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11.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助图形的直观性,可以帮助理解数学问题,现有长与宽分别为$a,b$的小长方形若干个。
(1)用两个这样的小长方形拼成如图1所示的大正方形,请写出图1所能解释的乘法公式:$\underline{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$。
(2)用四个相同的小长方形拼成如图2所示的大正方形,请根据图形写出三个代数式$(a + b)^2,(a - b)^2,4ab$之间的等量关系式:$\underline{(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab}$。
根据上面的解题思路与方法,解决下面的问题:
(3)直接写出下列问题的答案。
①若$2m + 3n = 5,mn = 1$,则$2m - 3n = \underline{\pm\sqrt{17}}$。
②若$(2025 - m)(2026 - m) = 6$,则$(2025 - m)^2 + (2026 - m)^2 = \underline{13}$。
(4)如图3,点$C$是线段$AB$上的一点,以$AC,BC$为边向两边作正方形,设$AB = 7$,两正方形的面积和$S_1 + S_2 = 16$,请根据以上信息求图中阴影部分的面积。
(1)用两个这样的小长方形拼成如图1所示的大正方形,请写出图1所能解释的乘法公式:$\underline{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$。
(2)用四个相同的小长方形拼成如图2所示的大正方形,请根据图形写出三个代数式$(a + b)^2,(a - b)^2,4ab$之间的等量关系式:$\underline{(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab}$。
根据上面的解题思路与方法,解决下面的问题:
(3)直接写出下列问题的答案。
①若$2m + 3n = 5,mn = 1$,则$2m - 3n = \underline{\pm\sqrt{17}}$。
②若$(2025 - m)(2026 - m) = 6$,则$(2025 - m)^2 + (2026 - m)^2 = \underline{13}$。
(4)如图3,点$C$是线段$AB$上的一点,以$AC,BC$为边向两边作正方形,设$AB = 7$,两正方形的面积和$S_1 + S_2 = 16$,请根据以上信息求图中阴影部分的面积。
答案
11.(1)$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
(2)$(a + b)^2=(a - b)^2 + 4ab$
(3)①$\pm1$ ②13
(4)解:由题意,得$AB=AC + CB$。因为$AB=7$,所以$AC + CB=7$。因为$S_1 + S_2=16$,所以$AC^2 + CB^2=16$。因为$(AC + CB)^2=AC^2 + CB^2 + 2AC·CB$, 所以$AC·CB=\frac{1}{2}[(AC + CB)^2 - (AC^2 + CB^2)]=\frac{1}{2}×(49 - 16)=\frac{33}{2}$, 所以$S_{阴影}=CD·CB=AC·CB=\frac{33}{2}$,即图中阴影部分的面积为$\frac{33}{2}$。
(2)$(a + b)^2=(a - b)^2 + 4ab$
(3)①$\pm1$ ②13
(4)解:由题意,得$AB=AC + CB$。因为$AB=7$,所以$AC + CB=7$。因为$S_1 + S_2=16$,所以$AC^2 + CB^2=16$。因为$(AC + CB)^2=AC^2 + CB^2 + 2AC·CB$, 所以$AC·CB=\frac{1}{2}[(AC + CB)^2 - (AC^2 + CB^2)]=\frac{1}{2}×(49 - 16)=\frac{33}{2}$, 所以$S_{阴影}=CD·CB=AC·CB=\frac{33}{2}$,即图中阴影部分的面积为$\frac{33}{2}$。
解析
【分析】
本题围绕完全平方公式的几何背景展开，核心思路是利用图形面积与代数公式的对应关系，结合完全平方公式的变形解决代数求值和几何面积问题。对于代数求值，通过设元将式子转化为完全平方公式的形式；对于几何面积，将线段长度对应公式中的变量，利用面积关系推导所求结果。
【解析】
(1) 图1是边长为$a+b$的大正方形，面积为$(a+b)^2$；该大正方形由边长为$a$、$b$的两个小正方形和两个长$a$宽$b$的长方形组成，总面积为$a^2 + b^2 + 2ab$，因此对应公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
(2) 图2是边长为$a+b$的大正方形，中间小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$；大正方形面积减去中间小正方形面积等于4个小长方形的面积，即$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$，变形得等量关系：$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$；
(3) ① 设$x=2m$，$y=3n$，则已知$x+y=5$，$xy=2m×3n=6mn=6×1=6$；根据完全平方公式变形：$(x-y)^2=(x+y)^2 -4xy$，代入得$(2m-3n)^2=5^2 -4×6=25-24=1$，故$2m-3n=±1$；
② 设$x=2025-m$，$y=2026-m$，则$y-x=1$，已知$xy=6$；根据完全平方公式变形：$x^2 + y^2=(y-x)^2 +2xy$，代入得$(2025-m)^2 + (2026-m)^2=1^2 +2×6=13$；
(4) 设$AC=a$，$BC=b$，由题意得：$AB=a+b=7$，$S_1 + S_2=a^2 + b^2=16$；根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2 +2ab +b^2$，代入得$7^2=16 +2ab$，解得$ab=\frac{49-16}{2}=\frac{33}{2}$；图中阴影部分面积为$CD·BC=AC·BC=ab=\frac{33}{2}$；
【答案】
(1)$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；(2)$(a+b)^2=(a-b)^2 +4ab$；(3)①$\pm1$；②$13$；(4)$\frac{33}{2}$
【知识点】
完全平方公式、数形结合思想、代数式求值
【点评】
本题通过几何图形直观推导完全平方公式，再利用公式变形解决代数和几何问题，体现了数形结合的核心思想，需熟练掌握完全平方公式的灵活应用。
【难度系数】
0.5
本题围绕完全平方公式的几何背景展开，核心思路是利用图形面积与代数公式的对应关系，结合完全平方公式的变形解决代数求值和几何面积问题。对于代数求值，通过设元将式子转化为完全平方公式的形式；对于几何面积，将线段长度对应公式中的变量，利用面积关系推导所求结果。
【解析】
(1) 图1是边长为$a+b$的大正方形，面积为$(a+b)^2$；该大正方形由边长为$a$、$b$的两个小正方形和两个长$a$宽$b$的长方形组成，总面积为$a^2 + b^2 + 2ab$，因此对应公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
(2) 图2是边长为$a+b$的大正方形，中间小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$；大正方形面积减去中间小正方形面积等于4个小长方形的面积，即$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$，变形得等量关系：$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$；
(3) ① 设$x=2m$，$y=3n$，则已知$x+y=5$，$xy=2m×3n=6mn=6×1=6$；根据完全平方公式变形：$(x-y)^2=(x+y)^2 -4xy$，代入得$(2m-3n)^2=5^2 -4×6=25-24=1$，故$2m-3n=±1$；
② 设$x=2025-m$，$y=2026-m$，则$y-x=1$，已知$xy=6$；根据完全平方公式变形：$x^2 + y^2=(y-x)^2 +2xy$，代入得$(2025-m)^2 + (2026-m)^2=1^2 +2×6=13$；
(4) 设$AC=a$，$BC=b$，由题意得：$AB=a+b=7$，$S_1 + S_2=a^2 + b^2=16$；根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2 +2ab +b^2$，代入得$7^2=16 +2ab$，解得$ab=\frac{49-16}{2}=\frac{33}{2}$；图中阴影部分面积为$CD·BC=AC·BC=ab=\frac{33}{2}$；
【答案】
(1)$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；(2)$(a+b)^2=(a-b)^2 +4ab$；(3)①$\pm1$；②$13$；(4)$\frac{33}{2}$
【知识点】
完全平方公式、数形结合思想、代数式求值
【点评】
本题通过几何图形直观推导完全平方公式，再利用公式变形解决代数和几何问题，体现了数形结合的核心思想，需熟练掌握完全平方公式的灵活应用。
【难度系数】
0.5
