24. (12 分)如图 1,一副三角板的直角顶点重合,边 AB,DE 在直线 $ l $ 上,其中$ ∠ ACB=∠ DCE=90°,∠ A=30°,∠ CDE=45° $.

(1) 请直接写出:$ ∠ ACD=\_\_\_\_\_\_° $;
(2) 如图 2,将三角板 DCE 沿着直线 $ l $ 向右平移得到三角板 FGH,直线 FG 与直线 CB 相交于点 P.
①若点 F 在线段 AB 上(不包括端点 B),求$ ∠ ACF $与$ ∠ CFP $的数量关系;
②若$ ∠ CFP=4∠ FCP $,求$ ∠ CFP $的度数.

(1) 15
(2) ①当点$F$在线段$AB$上(不包括端点$B$)时,
$\because∠ CFB=∠ A+∠ ACF,∠ CFB=∠ CFP+∠ GFH$,
$\therefore∠ A+∠ ACF=∠ CFP+∠ GFH.$
$\because∠ A=30°,∠ GFH=∠ CDE=45°$,
$\therefore30°+∠ ACF=∠ CFP+45°$,
$\therefore∠ ACF-∠ CFP=15°.$
②i)
$\because∠ CFP=4∠ FCP$,
$\therefore$设$∠ FCP=x$,则$∠ CFP=4x.$
由平移性质可得$CD// GF$,
$\therefore∠ DCF=∠ CFP=4x.$
$\because∠ ACB=90°,∠ ACD=15°$,
$\therefore∠ DCB=75°$,
$\therefore∠ DCF+∠ FCP=75°$,
$\therefore4x+x=75°$,解得$x=15°$,
$\therefore∠ CFP=60°.$
ii)
由上得$CD// GF,∠ DCB=75°$,
$\therefore∠ CPF=∠ DCB=75°$,
$\therefore∠ CPF+∠ FCP+∠ CFP=180°$,
$\therefore∠ FCP+∠ CFP=105°.$
$\because∠ CFP=4∠ FCP$,
$\therefore∠ CFP=84°.$
综上可知$∠ CFP$的度数为$60°$或$84°.$

【分析】
本题为三角板平移相关的几何角度问题，需结合三角板的固定角度、平移的平行线性质、三角形外角定理及内角和定理解题。第(1)问利用平角与三角板直角推导∠ACD；第(2)问①通过三角形外角建立∠ACF与∠CFP的关系；第(2)问②需分点F在线段AB上、AB延长线上两种情况，设未知数列方程求解。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，故∠ABC=60°；在△DCE中，∠DCE=90°，∠CDE=45°，故∠CED=45°。
直线l上∠ABC + ∠CBE=180°，则∠CBE=120°，在△BCE中，∠BCE=180°-120°-45°=15°。
又∠ACD + ∠DCB=90°，∠DCB + ∠BCE=90°，故∠ACD=∠BCE=15°。
(2) ① 由平移性质得CD//FG，故∠GFH=∠CDE=45°。
根据三角形外角定理：∠CFB是△AFC的外角，故∠CFB=∠A + ∠ACF；同时∠CFB是△CFP的外角，故∠CFB=∠CFP + ∠GFH。
代入∠A=30°，得30°+∠ACF=∠CFP+45°，整理得∠ACF - ∠CFP=15°。
② 分两种情况：
i) 当F在线段AB上时，设∠FCP=x，则∠CFP=4x。
由CD//FG得∠DCF=∠CFP=4x，又∠DCB=∠ACB - ∠ACD=90°-15°=75°，故4x+x=75°，解得x=15°，∠CFP=4×15°=60°。
ii) 当F在AB延长线上时，由CD//FG得∠CPF=∠DCB=75°，在△CPF中，∠FCP+∠CFP=180°-75°=105°，设∠FCP=x，则x+4x=105°，解得x=21°，∠CFP=4×21°=84°。
综上，∠CFP的度数为60°或84°。
【答案】
(1) 15；
(2) ①∠ACF - ∠CFP=15°；
②60°或84°
【知识点】
三角板角度计算、平行线性质、三角形外角定理
【点评】
本题结合三角板平移考查几何角度关系，需运用分类讨论思想分析点的位置，利用平行线性质和三角形定理建立等量关系，是典型的几何综合题，需注意逻辑推导的严谨性。
【难度系数】
0.5