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3.定义:若分式$ M $与分式$ N $的差等于它们的积,即$ M - N = MN $,则称分式$ N $是分式$ M $的“互联分式”。如$\frac{1}{x+1}$与$\frac{1}{x+2}$,因为$\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$, $\frac{1}{x+1} × \frac{1}{x+2} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$, 所以$\frac{1}{x+2}$是$\frac{1}{x+1}$的“互联分式”。
(1)判断分式$\frac{3}{x+2}$与分式$\frac{3}{x+5}$是否是“互联分式”,请说明理由。
(2)小红在求分式$\frac{1}{x^2 + y^2}$的“互联分式”时,用了以下方法:
设$\frac{1}{x^2 + y^2}$的“互联分式”为$ N $,则$\frac{1}{x^2 + y^2} - N = \frac{1}{x^2 + y^2} × N$,
所以$( \frac{1}{x^2 + y^2} + 1 ) N = \frac{1}{x^2 + y^2}$,所以$ N = \frac{1}{x^2 + y^2 + 1} $。
请你仿照小红的方法求分式$\frac{x+2}{x+5}$的“互联分式”。
(3)仔细观察(1)(2)中的规律,请直接写出实数$ a,b $的值,使$\frac{4a - 2}{bx + b}$是$\frac{4b + 2}{bx + a}$的“互联分式”。
(1)判断分式$\frac{3}{x+2}$与分式$\frac{3}{x+5}$是否是“互联分式”,请说明理由。
(2)小红在求分式$\frac{1}{x^2 + y^2}$的“互联分式”时,用了以下方法:
设$\frac{1}{x^2 + y^2}$的“互联分式”为$ N $,则$\frac{1}{x^2 + y^2} - N = \frac{1}{x^2 + y^2} × N$,
所以$( \frac{1}{x^2 + y^2} + 1 ) N = \frac{1}{x^2 + y^2}$,所以$ N = \frac{1}{x^2 + y^2 + 1} $。
请你仿照小红的方法求分式$\frac{x+2}{x+5}$的“互联分式”。
(3)仔细观察(1)(2)中的规律,请直接写出实数$ a,b $的值,使$\frac{4a - 2}{bx + b}$是$\frac{4b + 2}{bx + a}$的“互联分式”。
答案
3.(1)解:分式$\frac{3}{x+2}$与分式$\frac{3}{x+5}$是“互联分式”。理由如下:
因为$\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x+5}=\frac{3(x+5)-3(x+2)}{(x+2)(x+5)}=\frac{9}{(x+2)(x+5)}$,
$\frac{3}{x+2}×\frac{3}{x+5}=\frac{9}{(x+2)(x+5)}$,所以分式$\frac{3}{x+2}$与分式$\frac{3}{x+5}$是“互联分式”。
(2)解:设$\frac{x+2}{x+5}$的“互联分式”为$N$,则$\frac{x+2}{x+5}-N=\frac{x+2}{x+5}×N$,
所以$(\frac{x+2}{x+5}+1)N=\frac{x+2}{x+5}$,所以$N=\frac{x+2}{2x+7}$。
(3)解:$a=\frac{1}{4}$,$b=-\frac{3}{4}$。【解析】由(1)(2)可得,$\frac{y}{x}$的“互联分式”是$\frac{y}{x+y}$。因为$\frac{4a - 2}{bx + b}$是$\frac{4b + 2}{bx + a}$的“互联分式”,所以
$\begin{cases} 4b+2=4a-2,\\ bx+b=bx+a+4b+2, \end{cases}$整理,得$\begin{cases} a-b=1,\\ a+3b=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=\frac{1}{4},\\ b=-\frac{3}{4}。 \end{cases}$
因为$\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x+5}=\frac{3(x+5)-3(x+2)}{(x+2)(x+5)}=\frac{9}{(x+2)(x+5)}$,
$\frac{3}{x+2}×\frac{3}{x+5}=\frac{9}{(x+2)(x+5)}$,所以分式$\frac{3}{x+2}$与分式$\frac{3}{x+5}$是“互联分式”。
(2)解:设$\frac{x+2}{x+5}$的“互联分式”为$N$,则$\frac{x+2}{x+5}-N=\frac{x+2}{x+5}×N$,
所以$(\frac{x+2}{x+5}+1)N=\frac{x+2}{x+5}$,所以$N=\frac{x+2}{2x+7}$。
(3)解:$a=\frac{1}{4}$,$b=-\frac{3}{4}$。【解析】由(1)(2)可得,$\frac{y}{x}$的“互联分式”是$\frac{y}{x+y}$。因为$\frac{4a - 2}{bx + b}$是$\frac{4b + 2}{bx + a}$的“互联分式”,所以
$\begin{cases} 4b+2=4a-2,\\ bx+b=bx+a+4b+2, \end{cases}$整理,得$\begin{cases} a-b=1,\\ a+3b=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=\frac{1}{4},\\ b=-\frac{3}{4}。 \end{cases}$
解析
【分析】
首先明确“互联分式”的定义：若分式$M$与$N$满足$M - N = MN$，则称$N$是$M$的“互联分式”。解题时：（1）需分别计算两个分式的差和积，验证是否相等；（2）仿照示例，设所求互联分式为$N$，根据定义列方程，通过移项、合并同类项求解$N$；（3）先从（1）（2）中总结规律，再结合题目给出的两个分式，根据规律列出关于$a$、$b$的方程组，解方程组得到结果。
【解析】
（1）判断$\frac{3}{x+2}$与$\frac{3}{x+5}$是否为“互联分式”：
计算差：$\frac{3}{x+2} - \frac{3}{x+5} = \frac{3(x+5)-3(x+2)}{(x+2)(x+5)} = \frac{3x+15-3x-6}{(x+2)(x+5)} = \frac{9}{(x+2)(x+5)}$；
计算积：$\frac{3}{x+2}×\frac{3}{x+5} = \frac{9}{(x+2)(x+5)}$；
因为差等于积，所以二者是“互联分式”。
（2）设$\frac{x+2}{x+5}$的“互联分式”为$N$，根据定义得：
$\frac{x+2}{x+5} - N = \frac{x+2}{x+5}×N$；
移项整理：$\frac{x+2}{x+5} = N + \frac{x+2}{x+5}×N = N×\frac{(x+5)+(x+2)}{x+5} = N×\frac{2x+7}{x+5}$；
两边同乘$\frac{x+5}{2x+7}$，得$N = \frac{x+2}{2x+7}$。
（3）从（1）（2）总结规律：若分式$\frac{y}{x}$的“互联分式”是$\frac{y}{x+y}$。
已知$\frac{4a - 2}{bx + b}$是$\frac{4b + 2}{bx + a}$的“互联分式”，对比规律可得：
分子满足：$4b + 2 = 4a - 2$；
分母满足：$bx + a = (bx + b) + (4b + 2)$；
整理方程组：$\begin{cases}4a - 4b = 4 \\ a = b + 4b + 2 \end{cases}$，即$\begin{cases}a - b = 1 \\ a + 3b = -2 \end{cases}$；
解方程组：将$a = b +1$代入$a + 3b = -2$，得$b +1 +3b = -2$，解得$b = -\frac{3}{4}$，则$a = \frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $\frac{x+2}{2x+7}$；(3) $a=\frac{1}{4},b=-\frac{3}{4}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算、二元一次方程组的解法
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“互联分式”的定义，将问题转化为分式运算和解方程组，考查学生的阅读理解能力与知识迁移应用能力，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先明确“互联分式”的定义：若分式$M$与$N$满足$M - N = MN$，则称$N$是$M$的“互联分式”。解题时：（1）需分别计算两个分式的差和积，验证是否相等；（2）仿照示例，设所求互联分式为$N$，根据定义列方程，通过移项、合并同类项求解$N$；（3）先从（1）（2）中总结规律，再结合题目给出的两个分式，根据规律列出关于$a$、$b$的方程组，解方程组得到结果。
【解析】
（1）判断$\frac{3}{x+2}$与$\frac{3}{x+5}$是否为“互联分式”：
计算差：$\frac{3}{x+2} - \frac{3}{x+5} = \frac{3(x+5)-3(x+2)}{(x+2)(x+5)} = \frac{3x+15-3x-6}{(x+2)(x+5)} = \frac{9}{(x+2)(x+5)}$；
计算积：$\frac{3}{x+2}×\frac{3}{x+5} = \frac{9}{(x+2)(x+5)}$；
因为差等于积，所以二者是“互联分式”。
（2）设$\frac{x+2}{x+5}$的“互联分式”为$N$，根据定义得：
$\frac{x+2}{x+5} - N = \frac{x+2}{x+5}×N$；
移项整理：$\frac{x+2}{x+5} = N + \frac{x+2}{x+5}×N = N×\frac{(x+5)+(x+2)}{x+5} = N×\frac{2x+7}{x+5}$；
两边同乘$\frac{x+5}{2x+7}$，得$N = \frac{x+2}{2x+7}$。
（3）从（1）（2）总结规律：若分式$\frac{y}{x}$的“互联分式”是$\frac{y}{x+y}$。
已知$\frac{4a - 2}{bx + b}$是$\frac{4b + 2}{bx + a}$的“互联分式”，对比规律可得：
分子满足：$4b + 2 = 4a - 2$；
分母满足：$bx + a = (bx + b) + (4b + 2)$；
整理方程组：$\begin{cases}4a - 4b = 4 \\ a = b + 4b + 2 \end{cases}$，即$\begin{cases}a - b = 1 \\ a + 3b = -2 \end{cases}$；
解方程组：将$a = b +1$代入$a + 3b = -2$，得$b +1 +3b = -2$，解得$b = -\frac{3}{4}$，则$a = \frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $\frac{x+2}{2x+7}$；(3) $a=\frac{1}{4},b=-\frac{3}{4}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算、二元一次方程组的解法
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“互联分式”的定义，将问题转化为分式运算和解方程组，考查学生的阅读理解能力与知识迁移应用能力，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
