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23.(8分)综合实践:为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统,某校开展数学节活动,并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具。
【素材1】1个鲁班锁和2个九连环共52元;3个鲁班锁和4个九连环共120元。
【素材2】选取部分鲁班锁和10件九连环,加印数学节的标志后作为奖品。加印标志的费用均为每件2元。已知两种道具未加印的共12件,购买和加印的总费用为520元。
任务1:求鲁班锁和九连环的单价。
任务2:学校购买的鲁班锁和九连环分别是多少件?
【素材1】1个鲁班锁和2个九连环共52元;3个鲁班锁和4个九连环共120元。
【素材2】选取部分鲁班锁和10件九连环,加印数学节的标志后作为奖品。加印标志的费用均为每件2元。已知两种道具未加印的共12件,购买和加印的总费用为520元。
任务1:求鲁班锁和九连环的单价。
任务2:学校购买的鲁班锁和九连环分别是多少件?
答案
23.任务1:设鲁班锁的单价为$x$元,九连环的单价为$y$元。由题意得$\begin{cases} x+2y=52, \\ 3x+4y=120, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=16, \\ y=18, \end{cases}$所以鲁班锁的单价为16元,九连环的单价为18元。任务2:设购买鲁班锁$a$件,九连环$b$件,选取$m$件鲁班锁加印标志,则未加印标志的鲁班锁为$(a-m)$件。因为加印标志的九连环10件,所以未加印标志的九连环为$(b-10)$件。由题意得$(a-m)+(b-10)=12$,化简得$m=a+b-22$。因为$(m+10)×2+16a+18b=520$,即$(a+b-22+10)×2+16a+18b=520$,所以$b=\dfrac{272-9a}{10}$($a,b$均为正整数,且$b≥10$)。所以当$a=8$时,$b=20$;当$a=18$时,$b=11$;当$a=28$时,$b=2$(不符合题意,舍去)。所以学校购买8件鲁班锁和20件九连环或购买18件鲁班锁和11件九连环。
解析
【分析】
要解决本题，分两个任务逐步分析：
1. 任务1求单价：素材1给出了两种道具的组合费用，属于二元一次方程组的典型应用，设两个未知数对应两种道具的单价，利用“总价=单价×数量”的等量关系列方程组，解方程组即可得到单价。
2. 任务2求购买数量：素材2涉及加印与未加印的数量、总费用两个等量关系，需先明确各量的关联，通过设未知数表示加印、未加印的数量，结合总费用列方程，化简后得到不定方程，再根据“数量为正整数、九连环加印10件故总数≥10”的实际意义，筛选出符合条件的解。
【解析】
任务1：设鲁班锁的单价为$ x $元，九连环的单价为$ y $元。
根据素材1的条件，列二元一次方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 52 \\3x + 4y = 120\end{cases}$
解方程组：
将第一个方程两边乘以2，得$ 2x + 4y = 104 $，用第二个方程减去该式：
$ (3x + 4y) - (2x + 4y) = 120 - 104 $，解得$ x = 16 $。
把$ x = 16 $代入$ x + 2y = 52 $，得$ 16 + 2y = 52 $，解得$ y = 18 $。
因此，鲁班锁的单价为16元，九连环的单价为18元。
任务2：设购买鲁班锁$ a $件，九连环$ b $件，选取$ m $件鲁班锁加印标志。
根据“未加印总件数=12”：未加印的鲁班锁为$ a - m $件，未加印的九连环为$ b - 10 $件，故$ (a - m) + (b - 10) = 12 $，化简得$ m = a + b - 22 $。
根据“总费用=520元”：加印费为每件2元，加印总件数为$ m + 10 $，购买费为$ 16a + 18b $，因此总费用方程为：
$ (m + 10)×2 + 16a + 18b = 520 $
将$ m = a + b - 22 $代入上式：
$ (a + b - 22 + 10)×2 + 16a + 18b = 520 $
化简得：$ 18a + 20b = 544 $，即$ b = \frac{272 - 9a}{10} $。
结合实际意义：$ a、b $为正整数，且九连环加印10件，故$ b ≥ 10 $。
筛选符合条件的正整数解：
当$ a = 8 $时，$ b = \frac{272 - 72}{10} = 20 $，符合；
当$ a = 18 $时，$ b = \frac{272 - 162}{10} = 11 $，符合；
当$ a = 28 $时，$ b = 2 $，不符合$ b ≥ 10 $，舍去。
因此，学校购买8件鲁班锁和20件九连环，或购买18件鲁班锁和11件九连环。
【答案】
任务1：鲁班锁单价16元，九连环单价18元；任务2：购买8件鲁班锁和20件九连环，或购买18件鲁班锁和11件九连环。
【知识点】
二元一次方程组的应用，不定方程的整数解
【点评】
本题结合实际情境考查数学应用能力，任务1为基础的二元一次方程组求解，难度较低；任务2需理清加印与未加印的数量关系，通过化简得到不定方程并筛选整数解，对逻辑分析能力有一定要求，整体难度适中，需注意解的实际意义（正整数、数量限制）。
【难度系数】
0.5
要解决本题，分两个任务逐步分析：
1. 任务1求单价：素材1给出了两种道具的组合费用，属于二元一次方程组的典型应用，设两个未知数对应两种道具的单价，利用“总价=单价×数量”的等量关系列方程组，解方程组即可得到单价。
2. 任务2求购买数量：素材2涉及加印与未加印的数量、总费用两个等量关系，需先明确各量的关联，通过设未知数表示加印、未加印的数量，结合总费用列方程，化简后得到不定方程，再根据“数量为正整数、九连环加印10件故总数≥10”的实际意义，筛选出符合条件的解。
【解析】
任务1：设鲁班锁的单价为$ x $元，九连环的单价为$ y $元。
根据素材1的条件，列二元一次方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 52 \\3x + 4y = 120\end{cases}$
解方程组：
将第一个方程两边乘以2，得$ 2x + 4y = 104 $，用第二个方程减去该式：
$ (3x + 4y) - (2x + 4y) = 120 - 104 $，解得$ x = 16 $。
把$ x = 16 $代入$ x + 2y = 52 $，得$ 16 + 2y = 52 $，解得$ y = 18 $。
因此，鲁班锁的单价为16元，九连环的单价为18元。
任务2：设购买鲁班锁$ a $件，九连环$ b $件，选取$ m $件鲁班锁加印标志。
根据“未加印总件数=12”：未加印的鲁班锁为$ a - m $件，未加印的九连环为$ b - 10 $件，故$ (a - m) + (b - 10) = 12 $，化简得$ m = a + b - 22 $。
根据“总费用=520元”：加印费为每件2元，加印总件数为$ m + 10 $，购买费为$ 16a + 18b $，因此总费用方程为：
$ (m + 10)×2 + 16a + 18b = 520 $
将$ m = a + b - 22 $代入上式：
$ (a + b - 22 + 10)×2 + 16a + 18b = 520 $
化简得：$ 18a + 20b = 544 $，即$ b = \frac{272 - 9a}{10} $。
结合实际意义：$ a、b $为正整数，且九连环加印10件，故$ b ≥ 10 $。
筛选符合条件的正整数解：
当$ a = 8 $时，$ b = \frac{272 - 72}{10} = 20 $，符合；
当$ a = 18 $时，$ b = \frac{272 - 162}{10} = 11 $，符合；
当$ a = 28 $时，$ b = 2 $，不符合$ b ≥ 10 $，舍去。
因此，学校购买8件鲁班锁和20件九连环，或购买18件鲁班锁和11件九连环。
【答案】
任务1：鲁班锁单价16元，九连环单价18元；任务2：购买8件鲁班锁和20件九连环，或购买18件鲁班锁和11件九连环。
【知识点】
二元一次方程组的应用，不定方程的整数解
【点评】
本题结合实际情境考查数学应用能力，任务1为基础的二元一次方程组求解，难度较低；任务2需理清加印与未加印的数量关系，通过化简得到不定方程并筛选整数解，对逻辑分析能力有一定要求，整体难度适中，需注意解的实际意义（正整数、数量限制）。
【难度系数】
0.5
