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例11 (义乌市)某市为创建生态文明建设城市,对公路旁的绿化带进行全面改造。现有甲、乙两支工程队,甲队单独完成这项工程,刚好如期完成,每施工一天,需付工程款1.5万元;乙队单独完成这项工程要比规定工期多用$a$天,乙队每施工一天需付工程款1万元。若先由甲、乙两队一起合作$b$天,剩下的工程由乙队单独做,也正好如期完工。
(1)当$a=6,b=4$时,求工程预定工期的天数。
(2)若$a-b=2,a$是偶数。
①求甲队、乙队单独完成工程的天数(用含$a$的代数式表示)。
②工程领导小组有三种施工方案:方案一:甲队单独完成这项工程;方案二:乙队单独完成这项工程;方案三:先由甲、乙两队一起合作$b$天,剩下的工程由乙队单独做。为了节省工程款,同时又能如期完工,请你选择一种方案,并说明理由。
(1)当$a=6,b=4$时,求工程预定工期的天数。
(2)若$a-b=2,a$是偶数。
①求甲队、乙队单独完成工程的天数(用含$a$的代数式表示)。
②工程领导小组有三种施工方案:方案一:甲队单独完成这项工程;方案二:乙队单独完成这项工程;方案三:先由甲、乙两队一起合作$b$天,剩下的工程由乙队单独做。为了节省工程款,同时又能如期完工,请你选择一种方案,并说明理由。
答案
(1)设甲队单独完成此项工程需$x$天，则乙队单独完成此项工程需$(x+6)$天。依题意得$(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6})×4+\frac{1}{x+6}×(x-4)=1$，解得$x=12$。经检验$x=12$是原分式方程的解。所以工程预定工期的天数是12天。
(2)①因为$a-b=2$，所以$b=a-2$。设甲队单独完成此项工程需$y$天，则乙队单独完成此项工程需$(y+a)$天。由题意得$\frac{a-2}{y}+\frac{y}{y+a}=1$，解得$y=\frac{a^2-2a}{2}$。经检验$y=\frac{a^2-2a}{2}$是原分式方程的解，所以$y+a=\frac{a^2}{2}$。所以甲队、乙队单独完成工期的天数分别为$\frac{a^2-2a}{2}$天、$\frac{a^2}{2}$天。
②方案一需付工程款：$1.5×\frac{a^2-2a}{2}=\frac{3}{4}a^2-\frac{3}{2}a$，方案二需付工程款：$1×\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}$，方案三需付工程款：$1.5b+\frac{a^2-2a}{2}=\frac{1}{2}a-3+\frac{1}{2}a^2$。因为要确保如期完工，所以方案二不可选。当$\frac{3}{4}a^2-\frac{3}{2}a＞\frac{1}{2}a-3+\frac{1}{2}a^2$时，$a＞6$或$a＜2$。因为$a-b=2$，且$a$为偶数，$a＞0,b＞0$，所以$a＞6$且$a$为偶数时，选择方案三更节省工程款。当$\frac{3}{4}a^2-\frac{3}{2}a=\frac{1}{2}a-3+\frac{1}{2}a^2$时，$a=6$或$a=2$。因为$a-b=2$，且$a$为偶数，$a＞0,b＞0$，所以$a=6$时选择方案一和方案三工程款一样。当$\frac{3}{4}a^2-\frac{3}{2}a＜\frac{1}{2}a-3+\frac{1}{2}a^2$时，$2＜a＜6$。因为$a-b=2$，且$a$为偶数，$a＞0,b＞0$，所以$a=4$时，选择方案一更节省工程款。综上所述，当$a=4$时，选择方案一更节省工程款；当$a=6$时，选择方案一和方案三的工程款一样；当$a＞6$且$a$为偶数时，选择方案三更节省工程款。
(2)①因为$a-b=2$，所以$b=a-2$。设甲队单独完成此项工程需$y$天，则乙队单独完成此项工程需$(y+a)$天。由题意得$\frac{a-2}{y}+\frac{y}{y+a}=1$，解得$y=\frac{a^2-2a}{2}$。经检验$y=\frac{a^2-2a}{2}$是原分式方程的解，所以$y+a=\frac{a^2}{2}$。所以甲队、乙队单独完成工期的天数分别为$\frac{a^2-2a}{2}$天、$\frac{a^2}{2}$天。
②方案一需付工程款：$1.5×\frac{a^2-2a}{2}=\frac{3}{4}a^2-\frac{3}{2}a$，方案二需付工程款：$1×\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}$，方案三需付工程款：$1.5b+\frac{a^2-2a}{2}=\frac{1}{2}a-3+\frac{1}{2}a^2$。因为要确保如期完工，所以方案二不可选。当$\frac{3}{4}a^2-\frac{3}{2}a＞\frac{1}{2}a-3+\frac{1}{2}a^2$时，$a＞6$或$a＜2$。因为$a-b=2$，且$a$为偶数，$a＞0,b＞0$，所以$a＞6$且$a$为偶数时，选择方案三更节省工程款。当$\frac{3}{4}a^2-\frac{3}{2}a=\frac{1}{2}a-3+\frac{1}{2}a^2$时，$a=6$或$a=2$。因为$a-b=2$，且$a$为偶数，$a＞0,b＞0$，所以$a=6$时选择方案一和方案三工程款一样。当$\frac{3}{4}a^2-\frac{3}{2}a＜\frac{1}{2}a-3+\frac{1}{2}a^2$时，$2＜a＜6$。因为$a-b=2$，且$a$为偶数，$a＞0,b＞0$，所以$a=4$时，选择方案一更节省工程款。综上所述，当$a=4$时，选择方案一更节省工程款；当$a=6$时，选择方案一和方案三的工程款一样；当$a＞6$且$a$为偶数时，选择方案三更节省工程款。
解析
【分析】
这是一道工程类分式方程应用题，核心是将总工作量设为单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系建立等量方程。解题时，先根据题目条件设定未知数，结合“合作部分工作量+单独部分工作量=总工作量”列分式方程，求解后需检验解的合理性；第(2)问需结合a、b的关系用含a的代数式表示工期，再计算三种方案的工程款，根据“如期完工”的条件排除不可行方案，最后通过分类讨论比较剩余方案的工程款，选出最优方案。
【解析】
(1) 设工程预定工期为$x$天，则甲队单独完成需$x$天，乙队单独完成需$(x+6)$天。
根据题意，甲、乙合作4天的工作量加上乙单独做$(x-4)$天的工作量等于总工作量1，列方程：
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}) × 4 + \frac{1}{x+6} × (x-4) = 1$
解方程：
左边展开得$\frac{4}{x} + \frac{x}{x+6}$，通分后整理得$\frac{x^2 +4x +24}{x(x+6)} =1$，进一步化简得$x^2 +4x +24 =x^2 +6x$，解得$x=12$。
经检验，$x=12$是原分式方程的解，且符合题意。
答：工程预定工期为12天。
(2)① 由$a-b=2$得$b=a-2$，设甲队单独完成需$y$天，则乙队单独完成需$(y+a)$天。
根据题意，甲、乙合作$b$天的工作量加上乙单独做$(y - b)$天的工作量等于总工作量1，列方程：
$\frac{a-2}{y} + \frac{y}{y+a} =1$
两边乘$y(y+a)$消分母，展开整理得$-2y +a^2 -2a=0$，解得$y=\frac{a^2 -2a}{2}$。
经检验，$y=\frac{a^2 -2a}{2}$是原分式方程的解，且符合题意。
则乙队单独完成的工期为$y+a=\frac{a^2}{2}$天。
答：甲队单独完成工期为$\frac{a^2 -2a}{2}$天，乙队单独完成工期为$\frac{a^2}{2}$天。
② 计算三种方案的工程款，需满足“如期完工”（工期不超过预定工期$\frac{a^2 -2a}{2}$天）：
方案一：甲单独完成，工程款为$1.5 × \frac{a^2 -2a}{2} = \frac{3}{4}a^2 - \frac{3}{2}a$；
方案二：乙单独完成，工期为$\frac{a^2}{2}$，比预定工期多$a$天，无法如期完工，排除；
方案三：合作$b$天加乙单独做，工程款为$1.5(a-2) + \frac{a^2 -2a}{2} = \frac{a^2 +a -6}{2}$。
比较方案一与方案三的工程款：
令$\frac{3}{4}a^2 - \frac{3}{2}a ＞ \frac{a^2 +a -6}{2}$，解得$a＜2$或$a＞6$；
令$\frac{3}{4}a^2 - \frac{3}{2}a = \frac{a^2 +a -6}{2}$，解得$a=2$或$a=6$；
令$\frac{3}{4}a^2 - \frac{3}{2}a ＜ \frac{a^2 +a -6}{2}$，解得$2＜a＜6$。
结合条件：$b=a-2＞0$（合作天数为正），故$a＞2$，且$a$为偶数，因此：
当$a=4$时，选方案一；
当$a=6$时，方案一与方案三工程款相同；
当$a＞6$且为偶数时，选方案三。
【答案】
(1) 12天；
(2)① 甲队单独完成工期为$\frac{a^2 -2a}{2}$天，乙队单独完成工期为$\frac{a^2}{2}$天；
② 当$a=4$时，选择方案一；当$a=6$时，方案一和方案三工程款相同；当$a＞6$且为偶数时，选择方案三。
【知识点】
分式方程的应用、工程问题、方案选择
【点评】
本题综合考查工程问题的分式方程应用、解的合理性检验及方案优化的分类讨论，需掌握总工作量设为单位“1”的常规处理，分类讨论时要结合题目给定的a的取值条件（偶数、a＞0等），避免遗漏情况。
【难度系数】
0.5
这是一道工程类分式方程应用题，核心是将总工作量设为单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系建立等量方程。解题时，先根据题目条件设定未知数，结合“合作部分工作量+单独部分工作量=总工作量”列分式方程，求解后需检验解的合理性；第(2)问需结合a、b的关系用含a的代数式表示工期，再计算三种方案的工程款，根据“如期完工”的条件排除不可行方案，最后通过分类讨论比较剩余方案的工程款，选出最优方案。
【解析】
(1) 设工程预定工期为$x$天，则甲队单独完成需$x$天，乙队单独完成需$(x+6)$天。
根据题意，甲、乙合作4天的工作量加上乙单独做$(x-4)$天的工作量等于总工作量1，列方程：
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6}) × 4 + \frac{1}{x+6} × (x-4) = 1$
解方程：
左边展开得$\frac{4}{x} + \frac{x}{x+6}$，通分后整理得$\frac{x^2 +4x +24}{x(x+6)} =1$，进一步化简得$x^2 +4x +24 =x^2 +6x$，解得$x=12$。
经检验，$x=12$是原分式方程的解，且符合题意。
答：工程预定工期为12天。
(2)① 由$a-b=2$得$b=a-2$，设甲队单独完成需$y$天，则乙队单独完成需$(y+a)$天。
根据题意，甲、乙合作$b$天的工作量加上乙单独做$(y - b)$天的工作量等于总工作量1，列方程：
$\frac{a-2}{y} + \frac{y}{y+a} =1$
两边乘$y(y+a)$消分母，展开整理得$-2y +a^2 -2a=0$，解得$y=\frac{a^2 -2a}{2}$。
经检验，$y=\frac{a^2 -2a}{2}$是原分式方程的解，且符合题意。
则乙队单独完成的工期为$y+a=\frac{a^2}{2}$天。
答：甲队单独完成工期为$\frac{a^2 -2a}{2}$天，乙队单独完成工期为$\frac{a^2}{2}$天。
② 计算三种方案的工程款，需满足“如期完工”（工期不超过预定工期$\frac{a^2 -2a}{2}$天）：
方案一：甲单独完成，工程款为$1.5 × \frac{a^2 -2a}{2} = \frac{3}{4}a^2 - \frac{3}{2}a$；
方案二：乙单独完成，工期为$\frac{a^2}{2}$，比预定工期多$a$天，无法如期完工，排除；
方案三：合作$b$天加乙单独做，工程款为$1.5(a-2) + \frac{a^2 -2a}{2} = \frac{a^2 +a -6}{2}$。
比较方案一与方案三的工程款：
令$\frac{3}{4}a^2 - \frac{3}{2}a ＞ \frac{a^2 +a -6}{2}$，解得$a＜2$或$a＞6$；
令$\frac{3}{4}a^2 - \frac{3}{2}a = \frac{a^2 +a -6}{2}$，解得$a=2$或$a=6$；
令$\frac{3}{4}a^2 - \frac{3}{2}a ＜ \frac{a^2 +a -6}{2}$，解得$2＜a＜6$。
结合条件：$b=a-2＞0$（合作天数为正），故$a＞2$，且$a$为偶数，因此：
当$a=4$时，选方案一；
当$a=6$时，方案一与方案三工程款相同；
当$a＞6$且为偶数时，选方案三。
【答案】
(1) 12天；
(2)① 甲队单独完成工期为$\frac{a^2 -2a}{2}$天，乙队单独完成工期为$\frac{a^2}{2}$天；
② 当$a=4$时，选择方案一；当$a=6$时，方案一和方案三工程款相同；当$a＞6$且为偶数时，选择方案三。
【知识点】
分式方程的应用、工程问题、方案选择
【点评】
本题综合考查工程问题的分式方程应用、解的合理性检验及方案优化的分类讨论，需掌握总工作量设为单位“1”的常规处理，分类讨论时要结合题目给定的a的取值条件（偶数、a＞0等），避免遗漏情况。
【难度系数】
0.5
12.(绍兴市)甲车行驶30 km与乙车行驶40 km所用的时间相同,已知乙车每小时比甲车多行驶15 km,设甲车的速度为$x$(km/h),依据题意列出的方程应是 (
A.$\dfrac{30}{x}=\dfrac{40}{x-15}$
B.$\dfrac{30}{x-15}=\dfrac{40}{x}$
C.$\dfrac{30}{x}=\dfrac{40}{x+15}$
D.$\dfrac{30}{x+15}=\dfrac{40}{x}$
C
)A.$\dfrac{30}{x}=\dfrac{40}{x-15}$
B.$\dfrac{30}{x-15}=\dfrac{40}{x}$
C.$\dfrac{30}{x}=\dfrac{40}{x+15}$
D.$\dfrac{30}{x+15}=\dfrac{40}{x}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需利用行程问题中“时间=路程÷速度”的关系，结合题目给出的速度差和时间相等的条件列方程。步骤如下：1. 设甲车速度为$x$ km/h，根据乙车比甲车快15 km/h，得出乙车速度；2. 分别计算两车行驶对应路程的时间；3. 利用“两车时间相同”的等量关系列出方程，匹配选项即可。
【解析】
设甲车的速度为$x$ km/h，因为乙车每小时比甲车多行驶15 km，所以乙车速度为$(x+15)$ km/h。
根据“时间=路程÷速度”：
甲车行驶30 km的时间为$\frac{30}{x}$ h；
乙车行驶40 km的时间为$\frac{40}{x+15}$ h。
由题意，两车行驶时间相同，因此列方程$\frac{30}{x}=\frac{40}{x+15}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、行程问题
【点评】
本题是行程问题中分式方程的基础应用，核心是抓住“时间相等”的等量关系，正确表示两车速度与对应时间，属于学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需利用行程问题中“时间=路程÷速度”的关系，结合题目给出的速度差和时间相等的条件列方程。步骤如下：1. 设甲车速度为$x$ km/h，根据乙车比甲车快15 km/h，得出乙车速度；2. 分别计算两车行驶对应路程的时间；3. 利用“两车时间相同”的等量关系列出方程，匹配选项即可。
【解析】
设甲车的速度为$x$ km/h，因为乙车每小时比甲车多行驶15 km，所以乙车速度为$(x+15)$ km/h。
根据“时间=路程÷速度”：
甲车行驶30 km的时间为$\frac{30}{x}$ h；
乙车行驶40 km的时间为$\frac{40}{x+15}$ h。
由题意，两车行驶时间相同，因此列方程$\frac{30}{x}=\frac{40}{x+15}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、行程问题
【点评】
本题是行程问题中分式方程的基础应用，核心是抓住“时间相等”的等量关系，正确表示两车速度与对应时间，属于学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
13.(德清县)解分式方程:$\dfrac{2}{x - 1}=\dfrac{x}{1 - x}-1$。
答案
去分母得，$2=-x-x+1$，解得$x=-\frac{1}{2}$。经检验$x=-\frac{1}{2}$是分式方程的解。所以分式方程的解是$x=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】解分式方程的核心是将其转化为整式方程，需先处理分母的符号（本题中$1-x$与$x-1$互为相反数），找到最简公分母后去分母，同时要注意去分母时每一项都要乘公分母，最后必须检验解是否使原分母不为0，避免增根。
【解析】解：原方程变形为：$\dfrac{2}{x - 1}=-\dfrac{x}{x - 1}-1$，
两边同乘最简公分母$(x - 1)$去分母得：$2=-x - (x - 1)$，
整理得：$2=-x -x +1$，
移项合并同类项得：$2x=-1$，
解得：$x=-\dfrac{1}{2}$，
检验：当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$x -1=-\dfrac{3}{2}≠0$，
所以$x=-\dfrac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】$x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】分式方程的解法
【点评】本题考查分式方程的解法，关键在于去分母时正确处理分母的符号，且必须对求得的解进行检验，这是避免增根的重要步骤，也是易错点。
【难度系数】0.6
【解析】解：原方程变形为：$\dfrac{2}{x - 1}=-\dfrac{x}{x - 1}-1$，
两边同乘最简公分母$(x - 1)$去分母得：$2=-x - (x - 1)$，
整理得：$2=-x -x +1$，
移项合并同类项得：$2x=-1$，
解得：$x=-\dfrac{1}{2}$，
检验：当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$x -1=-\dfrac{3}{2}≠0$，
所以$x=-\dfrac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】$x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】分式方程的解法
【点评】本题考查分式方程的解法，关键在于去分母时正确处理分母的符号，且必须对求得的解进行检验，这是避免增根的重要步骤，也是易错点。
【难度系数】0.6
14.(余姚市)玲玲家准备装修一套新住房,若甲、乙两家装修公司合作,则需6周完成,共需装修费5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,则还需9周才能完成,共需装修费4.8万元。玲玲的爸爸、妈妈商量后决定只选一家公司单独完成。
(1)如果从节约时间的角度考虑,应选哪家公司?
(2)如果从节约开支的角度考虑,应选哪家公司呢?请说明理由。
(1)如果从节约时间的角度考虑,应选哪家公司?
(2)如果从节约开支的角度考虑,应选哪家公司呢?请说明理由。
答案
(1)设工作总量为1，设甲公司单独做需$x$周，乙公司单独做需$y$周，可列出方程组$\begin{cases}\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}=1,\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{y}=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=10,\\y=15。\end{cases}$经检验，它们是原分式方程的根。因为$10＜15$，可见甲公司用时少，所以从时间上考虑应选择甲公司。
(2)设甲公司每周费用为$a$万元，乙公司每周费用为$b$万元，可列出方程组$\begin{cases}6a+6b=5.2,\\4a+9b=4.8。\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{3}{5},\\b=\dfrac{4}{15}。\end{cases}$所以可以得到用甲公司共需$\frac{3}{5}×10=6$(万元)，乙公司共需$\frac{4}{15}×15=4$(万元)。因为4万元＜6万元。所以从节约开支上考虑应选择乙公司。
(2)设甲公司每周费用为$a$万元，乙公司每周费用为$b$万元，可列出方程组$\begin{cases}6a+6b=5.2,\\4a+9b=4.8。\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{3}{5},\\b=\dfrac{4}{15}。\end{cases}$所以可以得到用甲公司共需$\frac{3}{5}×10=6$(万元)，乙公司共需$\frac{4}{15}×15=4$(万元)。因为4万元＜6万元。所以从节约开支上考虑应选择乙公司。
解析
【分析】要解决该问题，需分两步分析：第一步从节约时间角度，需先求出甲、乙公司单独完成装修的时间，将总工作量设为1，利用“合作6周完成”和“甲单独做4周后乙做9周完成”的条件，设甲单独完成需$x$周、乙单独完成需$y$周，根据工作效率关系列分式方程组，解出$x$、$y$后比较时间；第二步从节约开支角度，需先求出甲、乙公司每周的装修费用，设甲每周费用$a$万元、乙每周费用$b$万元，利用“合作6周总费用5.2万元”和“甲做4周+乙做9周总费用4.8万元”的条件列二元一次方程组，解出$a$、$b$后，分别乘以各自单独完成的时间得到总费用，比较后选择开支少的公司。
【解析】(1)设甲公司单独完成需$x$周，乙公司单独完成需$y$周，总工作量为1。根据题意列方程组：
$\begin{cases}\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}=1\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{y}=1\end{cases}$
令$\frac{1}{x}=m$，$\frac{1}{y}=n$，方程组转化为$\begin{cases}6m+6n=1\\4m+9n=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{10}\\n=\frac{1}{15}\end{cases}$，因此$\frac{1}{x}=\frac{1}{10}$，$\frac{1}{y}=\frac{1}{15}$，即$x=10$，$y=15$。经检验，$x=10$，$y=15$是原分式方程组的根。因为$10＜15$，所以从节约时间角度应选甲公司。
(2)设甲公司每周费用为$a$万元，乙公司每周费用为$b$万元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}6a+6b=5.2\\4a+9b=4.8\end{cases}$
化简第一个方程得$a+b=\frac{13}{15}$，即$a=\frac{13}{15}-b$，代入第二个方程得：$4(\frac{13}{15}-b)+9b=4.8$，计算得$\frac{52}{15}+5b=\frac{24}{5}$，解得$b=\frac{4}{15}$，则$a=\frac{3}{5}$。
甲公司单独完成总费用：$\frac{3}{5}×10=6$（万元），乙公司单独完成总费用：$\frac{4}{15}×15=4$（万元）。因为$4＜6$，所以从节约开支角度应选乙公司。
【答案】(1)从节约时间的角度考虑，应选甲公司；(2)从节约开支的角度考虑，应选乙公司。
【知识点】分式方程的应用、二元一次方程组的应用
【点评】本题是结合工程与费用的实际应用题，需分两个维度分析，关键是找准等量关系设未知数列方程，注意分式方程解后要检验，整体难度适中，是初中数学常见的应用题类型。
【难度系数】0.6
【解析】(1)设甲公司单独完成需$x$周，乙公司单独完成需$y$周，总工作量为1。根据题意列方程组：
$\begin{cases}\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}=1\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{y}=1\end{cases}$
令$\frac{1}{x}=m$，$\frac{1}{y}=n$，方程组转化为$\begin{cases}6m+6n=1\\4m+9n=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{10}\\n=\frac{1}{15}\end{cases}$，因此$\frac{1}{x}=\frac{1}{10}$，$\frac{1}{y}=\frac{1}{15}$，即$x=10$，$y=15$。经检验，$x=10$，$y=15$是原分式方程组的根。因为$10＜15$，所以从节约时间角度应选甲公司。
(2)设甲公司每周费用为$a$万元，乙公司每周费用为$b$万元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}6a+6b=5.2\\4a+9b=4.8\end{cases}$
化简第一个方程得$a+b=\frac{13}{15}$，即$a=\frac{13}{15}-b$，代入第二个方程得：$4(\frac{13}{15}-b)+9b=4.8$，计算得$\frac{52}{15}+5b=\frac{24}{5}$，解得$b=\frac{4}{15}$，则$a=\frac{3}{5}$。
甲公司单独完成总费用：$\frac{3}{5}×10=6$（万元），乙公司单独完成总费用：$\frac{4}{15}×15=4$（万元）。因为$4＜6$，所以从节约开支角度应选乙公司。
【答案】(1)从节约时间的角度考虑，应选甲公司；(2)从节约开支的角度考虑，应选乙公司。
【知识点】分式方程的应用、二元一次方程组的应用
【点评】本题是结合工程与费用的实际应用题，需分两个维度分析，关键是找准等量关系设未知数列方程，注意分式方程解后要检验，整体难度适中，是初中数学常见的应用题类型。
【难度系数】0.6
