23. (10 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 CEFG 的边长分别为 a 和 b,其中 a 大于 2b.
(1) 若 $ a = 6, b = 2 $,求阴影部分的面积;
(2) 请用含 a,b 的代数式表示阴影部分的面积.
(3) 若图中空白部分的面积比阴影部分的面积大 2.5,且 a,b 为整数,求 a 的值.

(1) $\because$正方形$ABCD$和正方形$CEFG$的边长分别为$a$和$b$,$a=6,b=2$,
$\therefore S_{阴影}=S_{长方形ABGH}-S_{△ ABD}-S_{△ DHF}-S_{△ BCF}$
$=6×(6+2)-\dfrac{1}{2}×6×6-\dfrac{1}{2}×2×(6-2)-\dfrac{1}{2}×6×2$
$=48-18-4-6$
$=20.$
(2) 根据题意,得:$S_{阴影}=S_{长方形ABGH}-S_{△ ABD}-S_{△ DHF}-S_{△ BCF}=a(a+b)-\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}b(a-b)-\dfrac{1}{2}ab$
$=a^2+ab-\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}b^2-\dfrac{1}{2}ab$
$=\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2.$
(3) 根据题意,得:$S_{空白}=\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}ab$,
$\because$图中空白部分的面积比阴影部分的面积大2.5,
$\therefore S_{空白}-S_{阴影}=\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}ab-(\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2)=\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{1}{2}b^2=\dfrac{1}{2}b(a-b)=2.5,\therefore b(a-b)=5.$
$\because a,b$为整数,
$\therefore\begin{cases} a=6 \\ b=1 \end{cases}$或$\begin{cases} a=6, \\ b=5. \end{cases}$
$\because a$大于$2b$,$\therefore a=6.$

【分析】
本题是组合图形的面积计算问题，采用补形法简化运算：将两个正方形组成的图形补成长方形，用长方形面积减去三个空白三角形的面积得到阴影面积。第(1)问代入具体数值计算，第(2)问用字母表示并化简，第(3)问结合面积差、整数条件和不等式确定a的值。
【解析】
(1) 已知正方形ABCD边长为a=6，正方形CEFG边长为b=2，补成长方形ABGH，其长为a+b=8，宽为a=6，面积为$6×8=48$；三个空白三角形面积分别为：$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×6×6=18$，$S_{△DHF}=\frac{1}{2}×2×(6-2)=4$，$S_{△BCF}=\frac{1}{2}×6×2=6$，因此阴影面积$S_{阴影}=48-18-4-6=20$。
(2) 用a、b表示时，长方形ABGH面积为$a(a+b)$，三个空白三角形面积和为$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b(a-b)+\frac{1}{2}ab$，化简得：
$S_{阴影}=a(a+b)-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b(a-b)-\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$。
(3) 空白面积为总面积（$a^2+b^2$）减去阴影面积，即$S_{空白}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab$。根据题意$S_{空白}-S_{阴影}=2.5$，代入得：
$\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^2=2.5$，即$b(a-b)=5$。因a、b为整数，5的正整数因数为1和5，故$\begin{cases}b=1\\a-b=5\end{cases}$或$\begin{cases}b=5\\a-b=1\end{cases}$。结合$a＞2b$，当$b=5$时$a=6＜10$不符合，舍去，得$a=6$。
【答案】

(1) $\because$正方形$ABCD$和正方形$CEFG$的边长分别为$a$和$b$,$a=6,b=2$,
$\therefore S_{阴影}=S_{长方形ABGH}-S_{△ ABD}-S_{△ DHF}-S_{△ BCF}$
$=6×(6+2)-\dfrac{1}{2}×6×6-\dfrac{1}{2}×2×(6-2)-\dfrac{1}{2}×6×2$
$=48-18-4-6$
$=20.$
(2) 根据题意,得:$S_{阴影}=S_{长方形ABGH}-S_{△ ABD}-S_{△ DHF}-S_{△ BCF}=a(a+b)-\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}b(a-b)-\dfrac{1}{2}ab$
$=a^2+ab-\dfrac{1}{2}a^2-\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}b^2-\dfrac{1}{2}ab$
$=\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2.$
(3) 根据题意,得:$S_{空白}=\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}ab$,
$\because$图中空白部分的面积比阴影部分的面积大2.5,
$\therefore S_{空白}-S_{阴影}=\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}ab-(\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{1}{2}b^2)=\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{1}{2}b^2=\dfrac{1}{2}b(a-b)=2.5,\therefore b(a-b)=5.$
$\because a,b$为整数,
$\therefore\begin{cases} a=6 \\ b=1 \end{cases}$或$\begin{cases} a=6, \\ b=5. \end{cases}$
$\because a$大于$2b$,$\therefore a=6.$
【知识点】
正方形面积、三角形面积、整式运算
【点评】
本题通过补形法简化组合图形面积计算，第三问需结合代数运算和整数条件筛选解，考查几何与代数的结合应用，需注意不等式条件的限制。
【难度系数】
0.5