1. (2025·金华市金东区期末)定义:关于$x,y$的二元一次方程$ax + by = c(abc≠0,a≠c)$中的常数项$c$与未知数$x$的系数$a$互换,得到的新方程叫作原方程的“友好方程”。例如:方程$ax + by = c$的“友好方程”为$cx + by = a$。
(1)求方程$x + 2y = 3$与它的“友好方程”组成的方程组的解。
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax + by = c$的系数满足$a + b + c = 0$,求方程$ax + by = c$与它的“友好方程”组成的方程组的解。
(3)已知关于$x,y$的二元一次方程$(3m - t)x + 2\,025y = m + 2t$是$(2 + n)x + 2\,025y = m - 1$的“友好方程”,求$\dfrac{m}{n}$的值。

1.(1)解:方程$x + 2y = 3$的“友好方程”为$3x + 2y = 1$,所以
$\begin{cases} x+2y=3,\\ 3x+2y=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-1,\\ y=2。 \end{cases}$
(2)解:方程$ax+by=c$的“友好方程”为$cx+by=a$,所以
$\begin{cases} ax+by=c,①\\ cx+by=a,② \end{cases}$由①$-$②,得$(a-c)x=c-a$。因为$a≠c$,所以$x=-1$。把$x=-1$代入①,得$-a+by=c$,所以$by=a+c$。因为$a+b+c=0$,即$a+c=-b$,所以$by=-b$,所以$y=-1$,所以方程组的解为$\begin{cases} x=-1,\\ y=-1。 \end{cases}$
(3)解:因为关于$x,y$的二元一次方程$(3m - t)x + 2\,025y = m + 2t$是$(2 + n)x + 2\,025y = m - 1$的“友好方程”,所以
$\begin{cases} 3m-t=m-1,①\\ 2+n=m+2t,② \end{cases}$由①,得$t=2m+1$③。把③代入②,得$2+n=m+2(2m+1)$,整理,得$5m=n$,所以$\frac{m}{n}=\frac{1}{5}$。

【分析】
首先明确“友好方程”的定义：对于二元一次方程$ax + by = c$（$abc≠0,a≠c$），将常数项$c$与未知数$x$的系数$a$互换得到的新方程$cx + by = a$，即为原方程的“友好方程”。解题时，需先根据定义写出对应方程组，再利用加减消元法或代入消元法解方程组；第三小问需根据友好方程的系数对应关系列等式，进而求解$m$与$n$的比值。
【解析】
(1) 根据“友好方程”定义，方程$x + 2y = 3$的友好方程为$3x + 2y = 1$，组成方程组：
$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3x + 2y = 1 \end{cases}$
用加减消元法，②$-$①得：$2x = -2$，解得$x = -1$；将$x = -1$代入$x + 2y = 3$，得$-1 + 2y = 3$，解得$y = 2$。
(2) 原方程$ax + by = c$的友好方程为$cx + by = a$，组成方程组：
$\begin{cases} ax + by = c ① \\ cx + by = a ② \end{cases}$
①$-$②得：$(a - c)x = c - a$，因为$a≠c$，两边同除以$(a - c)$得$x = -1$；将$x = -1$代入①，得$-a + by = c$，即$by = a + c$。已知$a + b + c = 0$，则$a + c = -b$，代入得$by = -b$，又$b≠0$，故$y = -1$。
(3) 由“友好方程”的系数对应关系，可得方程组：
$\begin{cases} 3m - t = m - 1 ① \\ 2 + n = m + 2t ② \end{cases}$
由①得：$t = 2m + 1$③，将③代入②得：$2 + n = m + 2(2m + 1)$，整理得$n = 5m$，因此$\frac{m}{n} = \frac{1}{5}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x = -1 \\ y = -1 \end{cases}$；(3) $\frac{1}{5}$
【知识点】
二元一次方程组、新定义运算
【点评】
本题围绕新定义“友好方程”展开，核心是理解定义后转化为二元一次方程组的求解问题，需准确把握系数对应关系，难度适中，考查学生的逻辑转化与计算能力。
【难度系数】
0.6