师骑行时间比李老师多5分钟，据此可列出方程。
【解析】
设张老师骑自行车的速度是$x$ m/min，则李老师的速度为$1.2x$ m/min。
根据“时间=路程÷速度”：
1. 张老师的骑行时间：$\frac{3000}{x}$ min；
2. 李老师的骑行时间：$\frac{3000}{1.2x}$ min。
两人出发时间差为7时15分 -7时10分=5分钟，且同时到校，因此张老师骑行时间比李老师多5分钟，可列方程：
$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{1.2x} =5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用、行程问题
【点评】
本题是行程问题中利用时间差列分式方程的基础题，核心是找准两人的时间等量关系，难度较低，适合巩固分式方程在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.8
