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16.如图,长为y,宽为x的大长方形被分割为5小块,除阴影D,E外,其余3块都是正方形,若阴影E的周长为10,下列结论:①x的值为5;②若阴影D的周长为8,则正方形A的面积为1;③若大长方形的面积为30,则三个正方形周长的和为24。其中正确的有
①②
。答案
16.①② 【解析】设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,正方形C的边长为c,所以$x=a + b,y=b + c$,阴影E的长为c,宽为$a + b - c$,阴影D的长为a,宽为$b - a$。因为阴影E的周长为10,所以$2(c + a + b - c)=10$,所以$a + b=5$,即$x=5$,故①正确;因为阴影D的周长为8,所以$2(a + b - a)=8$,解得$b=4$。因为$a + b=5$,所以$a=1$,即正方形A的面积为1,故②正确;因为大长方形的面积为30,所以$xy=30$。因为$x=5$,所以$y=6$,所以$b + c=6$。假设三个正方形的周长为24,所以$4a + 4b + 4c=24$,所以$a + b + c=6$,所以$a=0$,不符合题意,故③错误。
解析
【分析】
要解决本题，需先设出正方形A、B、C的边长，结合图形的边长关系推导大长方形的长、宽与各正方形边长的联系，再利用阴影部分的周长条件逐步验证三个结论。首先设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$，正方形C的边长为$c$，根据图形可知大长方形的长$x=a+b$，宽$y=b+c$，再分析阴影E、D的边长与周长的关系，即可逐一判断结论是否正确。
【解析】
设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$，正方形C的边长为$c$。
1. 验证结论①：
阴影E的长为$c$，宽为$x - c$（因$x=a+b$），则阴影E的周长为$2[c + (x - c)] = 2x$。已知阴影E的周长为10，故$2x=10$，解得$x=5$，结论①正确。
2. 验证结论②：
阴影D的长为$a$，宽为$b - a$，则阴影D的周长为$2[a + (b - a)] = 2b$。若阴影D的周长为8，则$2b=8$，解得$b=4$。结合$x=a+b=5$，得$a=5 - 4=1$，正方形A的面积为$a^2=1$，结论②正确。
3. 验证结论③：
若大长方形面积为30，已知$x=5$，则$xy=30$，解得$y=6$，即$b + c=6$。三个正方形的周长和为$4a + 4b + 4c=4(a+b+c)=4[(a+b)+c]=4(5 + c)$。若周长和为24，则$4(5 + c)=24$，解得$c=1$，此时$b=6 - c=5$，$a=5 - b=0$，边长不能为0，不符合实际，结论③错误。
综上，正确结论为①②。
【答案】
①②
【知识点】
整式的加减、长方形周长面积、正方形性质
【点评】
本题通过设正方形边长，利用图形边长关系建立代数等式，结合周长、面积公式推导结论，核心是理清各部分边长的联系，需具备图形分析与代数运算能力，属于中等难度的几何代数综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先设出正方形A、B、C的边长，结合图形的边长关系推导大长方形的长、宽与各正方形边长的联系，再利用阴影部分的周长条件逐步验证三个结论。首先设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$，正方形C的边长为$c$，根据图形可知大长方形的长$x=a+b$，宽$y=b+c$，再分析阴影E、D的边长与周长的关系，即可逐一判断结论是否正确。
【解析】
设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$，正方形C的边长为$c$。
1. 验证结论①：
阴影E的长为$c$，宽为$x - c$（因$x=a+b$），则阴影E的周长为$2[c + (x - c)] = 2x$。已知阴影E的周长为10，故$2x=10$，解得$x=5$，结论①正确。
2. 验证结论②：
阴影D的长为$a$，宽为$b - a$，则阴影D的周长为$2[a + (b - a)] = 2b$。若阴影D的周长为8，则$2b=8$，解得$b=4$。结合$x=a+b=5$，得$a=5 - 4=1$，正方形A的面积为$a^2=1$，结论②正确。
3. 验证结论③：
若大长方形面积为30，已知$x=5$，则$xy=30$，解得$y=6$，即$b + c=6$。三个正方形的周长和为$4a + 4b + 4c=4(a+b+c)=4[(a+b)+c]=4(5 + c)$。若周长和为24，则$4(5 + c)=24$，解得$c=1$，此时$b=6 - c=5$，$a=5 - b=0$，边长不能为0，不符合实际，结论③错误。
综上，正确结论为①②。
【答案】
①②
【知识点】
整式的加减、长方形周长面积、正方形性质
【点评】
本题通过设正方形边长，利用图形边长关系建立代数等式，结合周长、面积公式推导结论，核心是理清各部分边长的联系，需具备图形分析与代数运算能力，属于中等难度的几何代数综合题。
【难度系数】
0.5
17.(2025·湖州市期末)如图,一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成。小吴同学将其重新剪拼,得到一个新图形乙。
(1)若甲为正方形,则乙的周长可表示为________(用含$a$的代数式表示)。
(2)若$\dfrac{S_{甲}}{S_{乙}}=\dfrac{5}{6}$,猜测$a$与$b$之间的数量关系,并说明理由。
(1)若甲为正方形,则乙的周长可表示为________(用含$a$的代数式表示)。
(2)若$\dfrac{S_{甲}}{S_{乙}}=\dfrac{5}{6}$,猜测$a$与$b$之间的数量关系,并说明理由。
答案
17.(1)9a 【解析】由题意,得长方形B的长为2a,宽为b,正方形A的边长为a,且$a=2b$,所以图形乙的长为$2a + a=3a$,宽为$a + b$,所以乙的周长可表示为$(3a + a + b)×2=8a + 2b=8a + a=9a$。
(2)解:$a=3b$。理由如下:因为$S_甲=2a(a + 2b),S_乙=3a(a + b)$,所以$\frac{2a(a + 2b)}{3a(a + b)}=\frac{5}{6}$。因为$a＞0,b＞0$,所以$\frac{2(a + 2b)}{3(a + b)}=\frac{5}{6}$,即$a=3b$。
(2)解:$a=3b$。理由如下:因为$S_甲=2a(a + 2b),S_乙=3a(a + b)$,所以$\frac{2a(a + 2b)}{3a(a + b)}=\frac{5}{6}$。因为$a＞0,b＞0$,所以$\frac{2(a + 2b)}{3(a + b)}=\frac{5}{6}$,即$a=3b$。
解析
【分析】
本题需结合图形的边长、面积关系进行分析：第一问先根据甲为正方形得出a与b的关系，再确定乙的长和宽，计算周长；第二问先分别表示甲、乙的面积，再根据面积比的条件建立等式，化简得到a与b的数量关系。
【解析】
(1) 由图甲可知，正方形A的边长为$a$，长方形B的长为$2a$，宽为$b$。因为甲是正方形，所以甲的边长相等：甲的竖直边长为$a+a=2a$，水平边长为$a+2b$，因此$a+2b=2a$，解得$b=\frac{a}{2}$。
观察图形乙，其长为$2a+a=3a$，宽为$a+b$。根据长方形周长公式，乙的周长为：
$2×(3a + a + b)=2×(4a + b)$，
将$b=\frac{a}{2}$代入得：$2×(4a + \frac{a}{2})=9a$。
(2) 计算面积：
正方形A的面积为$a^2$，长方形B的面积为$2a·b=2ab$，因此甲的面积$S_甲=2a^2 + 4ab=2a(a+2b)$；
观察图形乙，其面积$S_乙=3a(a+b)$。
根据题意$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{5}{6}$，代入得：
$\frac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\frac{5}{6}$，
因为$a＞0$，$b＞0$，约去$a$后化简：
$\frac{2(a+2b)}{3(a+b)}=\frac{5}{6}$，
交叉相乘得：$12(a+2b)=15(a+b)$，
展开整理：$12a +24b=15a +15b$，
移项合并得：$9b=3a$，即$a=3b$。
【答案】
(1)$9a$；(2)$a=3b$
【知识点】
整式运算、图形面积关系、代数式化简
【点评】
本题结合图形拼接考查整式运算与图形分析能力，关键是准确推导各图形的边长和面积表达式，通过面积比建立等式求解，需注意图形边长的对应关系，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
本题需结合图形的边长、面积关系进行分析：第一问先根据甲为正方形得出a与b的关系，再确定乙的长和宽，计算周长；第二问先分别表示甲、乙的面积，再根据面积比的条件建立等式，化简得到a与b的数量关系。
【解析】
(1) 由图甲可知，正方形A的边长为$a$，长方形B的长为$2a$，宽为$b$。因为甲是正方形，所以甲的边长相等：甲的竖直边长为$a+a=2a$，水平边长为$a+2b$，因此$a+2b=2a$，解得$b=\frac{a}{2}$。
观察图形乙，其长为$2a+a=3a$，宽为$a+b$。根据长方形周长公式，乙的周长为：
$2×(3a + a + b)=2×(4a + b)$，
将$b=\frac{a}{2}$代入得：$2×(4a + \frac{a}{2})=9a$。
(2) 计算面积：
正方形A的面积为$a^2$，长方形B的面积为$2a·b=2ab$，因此甲的面积$S_甲=2a^2 + 4ab=2a(a+2b)$；
观察图形乙，其面积$S_乙=3a(a+b)$。
根据题意$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{5}{6}$，代入得：
$\frac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\frac{5}{6}$，
因为$a＞0$，$b＞0$，约去$a$后化简：
$\frac{2(a+2b)}{3(a+b)}=\frac{5}{6}$，
交叉相乘得：$12(a+2b)=15(a+b)$，
展开整理：$12a +24b=15a +15b$，
移项合并得：$9b=3a$，即$a=3b$。
【答案】
(1)$9a$；(2)$a=3b$
【知识点】
整式运算、图形面积关系、代数式化简
【点评】
本题结合图形拼接考查整式运算与图形分析能力，关键是准确推导各图形的边长和面积表达式，通过面积比建立等式求解，需注意图形边长的对应关系，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
