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21.(7分)如图,一块长方形农场ABCD,AD=a m,AB=2a m,为了扩大农场面积,计划将AD增加2m,AB增加3m。
(1)扩大后农场的面积增加了多少平方米?
(2)现计划用3000元在扩大的阴影区域内种植花卉。经了解,花卉的种植成本为每平方米60元。若a=6,这个种植计划能实现吗?请说明理由。
(1)扩大后农场的面积增加了多少平方米?
(2)现计划用3000元在扩大的阴影区域内种植花卉。经了解,花卉的种植成本为每平方米60元。若a=6,这个种植计划能实现吗?请说明理由。
答案
21.(1)由题意得$2(2a+3)+3a=7a+6(\mathrm{m}^2)$,所以扩大后农场的面积增加了$(7a+6)\mathrm{m}^2$。
(2)这个种植计划能实现。理由如下:当$a=6$时,$60(7a+6)=60×(7×6+6)=2880$,因为$2880＜3000$,所以这个种植计划能实现。
(2)这个种植计划能实现。理由如下:当$a=6$时,$60(7a+6)=60×(7×6+6)=2880$,因为$2880＜3000$,所以这个种植计划能实现。
解析
【分析】
解题思路：先分别计算扩大前后长方形农场的面积，两者的差值即为面积增加量；再将$a=6$代入增加的面积，计算种植总费用并与3000元比较，判断计划是否可行。具体步骤：1. 确定原长方形的长和宽，计算原面积；2. 确定扩大后长方形的长和宽，计算扩大后的面积；3. 两者作差得到增加的面积；4. 代入$a=6$计算总费用并比较。
【解析】
(1) 原长方形农场的长为$2a\ \mathrm{m}$，宽为$a\ \mathrm{m}$，原面积为$2a · a = 2a^2\ \mathrm{m}^2$。
扩大后，长变为$(2a + 3)\ \mathrm{m}$，宽变为$(a + 2)\ \mathrm{m}$，扩大后的面积为$(2a + 3)(a + 2)\ \mathrm{m}^2$。
面积增加量为：
$\begin{aligned}&(2a + 3)(a + 2) - 2a^2\\=&2a^2 + 4a + 3a + 6 - 2a^2\\=&7a + 6\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2) 当$a = 6$时，增加的面积为$7×6 + 6 = 48\ \mathrm{m}^2$。
种植总费用为：$48×60 = 2880$（元）。
因为$2880 ＜ 3000$，所以这个种植计划能实现。
【答案】
(1) 扩大后农场的面积增加了$(7a + 6)\ \mathrm{m}^2$；(2) 这个种植计划能实现。
【知识点】
长方形面积计算、多项式乘多项式、代数式求值
【点评】
本题结合长方形面积考查整式运算，属于基础应用题，关键是正确计算面积差，代入求值时需注意运算准确性，难度较低。
【难度系数】
0.6
解题思路：先分别计算扩大前后长方形农场的面积，两者的差值即为面积增加量；再将$a=6$代入增加的面积，计算种植总费用并与3000元比较，判断计划是否可行。具体步骤：1. 确定原长方形的长和宽，计算原面积；2. 确定扩大后长方形的长和宽，计算扩大后的面积；3. 两者作差得到增加的面积；4. 代入$a=6$计算总费用并比较。
【解析】
(1) 原长方形农场的长为$2a\ \mathrm{m}$，宽为$a\ \mathrm{m}$，原面积为$2a · a = 2a^2\ \mathrm{m}^2$。
扩大后，长变为$(2a + 3)\ \mathrm{m}$，宽变为$(a + 2)\ \mathrm{m}$，扩大后的面积为$(2a + 3)(a + 2)\ \mathrm{m}^2$。
面积增加量为：
$\begin{aligned}&(2a + 3)(a + 2) - 2a^2\\=&2a^2 + 4a + 3a + 6 - 2a^2\\=&7a + 6\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2) 当$a = 6$时，增加的面积为$7×6 + 6 = 48\ \mathrm{m}^2$。
种植总费用为：$48×60 = 2880$（元）。
因为$2880 ＜ 3000$，所以这个种植计划能实现。
【答案】
(1) 扩大后农场的面积增加了$(7a + 6)\ \mathrm{m}^2$；(2) 这个种植计划能实现。
【知识点】
长方形面积计算、多项式乘多项式、代数式求值
【点评】
本题结合长方形面积考查整式运算，属于基础应用题，关键是正确计算面积差，代入求值时需注意运算准确性，难度较低。
【难度系数】
0.6
22.(8分)如图,$∠ABC=90^{\circ }$,在线段AC上取点D,作$DE⊥AB$于点E,$∠1=∠2$。
(1)判断BF与AC是否平行,并说明理由。
(2)若$∠3-∠2=50^{\circ },∠F=2∠2$,求$∠2$的度数。
(1)判断BF与AC是否平行,并说明理由。
(2)若$∠3-∠2=50^{\circ },∠F=2∠2$,求$∠2$的度数。
答案
22.(1)$BF// AC$。理由如下:因为$DE⊥ AB$,所以$∠ DEA=90°$。因为$∠ ABC=90°$,所以$∠ DEA=∠ ABC$。所以$BC// ED$。所以$∠ 2=∠ C$。因为$∠ 1=∠ 2$,所以$∠ 1=∠ C$。所以$BF// AC$。
(2)因为$BF// AC$,所以$∠ F=∠ FDC$。因为$∠ F=2∠ 2$,所以$∠ FDC=2∠ 2$。因为$∠ 3-∠ 2=50°$,所以$∠ 3=∠ 2+50°$。因为$∠ 2+∠ 3+∠ FDC=180°$,所以$∠ 2+(∠ 2+50°)+2∠ 2=180°$。所以$∠ 2=32.5°$。
(2)因为$BF// AC$,所以$∠ F=∠ FDC$。因为$∠ F=2∠ 2$,所以$∠ FDC=2∠ 2$。因为$∠ 3-∠ 2=50°$,所以$∠ 3=∠ 2+50°$。因为$∠ 2+∠ 3+∠ FDC=180°$,所以$∠ 2+(∠ 2+50°)+2∠ 2=180°$。所以$∠ 2=32.5°$。
解析
【分析】
要判断BF与AC是否平行，可通过推导同位角相等证明。已知DE⊥AB和∠ABC=90°，先推出DE与BC平行，得到∠2与∠C相等，结合∠1=∠2，得到∠1与∠C相等，从而证明BF//AC。求∠2的度数时，利用BF//AC得到∠F与∠FDC相等，结合已知角的关系，利用平角为180°列方程求解即可。
【解析】
(1) BF//AC，理由如下：
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEA=90°，
又
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠DEA=∠ABC，
∴ BC//DE（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1=∠C，
∴ BF//AC（同位角相等，两直线平行）。
(2) 由(1)知BF//AC，
∴ ∠F=∠FDC（两直线平行，内错角相等），
已知∠F=2∠2，
∴ ∠FDC=2∠2，
又
∵ ∠3 - ∠2=50°，
∴ ∠3=∠2 +50°，
∵ 点D在AC上，∠2、∠3、∠FDC组成平角，
∴ ∠2 + ∠3 + ∠FDC=180°，
代入得：∠2 + (∠2 +50°) +2∠2=180°，
整理得：4∠2=130°，解得∠2=32.5°。
【答案】
(1) BF//AC；(2) ∠2=32.5°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、平角的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，解题关键是熟练运用相关定理，结合角的和差关系推导计算，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判断BF与AC是否平行，可通过推导同位角相等证明。已知DE⊥AB和∠ABC=90°，先推出DE与BC平行，得到∠2与∠C相等，结合∠1=∠2，得到∠1与∠C相等，从而证明BF//AC。求∠2的度数时，利用BF//AC得到∠F与∠FDC相等，结合已知角的关系，利用平角为180°列方程求解即可。
【解析】
(1) BF//AC，理由如下：
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEA=90°，
又
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠DEA=∠ABC，
∴ BC//DE（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1=∠C，
∴ BF//AC（同位角相等，两直线平行）。
(2) 由(1)知BF//AC，
∴ ∠F=∠FDC（两直线平行，内错角相等），
已知∠F=2∠2，
∴ ∠FDC=2∠2，
又
∵ ∠3 - ∠2=50°，
∴ ∠3=∠2 +50°，
∵ 点D在AC上，∠2、∠3、∠FDC组成平角，
∴ ∠2 + ∠3 + ∠FDC=180°，
代入得：∠2 + (∠2 +50°) +2∠2=180°，
整理得：4∠2=130°，解得∠2=32.5°。
【答案】
(1) BF//AC；(2) ∠2=32.5°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、平角的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，解题关键是熟练运用相关定理，结合角的和差关系推导计算，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
