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12. 如图,将6个形状、大小完全相同的小长方形,放入长为$ m $,宽为$ n $的长方形中,当两块阴影部分$ A,B $的面积相等时,小长方形其较短一边长的值为 $\quad(\quad)$
A.$\dfrac{m}{6}$
B.$\dfrac{m}{4}$
C.$\dfrac{n}{6}$
D.$\dfrac{n}{4}$
A.$\dfrac{m}{6}$
B.$\dfrac{m}{4}$
C.$\dfrac{n}{6}$
D.$\dfrac{n}{4}$
答案
12.A
解析
【分析】
要解决本题，需先设小长方形的长和宽，结合图形的边长关系与阴影面积相等的条件建立方程。明确小长方形的长大于宽，设长为$a$，宽为$b$（$b$为较短边）；水平方向大长方形的长由小长方形的长和3个小长方形的宽组成，阴影A的面积为长×宽，阴影B的面积为3个小长方形的宽×小长方形的宽，利用面积相等的条件推导关系，最终求出较短边。
【解析】
设小长方形的长为$a$，宽为$b$（$b$为较短边）。
1. 由图形的水平边长关系可知：大长方形的长$m = a + 3b$；
2. 阴影A的面积为$S_A = a · b$，阴影B的面积为$S_B = 3b · b$（B的长为3个小长方形的宽，高为小长方形的宽）；
3. 根据题意，$S_A = S_B$，即：
$ab = 3b^2$
因为$b ≠ 0$，两边同时除以$b$得：$a = 3b$；
4. 将$a = 3b$代入$m = a + 3b$，得：
$m = 3b + 3b = 6b$
解得：$b = \frac{m}{6}$，即小长方形较短一边长为$\frac{m}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合图形的边长关系与面积相等的条件，通过设未知数建立方程求解，关键是正确分析阴影部分的面积表达式，理清小长方形长和宽与大长方形边长的对应关系。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先设小长方形的长和宽，结合图形的边长关系与阴影面积相等的条件建立方程。明确小长方形的长大于宽，设长为$a$，宽为$b$（$b$为较短边）；水平方向大长方形的长由小长方形的长和3个小长方形的宽组成，阴影A的面积为长×宽，阴影B的面积为3个小长方形的宽×小长方形的宽，利用面积相等的条件推导关系，最终求出较短边。
【解析】
设小长方形的长为$a$，宽为$b$（$b$为较短边）。
1. 由图形的水平边长关系可知：大长方形的长$m = a + 3b$；
2. 阴影A的面积为$S_A = a · b$，阴影B的面积为$S_B = 3b · b$（B的长为3个小长方形的宽，高为小长方形的宽）；
3. 根据题意，$S_A = S_B$，即：
$ab = 3b^2$
因为$b ≠ 0$，两边同时除以$b$得：$a = 3b$；
4. 将$a = 3b$代入$m = a + 3b$，得：
$m = 3b + 3b = 6b$
解得：$b = \frac{m}{6}$，即小长方形较短一边长为$\frac{m}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
长方形面积计算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合图形的边长关系与面积相等的条件，通过设未知数建立方程求解，关键是正确分析阴影部分的面积表达式，理清小长方形长和宽与大长方形边长的对应关系。
【难度系数】
0.5
13. (2024·杭州市上城区期末)如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE，AF为边在正方形内部作面积为10的长方形AFGE，再分别以AE，EG为边作正方形AEPH和正方形GROE。若图中阴影部分的面积为61，则长方形AFGE的周长为（
A.9
B.16
C.18
D.81
C
）A.9
B.16
C.18
D.81
答案
13.C
解析
【分析】首先设长方形AFGE的长为AE=a，宽为AF=b，根据题意可知长方形面积ab=10，阴影部分为两个边长分别等于AE、AF的正方形，其面积和为61，即a² + b²=61。要求长方形的周长，需先求出a+b的值，利用完全平方公式将周长与已知面积关联，即可计算结果。
【解析】设AE=a，AF=b，由题意得：
1. 长方形AFGE的面积：ab=10；
2. 阴影部分是边长为a的正方形和边长为b的正方形，面积和为61，即a² + b²=61；
根据完全平方公式：(a+b)²=a² + 2ab + b²，代入ab=10、a² + b²=61，得：
(a+b)²=61 + 2×10=81；
因为a、b为正数，所以a+b=9；
因此长方形AFGE的周长为2(a+b)=2×9=18。
【答案】18
【知识点】完全平方公式、长方形面积、正方形面积
【点评】本题通过设未知数，利用完全平方公式将所求周长与已知面积结合，关键是明确阴影部分的面积构成，属于代数与几何结合的常规题型，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】设AE=a，AF=b，由题意得：
1. 长方形AFGE的面积：ab=10；
2. 阴影部分是边长为a的正方形和边长为b的正方形，面积和为61，即a² + b²=61；
根据完全平方公式：(a+b)²=a² + 2ab + b²，代入ab=10、a² + b²=61，得：
(a+b)²=61 + 2×10=81；
因为a、b为正数，所以a+b=9；
因此长方形AFGE的周长为2(a+b)=2×9=18。
【答案】18
【知识点】完全平方公式、长方形面积、正方形面积
【点评】本题通过设未知数，利用完全平方公式将所求周长与已知面积结合，关键是明确阴影部分的面积构成，属于代数与几何结合的常规题型，难度适中。
【难度系数】0.5
14. (2025·金华市永康市期末)有4张完全一样的长方形纸片,按如图所示的方式拼成一个正方形。若要求阴影部分的面积,只要知道下列线段的长度的是 (
A.$AB$
B.$AQ$
C.$AH$
D.$AE$
D
)A.$AB$
B.$AQ$
C.$AH$
D.$AE$
答案
14.D 【解析】设长方形纸片的长为a,宽为b。由题图,得阴影部分的面积为$(a + b)^2 - \frac{(a + b)b}{2}×2 - \frac{ab}{2}×2 = a^2 + 2ab + b^2 - ab - b^2 - ab = a^2$,所以要求阴影部分的面积,只要知道线段AE的长度。
解析
【分析】
本题通过设长方形的长和宽，利用面积割补法计算阴影部分面积，推导其与长方形长的关系，进而确定所需线段。解题时先设长方形长为$a$、宽为$b$，再用大正方形面积减去空白三角形面积得到阴影面积，最终找到对应线段。
【解析】
设长方形纸片的长为$a$，宽为$b$。
1. 大正方形的边长为$a + b$，其面积为$(a + b)^2$；
2. 空白部分包含两类三角形：
底为$(a + b)$、高为$b$的三角形共2个，面积和为$2×\frac{1}{2}(a + b)b=(a + b)b$；
底为$a$、高为$b$的三角形共2个，面积和为$2×\frac{1}{2}ab = ab$；
3. 阴影部分面积 = 大正方形面积 - 空白部分面积和：
$\begin{aligned}&(a + b)^2 - (a + b)b - ab\\=&a^2 + 2ab + b^2 - ab - b^2 - ab\\=&a^2\end{aligned}$
观察图形可知，线段$AE$等于长方形的长$a$，因此只要知道$AE$的长度，就能得到阴影部分的面积。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积、三角形面积、整式运算
【点评】
本题采用面积割补法，结合代数化简推导阴影面积与关键线段的关系，考查学生对图形面积计算和代数运算的综合应用能力，需理清图形中线段与长方形长、宽的对应关系。
【难度系数】
0.5
本题通过设长方形的长和宽，利用面积割补法计算阴影部分面积，推导其与长方形长的关系，进而确定所需线段。解题时先设长方形长为$a$、宽为$b$，再用大正方形面积减去空白三角形面积得到阴影面积，最终找到对应线段。
【解析】
设长方形纸片的长为$a$，宽为$b$。
1. 大正方形的边长为$a + b$，其面积为$(a + b)^2$；
2. 空白部分包含两类三角形：
底为$(a + b)$、高为$b$的三角形共2个，面积和为$2×\frac{1}{2}(a + b)b=(a + b)b$；
底为$a$、高为$b$的三角形共2个，面积和为$2×\frac{1}{2}ab = ab$；
3. 阴影部分面积 = 大正方形面积 - 空白部分面积和：
$\begin{aligned}&(a + b)^2 - (a + b)b - ab\\=&a^2 + 2ab + b^2 - ab - b^2 - ab\\=&a^2\end{aligned}$
观察图形可知，线段$AE$等于长方形的长$a$，因此只要知道$AE$的长度，就能得到阴影部分的面积。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积、三角形面积、整式运算
【点评】
本题采用面积割补法，结合代数化简推导阴影面积与关键线段的关系，考查学生对图形面积计算和代数运算的综合应用能力，需理清图形中线段与长方形长、宽的对应关系。
【难度系数】
0.5
15. (2025·绍兴市新昌县期末)如图1,点P在线段AB上,AP＞PB,分别以AP,PB为边,在AB同侧作正方形APCD和正方形PBEF,再把正方形PBEF沿着PA平移,使得点B与点P重合,如图2,联结AN,DN,CN。若AB=10 cm,阴影部分的面积为10 cm²,则线段AP的长为
6
cm。答案
15.6 【解析】设正方形APCD的边长为a cm,正方形PBEF的边长为b cm,则$CD=AP=a\ \mathrm{cm},MN=MP=b\ \mathrm{cm}$,所以$AM=(a - b)\mathrm{cm},CF=(a - b)\mathrm{cm}$。因为$AB=10\ \mathrm{cm}$,所以$a + b=10$。因为阴影部分的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$,所以$\frac{1}{2}MN·AM + \frac{1}{2}CD·CF=10$,所以$\frac{1}{2}b(a - b) + \frac{1}{2}a(a - b)=10$,所以$\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b^2=10$,所以$a^2 - b^2=20$,所以$(a + b)(a - b)=20$。因为$a + b=10$,所以$a - b=2$。联立,得$\begin{cases}a + b=10,\\a - b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=6,\\b=4,\end{cases}$即$AP=6\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】首先设正方形APCD的边长为$a\ \mathrm{cm}$（即AP的长），正方形PBEF的边长为$b\ \mathrm{cm}$（即PB的长）。根据AB的长度可得$a + b = 10$；观察图2，阴影部分由两个三角形组成，分别是$△ AMN$和$△ CDN$，它们的底均为$(a - b)$，高分别为$b$和$a$，因此阴影面积可表示为这两个三角形面积之和，结合阴影面积为$10\ \mathrm{cm}^2$列出等式，再通过化简、平方差公式联立方程，即可求出$a$的值，也就是AP的长。
【解析】设正方形APCD的边长为$a\ \mathrm{cm}$，正方形PBEF的边长为$b\ \mathrm{cm}$，则$AP = a$，$PB = b$，$AM = a - b$，$CD = a$，$MN = b$，$CF = a - b$。
由$AB = 10\ \mathrm{cm}$，得：$a + b = 10$。
阴影部分面积为两个三角形面积之和，即：
$\frac{1}{2} · MN · AM + \frac{1}{2} · CD · CF = 10$
代入各线段长度：
$\frac{1}{2}b(a - b) + \frac{1}{2}a(a - b) = 10$
提取公因式$\frac{1}{2}(a - b)$：
$\frac{1}{2}(a - b)(a + b) = 10$
将$a + b = 10$代入上式：
$\frac{1}{2}(a - b) × 10 = 10$
化简得：$5(a - b) = 10$，即$a - b = 2$。
联立方程组：
$\begin{cases}a + b = 10 \\ a - b = 2\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = 6 \\ b = 4\end{cases}$
因此，AP的长为$6\ \mathrm{cm}$。
【答案】6
【知识点】正方形性质、三角形面积计算、平方差公式
【点评】本题结合正方形的平移变换，利用几何图形的面积关系建立代数方程，关键是准确表示阴影部分的面积，通过代数运算简化方程求解，考查了几何与代数结合的解题能力，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】设正方形APCD的边长为$a\ \mathrm{cm}$，正方形PBEF的边长为$b\ \mathrm{cm}$，则$AP = a$，$PB = b$，$AM = a - b$，$CD = a$，$MN = b$，$CF = a - b$。
由$AB = 10\ \mathrm{cm}$，得：$a + b = 10$。
阴影部分面积为两个三角形面积之和，即：
$\frac{1}{2} · MN · AM + \frac{1}{2} · CD · CF = 10$
代入各线段长度：
$\frac{1}{2}b(a - b) + \frac{1}{2}a(a - b) = 10$
提取公因式$\frac{1}{2}(a - b)$：
$\frac{1}{2}(a - b)(a + b) = 10$
将$a + b = 10$代入上式：
$\frac{1}{2}(a - b) × 10 = 10$
化简得：$5(a - b) = 10$，即$a - b = 2$。
联立方程组：
$\begin{cases}a + b = 10 \\ a - b = 2\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = 6 \\ b = 4\end{cases}$
因此，AP的长为$6\ \mathrm{cm}$。
【答案】6
【知识点】正方形性质、三角形面积计算、平方差公式
【点评】本题结合正方形的平移变换，利用几何图形的面积关系建立代数方程，关键是准确表示阴影部分的面积，通过代数运算简化方程求解，考查了几何与代数结合的解题能力，难度适中。
【难度系数】0.5
