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9. (2024·金华市浦江县期末)一个长方形的长、宽分别为$a\ \mathrm{cm}$，$b\ \mathrm{cm}$，如果将长方形的长和宽分别增加2 cm和3 cm。
(1)新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
(2)若$a=4\ \mathrm{cm}$，$b=3\ \mathrm{cm}$，求长方形增加的面积。
(3)如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求$(a-2)(b-3)$的值。
(1)新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
(2)若$a=4\ \mathrm{cm}$，$b=3\ \mathrm{cm}$，求长方形增加的面积。
(3)如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求$(a-2)(b-3)$的值。
答案
9.(1)解:由题意,得新长方形的面积为$S_新=(a + 2)(b + 3)=(ab + 3a + 2b + 6)\mathrm{cm}^2$,原长方形的面积为$S=ab\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_新 - S=ab + 3a + 2b + 6 - ab=(3a + 2b + 6)\mathrm{cm}^2$。
(2)解:当$a=4\ \mathrm{cm},b=3\ \mathrm{cm}$时,由(1)可知,$S_新 - S=3a + 2b + 6=3×4 + 2×3 + 6=24(\mathrm{cm}^2)$。
(3)解:因为$ab + 3a + 2b + 6=2ab$,所以$ab - 3a - 2b=6$,所以$(a - 2)(b - 3)=ab - 3a - 2b + 6=6 + 6=12$。
(2)解:当$a=4\ \mathrm{cm},b=3\ \mathrm{cm}$时,由(1)可知,$S_新 - S=3a + 2b + 6=3×4 + 2×3 + 6=24(\mathrm{cm}^2)$。
(3)解:因为$ab + 3a + 2b + 6=2ab$,所以$ab - 3a - 2b=6$,所以$(a - 2)(b - 3)=ab - 3a - 2b + 6=6 + 6=12$。
解析
【分析】
本题分三个小问逐步求解：(1)求面积增加量，需先分别计算新、原长方形面积，再作差化简；(2)代入给定的长、宽数值，直接计算增加的面积；(3)根据新面积与原面积的倍数关系推导代数式，再利用整体代入思想求目标式的值。
【解析】
(1) 原长方形面积为$S_{原}=ab\ \mathrm{cm}^2$，新长方形的长为$(a+2)\ \mathrm{cm}$、宽为$(b+3)\ \mathrm{cm}$，则新面积$S_{新}=(a+2)(b+3)=ab + 3a + 2b + 6\ \mathrm{cm}^2$，增加的面积为：$S_{新}-S_{原}=(ab + 3a + 2b + 6)-ab=3a + 2b + 6\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 当$a=4\ \mathrm{cm}$，$b=3\ \mathrm{cm}$时，代入(1)的结果：$3×4 + 2×3 + 6=12+6+6=24\ \mathrm{cm}^2$；
(3) 由题意得$S_{新}=2S_{原}$，即$ab + 3a + 2b + 6=2ab$，整理得$ab - 3a - 2b=6$。展开$(a-2)(b-3)=ab - 3a - 2b + 6$，代入$ab - 3a - 2b=6$，得$6+6=12$。
【答案】
(1) 增加的面积为$(3a + 2b + 6)\ \mathrm{cm}^2$；(2) 增加的面积为$24\ \mathrm{cm}^2$；(3) $(a-2)(b-3)$的值为12。
【知识点】
多项式乘多项式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题是整式运算在几何面积问题中的应用，分层考察多项式展开、代入求值及整体代入思想，属于基础题型，能有效检验学生对整式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.7
本题分三个小问逐步求解：(1)求面积增加量，需先分别计算新、原长方形面积，再作差化简；(2)代入给定的长、宽数值，直接计算增加的面积；(3)根据新面积与原面积的倍数关系推导代数式，再利用整体代入思想求目标式的值。
【解析】
(1) 原长方形面积为$S_{原}=ab\ \mathrm{cm}^2$，新长方形的长为$(a+2)\ \mathrm{cm}$、宽为$(b+3)\ \mathrm{cm}$，则新面积$S_{新}=(a+2)(b+3)=ab + 3a + 2b + 6\ \mathrm{cm}^2$，增加的面积为：$S_{新}-S_{原}=(ab + 3a + 2b + 6)-ab=3a + 2b + 6\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 当$a=4\ \mathrm{cm}$，$b=3\ \mathrm{cm}$时，代入(1)的结果：$3×4 + 2×3 + 6=12+6+6=24\ \mathrm{cm}^2$；
(3) 由题意得$S_{新}=2S_{原}$，即$ab + 3a + 2b + 6=2ab$，整理得$ab - 3a - 2b=6$。展开$(a-2)(b-3)=ab - 3a - 2b + 6$，代入$ab - 3a - 2b=6$，得$6+6=12$。
【答案】
(1) 增加的面积为$(3a + 2b + 6)\ \mathrm{cm}^2$；(2) 增加的面积为$24\ \mathrm{cm}^2$；(3) $(a-2)(b-3)$的值为12。
【知识点】
多项式乘多项式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题是整式运算在几何面积问题中的应用，分层考察多项式展开、代入求值及整体代入思想，属于基础题型，能有效检验学生对整式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10. (2025·台州市路桥区期末)如图,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b,其中a大于2b。
(1)若$a=6,b=2$,求阴影部分的面积。
(2)请用含a,b的代数式表示阴影部分的面积。
(3)若图中空白部分的面积比阴影部分的面积大2.5,且a,b为整数,求a的值。
(1)若$a=6,b=2$,求阴影部分的面积。
(2)请用含a,b的代数式表示阴影部分的面积。
(3)若图中空白部分的面积比阴影部分的面积大2.5,且a,b为整数,求a的值。
答案
10.(1)解:如图,延长GF,AD交于点H。因为正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b,$a=6,b=2$,所以$S_{阴影}=S_{长方形ABGH} - S_{三角形ABD} - S_{三角形DHF} - S_{三角形BCF}=6×(6 + 2)-\frac{1}{2}×6×6 - \frac{1}{2}×2×(6 - 2)-\frac{1}{2}×6×2=48 - 18 - 4 - 6=20$。
(2)解:由(1)得$S_{阴影}=S_{长方形ABGH} - S_{三角形ABD} - S_{三角形DHF} - S_{三角形BCF}=a(a + b)-\frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a - b)-\frac{1}{2}ab=a^2 + ab - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$。
(3)解:由题意,得$S_{空白}=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab$。因为图中空白部分的面积比阴影部分的面积大2.5,所以$S_{空白} - S_{阴影}=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab - (\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2)=\frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}b(a - b)=2.5$,所以$b(a - b)=5$。因为a,b为整数,所以$\begin{cases}a=6,\\b=1,\end{cases}$或$\begin{cases}a=6,\\b=5。\end{cases}$因为a大于2b,所以$a=6$。
解析
【分析】
本题是几何图形面积计算问题，采用“补形法”（整体减空白）的思路：将两个正方形的组合图形补成一个长为$(a+b)$、宽为$a$的长方形，阴影部分面积等于该长方形面积减去三个空白三角形（$△ ABD$、$△ DHF$、$△ BCF$）的面积，通过整式运算化简得到阴影面积的表达式，再结合整数条件求解$a$的值。
【解析】
(1) 当$a=6$，$b=2$时，
补成的长方形$ABGH$的面积为：$a(a+b)=6×(6+2)=48$；
空白三角形$△ ABD$的面积为：$\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}×6×6=18$；
空白三角形$△ DHF$的面积为：$\frac{1}{2}b(a-b)=\frac{1}{2}×2×(6-2)=4$；
空白三角形$△ BCF$的面积为：$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×6×2=6$；
因此阴影部分面积为：$48 - 18 - 4 - 6 = 20$。
(2) 用含$a,b$的代数式表示时，
长方形$ABGH$面积：$a(a+b)=a^2 + ab$；
三个空白三角形面积和：$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b(a-b) + \frac{1}{2}ab$；
化简得：$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a^2 + ab - \frac{1}{2}b^2$；
所以阴影面积：$a^2 + ab - (\frac{1}{2}a^2 + ab - \frac{1}{2}b^2) = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$。
(3) 由题意，空白部分面积为$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab$，已知空白面积比阴影面积大2.5，因此：
$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab - (\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2) = 2.5$；
化简得：$\frac{1}{2}b(a - b) = 2.5$，即$b(a - b)=5$；
因为$a,b$为整数，且$a＞2b$，5的正整数因数对为$(1,5)$，分情况讨论：
若$b=1$，则$a - b=5$，得$a=6$，此时$6＞2×1=2$，符合条件；
若$b=5$，则$a - b=1$，得$a=6$，此时$6＜2×5=10$，不符合条件；
故$a=6$。
【答案】
(1) $20$；(2) $\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$；(3) $a=6$
【知识点】
正方形面积、三角形面积、整式运算
【点评】
本题通过补形法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，结合整式化简和整数解分析，考查几何直观与代数运算能力，是几何与代数结合的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是几何图形面积计算问题，采用“补形法”（整体减空白）的思路：将两个正方形的组合图形补成一个长为$(a+b)$、宽为$a$的长方形，阴影部分面积等于该长方形面积减去三个空白三角形（$△ ABD$、$△ DHF$、$△ BCF$）的面积，通过整式运算化简得到阴影面积的表达式，再结合整数条件求解$a$的值。
【解析】
(1) 当$a=6$，$b=2$时，
补成的长方形$ABGH$的面积为：$a(a+b)=6×(6+2)=48$；
空白三角形$△ ABD$的面积为：$\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}×6×6=18$；
空白三角形$△ DHF$的面积为：$\frac{1}{2}b(a-b)=\frac{1}{2}×2×(6-2)=4$；
空白三角形$△ BCF$的面积为：$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×6×2=6$；
因此阴影部分面积为：$48 - 18 - 4 - 6 = 20$。
(2) 用含$a,b$的代数式表示时，
长方形$ABGH$面积：$a(a+b)=a^2 + ab$；
三个空白三角形面积和：$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b(a-b) + \frac{1}{2}ab$；
化简得：$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}a^2 + ab - \frac{1}{2}b^2$；
所以阴影面积：$a^2 + ab - (\frac{1}{2}a^2 + ab - \frac{1}{2}b^2) = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$。
(3) 由题意，空白部分面积为$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab$，已知空白面积比阴影面积大2.5，因此：
$\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab - (\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2) = 2.5$；
化简得：$\frac{1}{2}b(a - b) = 2.5$，即$b(a - b)=5$；
因为$a,b$为整数，且$a＞2b$，5的正整数因数对为$(1,5)$，分情况讨论：
若$b=1$，则$a - b=5$，得$a=6$，此时$6＞2×1=2$，符合条件；
若$b=5$，则$a - b=1$，得$a=6$，此时$6＜2×5=10$，不符合条件；
故$a=6$。
【答案】
(1) $20$；(2) $\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$；(3) $a=6$
【知识点】
正方形面积、三角形面积、整式运算
【点评】
本题通过补形法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，结合整式化简和整数解分析，考查几何直观与代数运算能力，是几何与代数结合的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
