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2. (2025·杭州市上城区期末)对于关于$x$的四个多项式$A=x+a,B=x+b,C=x+c,D=x+d$($a,b,c,d$是常数),任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差,若其中一种组合得到结果为常数$n$,则称这种组合为消元组合,常数$n$是这种组合的消元余量。
例如:对于多项式$A=x+1,B=x+2,C=x+3,D=x+4$,
因为$A×D - B×C=(x + 1)(x + 4)-(x + 2)(x + 3)=-2$,
所以$A×D - B×C$这种组合为消元组合,其消元余量为$-2$。
因为$A×B - C×D=(x + 1)(x + 2)-(x + 3)(x + 4)=-4x - 10$,结果不是常数,
所以$A×B - C×D$这种组合不是消元组合。
(1)若多项式$A=x+1,B=x+4,C=x+8,D=x+5$,判断$A×C - B×D$是否为消元组合,若是,请求出消元余量;若不是,请说明理由。
(2)若多项式$A=x+1,B=x-2,C=x+5,D=x+p$存在消元组合,则$p$的值为________。
(3)若多项式$A=2x+1,B=x+4,C=2x+a,D=x+b$存在消元组合,求$a$与$b$的关系式。
例如:对于多项式$A=x+1,B=x+2,C=x+3,D=x+4$,
因为$A×D - B×C=(x + 1)(x + 4)-(x + 2)(x + 3)=-2$,
所以$A×D - B×C$这种组合为消元组合,其消元余量为$-2$。
因为$A×B - C×D=(x + 1)(x + 2)-(x + 3)(x + 4)=-4x - 10$,结果不是常数,
所以$A×B - C×D$这种组合不是消元组合。
(1)若多项式$A=x+1,B=x+4,C=x+8,D=x+5$,判断$A×C - B×D$是否为消元组合,若是,请求出消元余量;若不是,请说明理由。
(2)若多项式$A=x+1,B=x-2,C=x+5,D=x+p$存在消元组合,则$p$的值为________。
(3)若多项式$A=2x+1,B=x+4,C=2x+a,D=x+b$存在消元组合,求$a$与$b$的关系式。
答案
2.(1)解:是。由题意,得$A×C - B×D=(x + 1)(x + 8)-(x + 4)(x + 5)=x^2 + 9x + 8-(x^2 + 9x + 20)=-12$,结果是常数,所以$A×C - B×D$这种组合为消元组合,其消元余量为$-12$。
(2)$-6$或$8$或$2$ 【解析】分三种情况:①若$A×B - C×D$这种组合为消元组合,则$A×B - C×D=(x + 1)(x - 2)-(x + 5)(x + p)=x^2 - x - 2 - x^2 - px - 5x - 5p=(-6 - p)x - 2 - 5p$,所以$-6 - p=0$,解得$p=-6$;②若$A×C - B×D$这种组合为消元组合,则$A×C - B×D=(x + 1)(x + 5)-(x - 2)(x + p)=x^2 + 6x + 5 - x^2 - px + 2x + 2p=(8 - p)x + 5 + 2p$,所以$8 - p=0$,解得$p=8$;③若$A×D - B×C$这种组合为消元组合,则$A×D - B×C=(x + 1)(x + p)-(x - 2)(x + 5)=x^2 + px + x + p - x^2 - 3x + 10=(p - 2)x + 10 + p$,所以$p - 2=0$,解得$p=2$。综上所述,$p$的值为$-6$或$8$或$2$。
(3)解:分三种情况:①$A×B - C×D=(2x + 1)(x + 4)-(2x + a)(x + b)=2x^2 + 9x + 4 - 2x^2 - 2bx - ax - ab=(9 - 2b - a)x + 4 - ab$。若$A×B - C×D$这种组合为消元组合,则$9 - 2b - a=0$,解得$a=9 - 2b$;②$A×C - B×D=(2x + 1)(2x + a)-(x + 4)(x + b)=4x^2 + 2ax + 2x + a - x^2 - bx - 4x - 4b=3x^2 + (2a - b - 2)x + a - 4b$,结果不可能为常数,所以$A×C - B×D$这种组合不是消元组合;③$A×D - B×C=(2x + 1)(x + b)-(x + 4)(2x + a)=2x^2 + 2bx + x + b - 2x^2 - ax - 8x - 4a=(2b - a - 7)x + b - 4a$。若$A×D - B×C$这种组合为消元组合,则$2b - a - 7=0$,解得$a=2b - 7$。综上所述,$a$与$b$的关系式为$a=9 - 2b$或$a=2b - 7$。
(2)$-6$或$8$或$2$ 【解析】分三种情况:①若$A×B - C×D$这种组合为消元组合,则$A×B - C×D=(x + 1)(x - 2)-(x + 5)(x + p)=x^2 - x - 2 - x^2 - px - 5x - 5p=(-6 - p)x - 2 - 5p$,所以$-6 - p=0$,解得$p=-6$;②若$A×C - B×D$这种组合为消元组合,则$A×C - B×D=(x + 1)(x + 5)-(x - 2)(x + p)=x^2 + 6x + 5 - x^2 - px + 2x + 2p=(8 - p)x + 5 + 2p$,所以$8 - p=0$,解得$p=8$;③若$A×D - B×C$这种组合为消元组合,则$A×D - B×C=(x + 1)(x + p)-(x - 2)(x + 5)=x^2 + px + x + p - x^2 - 3x + 10=(p - 2)x + 10 + p$,所以$p - 2=0$,解得$p=2$。综上所述,$p$的值为$-6$或$8$或$2$。
(3)解:分三种情况:①$A×B - C×D=(2x + 1)(x + 4)-(2x + a)(x + b)=2x^2 + 9x + 4 - 2x^2 - 2bx - ax - ab=(9 - 2b - a)x + 4 - ab$。若$A×B - C×D$这种组合为消元组合,则$9 - 2b - a=0$,解得$a=9 - 2b$;②$A×C - B×D=(2x + 1)(2x + a)-(x + 4)(x + b)=4x^2 + 2ax + 2x + a - x^2 - bx - 4x - 4b=3x^2 + (2a - b - 2)x + a - 4b$,结果不可能为常数,所以$A×C - B×D$这种组合不是消元组合;③$A×D - B×C=(2x + 1)(x + b)-(x + 4)(2x + a)=2x^2 + 2bx + x + b - 2x^2 - ax - 8x - 4a=(2b - a - 7)x + b - 4a$。若$A×D - B×C$这种组合为消元组合,则$2b - a - 7=0$,解得$a=2b - 7$。综上所述,$a$与$b$的关系式为$a=9 - 2b$或$a=2b - 7$。
解析
【分析】
首先明确消元组合的定义：对于四个多项式，任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差为常数时，该组合为消元组合，对应的常数为消元余量。解题思路是：将对应两个多项式的乘积展开，合并同类项后，若含x的项的系数为0，则差为常数，即为消元组合；若含x的项系数不为0，则不是。解题时需分三种不同的组合情况（A×B - C×D、A×C - B×D、A×D - B×C）分别计算，根据结果判断是否为消元组合，进而求解相关参数。
【解析】
(1) 计算$A×C - B×D$：
$A×C=(x+1)(x+8)=x^2 + 9x + 8$，$B×D=(x+4)(x+5)=x^2 + 9x + 20$，
则$A×C - B×D=(x^2 + 9x + 8)-(x^2 + 9x + 20)= -12$，结果为常数，因此$A×C - B×D$是消元组合，消元余量为$-12$。
(2) 分三种情况讨论：
① 若$A×B - C×D$为消元组合，则：
$A×B - C×D=(x+1)(x-2)-(x+5)(x+p)=x^2 -x -2 - (x^2 + px +5x +5p)=(-6-p)x -2 -5p$，
令含$x$项的系数为0，得$-6-p=0$，解得$p=-6$；
② 若$A×C - B×D$为消元组合，则：
$A×C - B×D=(x+1)(x+5)-(x-2)(x+p)=x^2 +6x +5 - (x^2 + px -2x -2p)=(8-p)x +5 +2p$，
令含$x$项的系数为0，得$8-p=0$，解得$p=8$；
③ 若$A×D - B×C$为消元组合，则：
$A×D - B×C=(x+1)(x+p)-(x-2)(x+5)=x^2 +px +x +p - (x^2 +3x -10)=(p-2)x +10 +p$，
令含$x$项的系数为0，得$p-2=0$，解得$p=2$；
综上，$p$的值为$-6$或$8$或$2$。
(3) 分三种情况讨论：
① 若$A×B - C×D$为消元组合，则：
$A×B - C×D=(2x+1)(x+4)-(2x+a)(x+b)=2x^2 +9x +4 - (2x^2 +2bx +ax +ab)=(9-2b -a)x +4 -ab$，
令含$x$项的系数为0，得$9-2b -a=0$，即$a=9-2b$；
② 若$A×C - B×D$为消元组合，则：
$A×C - B×D=(2x+1)(2x+a)-(x+4)(x+b)=4x^2 +2ax +2x +a - (x^2 +bx +4x +4b)=3x^2 + (2a -b -2)x +a -4b$，
含$x^2$项的系数为3≠0，结果不可能为常数，故该组合不是消元组合；
③ 若$A×D - B×C$为消元组合，则：
$A×D - B×C=(2x+1)(x+b)-(x+4)(2x+a)=2x^2 +2bx +x +b - (2x^2 +ax +8x +4a)=(2b -a -7)x +b -4a$，
令含$x$项的系数为0，得$2b -a -7=0$，即$a=2b -7$；
综上，$a$与$b$的关系式为$a=9-2b$或$a=2b-7$。
【答案】
(1) 是消元组合，消元余量为$-12$；
(2) $-6$或$8$或$2$；
(3) $a=9-2b$或$a=2b-7$。
【知识点】
多项式乘法、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题为新定义类整式运算题，核心是理解消元组合的本质（差为常数即含x项系数为0），需熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，展开后准确合并同类项，分情况讨论时要全面，避免遗漏组合情况，考查学生的运算能力与新定义应用能力。
【难度系数】
0.5
首先明确消元组合的定义：对于四个多项式，任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差为常数时，该组合为消元组合，对应的常数为消元余量。解题思路是：将对应两个多项式的乘积展开，合并同类项后，若含x的项的系数为0，则差为常数，即为消元组合；若含x的项系数不为0，则不是。解题时需分三种不同的组合情况（A×B - C×D、A×C - B×D、A×D - B×C）分别计算，根据结果判断是否为消元组合，进而求解相关参数。
【解析】
(1) 计算$A×C - B×D$：
$A×C=(x+1)(x+8)=x^2 + 9x + 8$，$B×D=(x+4)(x+5)=x^2 + 9x + 20$，
则$A×C - B×D=(x^2 + 9x + 8)-(x^2 + 9x + 20)= -12$，结果为常数，因此$A×C - B×D$是消元组合，消元余量为$-12$。
(2) 分三种情况讨论：
① 若$A×B - C×D$为消元组合，则：
$A×B - C×D=(x+1)(x-2)-(x+5)(x+p)=x^2 -x -2 - (x^2 + px +5x +5p)=(-6-p)x -2 -5p$，
令含$x$项的系数为0，得$-6-p=0$，解得$p=-6$；
② 若$A×C - B×D$为消元组合，则：
$A×C - B×D=(x+1)(x+5)-(x-2)(x+p)=x^2 +6x +5 - (x^2 + px -2x -2p)=(8-p)x +5 +2p$，
令含$x$项的系数为0，得$8-p=0$，解得$p=8$；
③ 若$A×D - B×C$为消元组合，则：
$A×D - B×C=(x+1)(x+p)-(x-2)(x+5)=x^2 +px +x +p - (x^2 +3x -10)=(p-2)x +10 +p$，
令含$x$项的系数为0，得$p-2=0$，解得$p=2$；
综上，$p$的值为$-6$或$8$或$2$。
(3) 分三种情况讨论：
① 若$A×B - C×D$为消元组合，则：
$A×B - C×D=(2x+1)(x+4)-(2x+a)(x+b)=2x^2 +9x +4 - (2x^2 +2bx +ax +ab)=(9-2b -a)x +4 -ab$，
令含$x$项的系数为0，得$9-2b -a=0$，即$a=9-2b$；
② 若$A×C - B×D$为消元组合，则：
$A×C - B×D=(2x+1)(2x+a)-(x+4)(x+b)=4x^2 +2ax +2x +a - (x^2 +bx +4x +4b)=3x^2 + (2a -b -2)x +a -4b$，
含$x^2$项的系数为3≠0，结果不可能为常数，故该组合不是消元组合；
③ 若$A×D - B×C$为消元组合，则：
$A×D - B×C=(2x+1)(x+b)-(x+4)(2x+a)=2x^2 +2bx +x +b - (2x^2 +ax +8x +4a)=(2b -a -7)x +b -4a$，
令含$x$项的系数为0，得$2b -a -7=0$，即$a=2b -7$；
综上，$a$与$b$的关系式为$a=9-2b$或$a=2b-7$。
【答案】
(1) 是消元组合，消元余量为$-12$；
(2) $-6$或$8$或$2$；
(3) $a=9-2b$或$a=2b-7$。
【知识点】
多项式乘法、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题为新定义类整式运算题，核心是理解消元组合的本质（差为常数即含x项系数为0），需熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，展开后准确合并同类项，分情况讨论时要全面，避免遗漏组合情况，考查学生的运算能力与新定义应用能力。
【难度系数】
0.5
