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14.(10分)(浦江县)给出三个多项式:①$2x^2+4x-4$;②$2x^2+12x+4$;③$2x^2-4x$,请把其中任意两个多项式进行加法运算(写出所有可能的结果),并把每个结果因式分解。
答案
①$+$②:$2x^{2}+4x-4+2x^{2}+12x+4=4x^{2}+16x=4x(x+4)$;
①$+$③:$2x^{2}+4x-4+2x^{2}-4x=4x^{2}-4=4(x+1)(x-1)$;
②$+$③:$2x^{2}+12x+4+2x^{2}-4x=4x^{2}+8x+4=4(x+1)^{2}$。
①$+$③:$2x^{2}+4x-4+2x^{2}-4x=4x^{2}-4=4(x+1)(x-1)$;
②$+$③:$2x^{2}+12x+4+2x^{2}-4x=4x^{2}+8x+4=4(x+1)^{2}$。
解析
【分析】
首先确定三个多项式两两相加的组合共3种：①+②、①+③、②+③，需先对每组多项式进行整式加法运算（合并同类项），再对结果因式分解；因式分解遵循“一提二套”原则，优先提公因式，再根据剩余多项式形式选择平方差公式或完全平方公式分解。
【解析】
1. 计算①+②：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2+12x+4)\\=&2x^2+2x^2 + 4x+12x + (-4+4)\\=&4x^2+16x\\=&4x(x+4)\end{aligned}$
2. 计算①+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+2x^2 + 4x-4x -4\\=&4x^2-4\\=&4(x^2-1)\\=&4(x+1)(x-1)\end{aligned}$
3. 计算②+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+12x+4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+2x^2 +12x-4x +4\\=&4x^2+8x+4\\=&4(x^2+2x+1)\\=&4(x+1)^2\end{aligned}$
【答案】
①+②：$4x(x+4)$；①+③：$4(x+1)(x-1)$；②+③：$4(x+1)^2$
【知识点】
整式的加法、因式分解
【点评】
本题考查整式加法运算与因式分解，核心是准确合并同类项，因式分解需按“先提公因式，再套公式”的步骤进行，属于基础题型，需熟练掌握相关运算规则。
【难度系数】
0.6
首先确定三个多项式两两相加的组合共3种：①+②、①+③、②+③，需先对每组多项式进行整式加法运算（合并同类项），再对结果因式分解；因式分解遵循“一提二套”原则，优先提公因式，再根据剩余多项式形式选择平方差公式或完全平方公式分解。
【解析】
1. 计算①+②：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2+12x+4)\\=&2x^2+2x^2 + 4x+12x + (-4+4)\\=&4x^2+16x\\=&4x(x+4)\end{aligned}$
2. 计算①+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+4x-4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+2x^2 + 4x-4x -4\\=&4x^2-4\\=&4(x^2-1)\\=&4(x+1)(x-1)\end{aligned}$
3. 计算②+③：
$\begin{aligned}&(2x^2+12x+4)+(2x^2-4x)\\=&2x^2+2x^2 +12x-4x +4\\=&4x^2+8x+4\\=&4(x^2+2x+1)\\=&4(x+1)^2\end{aligned}$
【答案】
①+②：$4x(x+4)$；①+③：$4(x+1)(x-1)$；②+③：$4(x+1)^2$
【知识点】
整式的加法、因式分解
【点评】
本题考查整式加法运算与因式分解，核心是准确合并同类项，因式分解需按“先提公因式，再套公式”的步骤进行，属于基础题型，需熟练掌握相关运算规则。
【难度系数】
0.6
15.(13分)(杭州市西湖区)仔细阅读下面例题,并解答下列问题:
例题:已知二次三项式$x^2-4x+m$分解因式后有一个因式为$(x+3)$,求另一个因式以及$m$的值。
解:方法一:设另一个因式为$(x+n)$,得$x^2-4x+m=(x+3)(x+n)$,则$x^2-4x+m=x^2+(n+3)x+3n$,$\therefore \begin{cases} n+3=-4, \\ m=3n, \end{cases}$解得$\begin{cases} n=-7, \\ m=-21。 \end{cases}$$\therefore$另一个因式为$(x-7)$,$m$的值为$-21$。
方法二:设$x^2-4x+m=k(x+3)(k≠0)$,当$x=-3$时,左边$=(-3)^2-4×(-3)+m$,右边$=0$,$\therefore (-3)^2-4×(-3)+m=0$,解得$m=-21$。$\therefore x^2-4x+m=x^2-4x-21=(x-7)(x+3)$。$\therefore$另一个因式为$(x-7)$,$m$的值为$-21$。
(1)已知二次三项式$8x^2-14x-k$分解因式后有一个因式为$(2x-3)$,求另一个因式以及$k$的值。
(2)已知三次四项式$ax^3-x^2-4x+c$分解因式后有两个因式,分别为$(x-1)$与$(x+2)$,求这个多项式分解因式后的第3个因式以及$a,c$的值。
例题:已知二次三项式$x^2-4x+m$分解因式后有一个因式为$(x+3)$,求另一个因式以及$m$的值。
解:方法一:设另一个因式为$(x+n)$,得$x^2-4x+m=(x+3)(x+n)$,则$x^2-4x+m=x^2+(n+3)x+3n$,$\therefore \begin{cases} n+3=-4, \\ m=3n, \end{cases}$解得$\begin{cases} n=-7, \\ m=-21。 \end{cases}$$\therefore$另一个因式为$(x-7)$,$m$的值为$-21$。
方法二:设$x^2-4x+m=k(x+3)(k≠0)$,当$x=-3$时,左边$=(-3)^2-4×(-3)+m$,右边$=0$,$\therefore (-3)^2-4×(-3)+m=0$,解得$m=-21$。$\therefore x^2-4x+m=x^2-4x-21=(x-7)(x+3)$。$\therefore$另一个因式为$(x-7)$,$m$的值为$-21$。
(1)已知二次三项式$8x^2-14x-k$分解因式后有一个因式为$(2x-3)$,求另一个因式以及$k$的值。
(2)已知三次四项式$ax^3-x^2-4x+c$分解因式后有两个因式,分别为$(x-1)$与$(x+2)$,求这个多项式分解因式后的第3个因式以及$a,c$的值。
答案
(1)方法一:设$8x^{2}-14x-k=(4x+a)(2x-3)$,化简得$8x^{2}-14x-k=8x^{2}+(-12+2a)x-3a$,
所以$\begin{cases} -12+2a=-14, \\ -3a=-k, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-1, \\ k=-3。 \end{cases}$
所以另一个因式为$(4x-1)$,$k=-3$。
方法二:设$8x^{2}-14x-k=b(2x-3)(b≠0)$,当$x=\dfrac{3}{2}$时,左边$=-3-k$,右边$=0$,所以$-3-k=0$,解得$k=-3$。所以$8x^{2}-14x-k=8x^{2}-14x+3=(2x-3)(4x-1)$。所以另一个因式为$(4x-1)$,$k=-3$。
(2)方法一:设$ax^{3}-x^{2}-4x+c=(ax+d)(x-1)(x+2)$,化简得$ax^{3}-x^{2}-4x+c=ax^{3}+(a+d)x^{2}+(-2a+d)x-2d$,
所以$\begin{cases} a+d=-1, \\ -2a+d=-4, \\ -2d=c, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ c=4, \\ d=-2。 \end{cases}$ 所以第3个因式为$(x-2)$,$a=1$,$c=4$。
方法二:设$ax^{3}-x^{2}-4x+c=k(x-1)(x+2)(k≠0)$,当$x=1$时,左边$=a-5+c$,右边$=0$;当$x=-2$时,左边$=-8a+4+c$,右边$=0$;所以$\begin{cases} a+c=5, \\ 8a-c=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ c=4。 \end{cases}$ 所以$x^{3}-x^{2}-4x+4=(x-1)(x+2)(x-2)$。所以第3个因式为$(x-2)$,$a=1$,$c=4$。
所以$\begin{cases} -12+2a=-14, \\ -3a=-k, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-1, \\ k=-3。 \end{cases}$
所以另一个因式为$(4x-1)$,$k=-3$。
方法二:设$8x^{2}-14x-k=b(2x-3)(b≠0)$,当$x=\dfrac{3}{2}$时,左边$=-3-k$,右边$=0$,所以$-3-k=0$,解得$k=-3$。所以$8x^{2}-14x-k=8x^{2}-14x+3=(2x-3)(4x-1)$。所以另一个因式为$(4x-1)$,$k=-3$。
(2)方法一:设$ax^{3}-x^{2}-4x+c=(ax+d)(x-1)(x+2)$,化简得$ax^{3}-x^{2}-4x+c=ax^{3}+(a+d)x^{2}+(-2a+d)x-2d$,
所以$\begin{cases} a+d=-1, \\ -2a+d=-4, \\ -2d=c, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ c=4, \\ d=-2。 \end{cases}$ 所以第3个因式为$(x-2)$,$a=1$,$c=4$。
方法二:设$ax^{3}-x^{2}-4x+c=k(x-1)(x+2)(k≠0)$,当$x=1$时,左边$=a-5+c$,右边$=0$;当$x=-2$时,左边$=-8a+4+c$,右边$=0$;所以$\begin{cases} a+c=5, \\ 8a-c=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ c=4。 \end{cases}$ 所以$x^{3}-x^{2}-4x+4=(x-1)(x+2)(x-2)$。所以第3个因式为$(x-2)$,$a=1$,$c=4$。
解析
【分析】
本题考查因式分解的应用，核心方法为待定系数法与因式定理。对于已知多项式的部分因式，求其余因式及参数的问题，可通过设出未知因式，利用多项式乘法展开后，根据对应项系数相等列方程求解；也可利用因式定理（若$(x-a)$是多项式的因式，则$x=a$时多项式值为0），代入已知因式的根求出参数，再分解多项式得到其余因式。
【解析】
(1) 设二次三项式$8x^2 -14x -k=(4x+a)(2x -3)$，将右边展开：
$(4x+a)(2x -3)=8x^2 -12x +2ax -3a=8x^2 + (2a -12)x -3a$
根据左右两边多项式对应项系数相等，列方程组：
$\begin{cases}2a -12 = -14 \\ -3a = -k \end{cases}$
解第一个方程：$2a=-2$，得$a=-1$；代入第二个方程得$k=-3$。
因此，另一个因式为$(4x -1)$，$k=-3$。
(2) 设三次四项式$ax^3 -x^2 -4x +c=(ax+d)(x-1)(x+2)$，先计算$(x-1)(x+2)=x^2 +x -2$，再展开：
$(ax+d)(x^2 +x -2)=ax^3 + (a+d)x^2 + (-2a +d)x -2d$
根据对应项系数相等，列方程组：
$\begin{cases}a + d = -1 \\ -2a + d = -4 \\ -2d = c \end{cases}$
用前两个方程相减得$3a=3$，解得$a=1$；代入第一个方程得$d=-2$；代入第三个方程得$c=4$。
此时多项式为$x^3 -x^2 -4x +4=(x-1)(x+2)(x-2)$，故第三个因式为$(x -2)$，$a=1$，$c=4$。
【答案】
(1) 另一个因式为$(4x -1)$，$k=-3$；(2) 第三个因式为$(x -2)$，$a=1$，$c=4$
【知识点】
因式分解的应用，待定系数法，因式定理
【点评】
本题通过待定系数法与因式定理考查多项式因式分解的逆向应用，要求学生掌握多项式乘法法则及对应系数相等的原理，解题时需准确建立方程组求解，是中等难度的因式分解拓展题。
【难度系数】
0.5
本题考查因式分解的应用，核心方法为待定系数法与因式定理。对于已知多项式的部分因式，求其余因式及参数的问题，可通过设出未知因式，利用多项式乘法展开后，根据对应项系数相等列方程求解；也可利用因式定理（若$(x-a)$是多项式的因式，则$x=a$时多项式值为0），代入已知因式的根求出参数，再分解多项式得到其余因式。
【解析】
(1) 设二次三项式$8x^2 -14x -k=(4x+a)(2x -3)$，将右边展开：
$(4x+a)(2x -3)=8x^2 -12x +2ax -3a=8x^2 + (2a -12)x -3a$
根据左右两边多项式对应项系数相等，列方程组：
$\begin{cases}2a -12 = -14 \\ -3a = -k \end{cases}$
解第一个方程：$2a=-2$，得$a=-1$；代入第二个方程得$k=-3$。
因此，另一个因式为$(4x -1)$，$k=-3$。
(2) 设三次四项式$ax^3 -x^2 -4x +c=(ax+d)(x-1)(x+2)$，先计算$(x-1)(x+2)=x^2 +x -2$，再展开：
$(ax+d)(x^2 +x -2)=ax^3 + (a+d)x^2 + (-2a +d)x -2d$
根据对应项系数相等，列方程组：
$\begin{cases}a + d = -1 \\ -2a + d = -4 \\ -2d = c \end{cases}$
用前两个方程相减得$3a=3$，解得$a=1$；代入第一个方程得$d=-2$；代入第三个方程得$c=4$。
此时多项式为$x^3 -x^2 -4x +4=(x-1)(x+2)(x-2)$，故第三个因式为$(x -2)$，$a=1$，$c=4$。
【答案】
(1) 另一个因式为$(4x -1)$，$k=-3$；(2) 第三个因式为$(x -2)$，$a=1$，$c=4$
【知识点】
因式分解的应用，待定系数法，因式定理
【点评】
本题通过待定系数法与因式定理考查多项式因式分解的逆向应用，要求学生掌握多项式乘法法则及对应系数相等的原理，解题时需准确建立方程组求解，是中等难度的因式分解拓展题。
【难度系数】
0.5
16.(16分)(金华市婺城区)如图,将一张长方形纸板沿图中虚线裁剪成九块,其中两块是边长为m的大正方形,两块是边长为n的小正方形,五块是长为m、宽为n的小长方形,m＞n。(单位:cm)
(1)观察图形,发现代数式$2m^2+5mn+2n^2$可以分解因式为
(2)若每块小长方形的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$,四块正方形的面积和为$58\ \mathrm{cm}^2$,试求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和。
(3)将图中边长为m和n的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一条直线上,连结BD和BF。若这两个正方形的边长满足$m+n=10$,$mn=20$,请求出阴影部分的面积。
(1)观察图形,发现代数式$2m^2+5mn+2n^2$可以分解因式为
(2m+n)(m+2n)
。(2)若每块小长方形的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$,四块正方形的面积和为$58\ \mathrm{cm}^2$,试求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和。
(3)将图中边长为m和n的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一条直线上,连结BD和BF。若这两个正方形的边长满足$m+n=10$,$mn=20$,请求出阴影部分的面积。
答案
(1)$(2m+n)(m+2n)$
(2)由题意得$mn=10$,$2(m^{2}+n^{2})=58$,所以$m^{2}+n^{2}=29$。
所以$(m+n)^{2}=m^{2}+n^{2}+2mn=29+20=49$。
因为$m+n＞0$,所以$m+n=7$。所以图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为$6(m+n)=6×7=42(\mathrm{cm})$。
(3)由题意得,阴影部分的面积为$m^{2}+n^{2}-\dfrac{1}{2}m^{2}-\dfrac{1}{2}n(m+n)=\dfrac{1}{2}(m^{2}+n^{2}-mn)=\dfrac{1}{2}[(m+n)^{2}-3mn]=\dfrac{1}{2}×[10^{2}-3×20]=20(\mathrm{cm}^{2})$。所以阴影部分的面积为$20\ \mathrm{cm}^{2}$。
(2)由题意得$mn=10$,$2(m^{2}+n^{2})=58$,所以$m^{2}+n^{2}=29$。
所以$(m+n)^{2}=m^{2}+n^{2}+2mn=29+20=49$。
因为$m+n＞0$,所以$m+n=7$。所以图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为$6(m+n)=6×7=42(\mathrm{cm})$。
(3)由题意得,阴影部分的面积为$m^{2}+n^{2}-\dfrac{1}{2}m^{2}-\dfrac{1}{2}n(m+n)=\dfrac{1}{2}(m^{2}+n^{2}-mn)=\dfrac{1}{2}[(m+n)^{2}-3mn]=\dfrac{1}{2}×[10^{2}-3×20]=20(\mathrm{cm}^{2})$。所以阴影部分的面积为$20\ \mathrm{cm}^{2}$。
解析
【分析】
本题是代数与几何结合的综合题，需结合图形特征，运用因式分解、完全平方公式、整体代入思想解决问题。第(1)问通过十字相乘法分解二次三项式；第(2)问利用正方形、长方形面积关系，结合完全平方公式求边长和，再计算裁剪线总长度；第(3)问通过“整体减空白”计算阴影面积，再用完全平方公式整体代入求值。
【解析】
(1) 对代数式$2m^2+5mn+2n^2$因式分解，用十字相乘法：
二次项系数$2=2×1$，常数项$2n^2=n×2n$，交叉相乘得$2×2n +1×n=5n$，因此分解为$(2m+n)(m+2n)$。
(2) 由题意得：
小长方形面积$mn=10$，四块正方形面积和为$2m^2+2n^2=58$，即$m^2+n^2=29$。
根据完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2=29+2×10=49$，
因为$m＞0,n＞0$，所以$m+n=7$。
观察图形，裁剪线（虚线）总长度为$2×(2m+n)+2×(m+2n)=6(m+n)$，代入$m+n=7$，得总长度为$6×7=42(\mathrm{cm})$。
(3) 阴影部分面积为两个正方形面积和减去两个空白三角形面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=m^2+n^2-\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}n(m+n)$
化简得：
$=\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}(m^2+n^2-mn)$
由$m+n=10,mn=20$，得$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=10^2-2×20=60$，
代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}(60-20)=20(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)$(2m+n)(m+2n)$；(2)$42\ \mathrm{cm}$；(3)$20\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
因式分解、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题将代数运算与几何图形结合，既考查了因式分解、完全平方公式的应用，又要求学生具备图形面积的分析能力，需熟练掌握代数变形和几何面积计算的方法，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是代数与几何结合的综合题，需结合图形特征，运用因式分解、完全平方公式、整体代入思想解决问题。第(1)问通过十字相乘法分解二次三项式；第(2)问利用正方形、长方形面积关系，结合完全平方公式求边长和，再计算裁剪线总长度；第(3)问通过“整体减空白”计算阴影面积，再用完全平方公式整体代入求值。
【解析】
(1) 对代数式$2m^2+5mn+2n^2$因式分解，用十字相乘法：
二次项系数$2=2×1$，常数项$2n^2=n×2n$，交叉相乘得$2×2n +1×n=5n$，因此分解为$(2m+n)(m+2n)$。
(2) 由题意得：
小长方形面积$mn=10$，四块正方形面积和为$2m^2+2n^2=58$，即$m^2+n^2=29$。
根据完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2=29+2×10=49$，
因为$m＞0,n＞0$，所以$m+n=7$。
观察图形，裁剪线（虚线）总长度为$2×(2m+n)+2×(m+2n)=6(m+n)$，代入$m+n=7$，得总长度为$6×7=42(\mathrm{cm})$。
(3) 阴影部分面积为两个正方形面积和减去两个空白三角形面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=m^2+n^2-\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}n(m+n)$
化简得：
$=\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}(m^2+n^2-mn)$
由$m+n=10,mn=20$，得$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=10^2-2×20=60$，
代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}(60-20)=20(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)$(2m+n)(m+2n)$；(2)$42\ \mathrm{cm}$；(3)$20\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
因式分解、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题将代数运算与几何图形结合，既考查了因式分解、完全平方公式的应用，又要求学生具备图形面积的分析能力，需熟练掌握代数变形和几何面积计算的方法，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
