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14.如图,在$△ ABC$中,D是BC边的中点,AE平分$∠ BAC,AE ⊥ BF$于点E,已知$AB=8,AC=14$,则DE的长为________。
答案
3
解析
【分析】
要计算DE的长度，需结合已知条件AE平分∠BAC且AE⊥BF，通过延长BF构造等腰三角形，利用全等三角形得到线段关系，再结合D是BC中点，运用三角形中位线定理求解。具体思路：延长BF交AC于点G，由角平分线和垂直条件证明△ABE≌△AGE，得AB=AG且E为BG中点；再根据D是BC中点，可知DE是△BCG的中位线，进而计算DE的长度。
【解析】
延长BF交AC于点G。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠GAE。
又
∵AE⊥BF，
∴∠AEB=∠AEG=90°。
在△ABE和△AGE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠GAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEG\end{array} $
∴△ABE≌△AGE（ASA），
∴AB=AG=8，E为BG的中点。
∵D是BC边的中点，
∴DE是△BCG的中位线，
根据三角形中位线定理，DE=$\frac{1}{2}$CG。
又
∵CG=AC - AG=14 -8=6，
∴DE=$\frac{1}{2}$×6=3。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理，全等三角形的判定，等腰三角形的判定
【点评】
本题通过构造辅助线将分散的线段集中，综合运用全等三角形和三角形中位线的知识求解，重点考查几何图形的性质应用与辅助线的构造，是一道典型的几何中档题。
【难度系数】
0.5
要计算DE的长度，需结合已知条件AE平分∠BAC且AE⊥BF，通过延长BF构造等腰三角形，利用全等三角形得到线段关系，再结合D是BC中点，运用三角形中位线定理求解。具体思路：延长BF交AC于点G，由角平分线和垂直条件证明△ABE≌△AGE，得AB=AG且E为BG中点；再根据D是BC中点，可知DE是△BCG的中位线，进而计算DE的长度。
【解析】
延长BF交AC于点G。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠GAE。
又
∵AE⊥BF，
∴∠AEB=∠AEG=90°。
在△ABE和△AGE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠GAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEG\end{array} $
∴△ABE≌△AGE（ASA），
∴AB=AG=8，E为BG的中点。
∵D是BC边的中点，
∴DE是△BCG的中位线，
根据三角形中位线定理，DE=$\frac{1}{2}$CG。
又
∵CG=AC - AG=14 -8=6，
∴DE=$\frac{1}{2}$×6=3。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理，全等三角形的判定，等腰三角形的判定
【点评】
本题通过构造辅助线将分散的线段集中，综合运用全等三角形和三角形中位线的知识求解，重点考查几何图形的性质应用与辅助线的构造，是一道典型的几何中档题。
【难度系数】
0.5
15.如图,菱形ABCD的面积为12,E是BC的中点,F是AB上一点。若$△ BEF$的面积为2,则图中阴影部分的面积为
5
。答案
5
解析
【分析】要解决这个问题，首先利用菱形的性质，连接对角线BD将菱形分成两个面积相等的三角形，每个三角形面积为6。接着根据E是BC中点，得出△BDE的面积是△BCD面积的一半，即3。再结合△BEF的面积为2，通过坐标法或面积比例关系，计算出阴影部分△DEF的面积。
【解析】连接BD，
∵菱形ABCD的面积为12，
∴$S_{△ABD}=S_{△BCD}=\frac{1}{2}×12=6$。
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，△BDE与△CDE等底同高，因此$S_{△BDE}=S_{△CDE}=\frac{1}{2}×S_{△BCD}=3$。设菱形的底BC为c，高为h，则菱形面积$c·h=12$。取B为原点，BC在x轴，设B(0,0)，C(c,0)，A(a,b)，则D(a+c,b)，E($\frac{c}{2}$,0)，由△BEF面积为2推导得F点坐标为($\frac{2a}{3}$,$\frac{2b}{3}$)。利用三点坐标求三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$，代入三点D(a+c,b)、E($\frac{c}{2}$,0)、F($\frac{2a}{3}$,$\frac{2b}{3}$)，计算得阴影△DEF的面积为5。
【答案】5
【知识点】菱形的性质，三角形面积计算
【点评】本题考查菱形的性质与三角形面积的计算，需通过辅助线分割菱形，结合中点的面积比例关系求解，对几何分析能力有一定要求。
【难度系数】0.5
【解析】连接BD，
∵菱形ABCD的面积为12，
∴$S_{△ABD}=S_{△BCD}=\frac{1}{2}×12=6$。
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，△BDE与△CDE等底同高，因此$S_{△BDE}=S_{△CDE}=\frac{1}{2}×S_{△BCD}=3$。设菱形的底BC为c，高为h，则菱形面积$c·h=12$。取B为原点，BC在x轴，设B(0,0)，C(c,0)，A(a,b)，则D(a+c,b)，E($\frac{c}{2}$,0)，由△BEF面积为2推导得F点坐标为($\frac{2a}{3}$,$\frac{2b}{3}$)。利用三点坐标求三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$，代入三点D(a+c,b)、E($\frac{c}{2}$,0)、F($\frac{2a}{3}$,$\frac{2b}{3}$)，计算得阴影△DEF的面积为5。
【答案】5
【知识点】菱形的性质，三角形面积计算
【点评】本题考查菱形的性质与三角形面积的计算，需通过辅助线分割菱形，结合中点的面积比例关系求解，对几何分析能力有一定要求。
【难度系数】0.5
16.如图,在$□ ABCD$中,$AD=4$,$AB=10$,$∠ DAB=60°$,点$E$为$□ ABCD$内一点且在$CD$的垂直平分线$l$上,连结$DE$,$CE$,$AE$,$BE$,当$∠ EBA=2∠ EAB$时,$AE$的长为________。
答案
$2\sqrt{14}$ 解析:如图,在线段 AP 上取点 F,使 PF=PB,连结 FE,再过点 B 作 BH⊥DC,H 为垂足。则由四边形 ABCD 为平行四边形,得 DC=AB=10,BC=AD=4,∠BCD=∠DAB=60°。又因为l 为 CD 的垂直平分线,所以$QC=DQ=\frac{1}{2}DC=5$,所以 QH$=QC-CH=5-\frac{1}{2}BC=5-\frac{1}{2}×4=3$。因为 QP⊥AB,QP⊥DC,BH⊥DC,所以四边形 QHBP 为矩形,所以 PB=QH=3,所以 PF=3,AF=AB-PF-PB=10-3-3=4。因为 EP⊥AB,PF=PB,所以 EF=EB,所以∠EFB=∠EBF。因为∠EBA=2∠EAB,所以∠EFB=2∠EAB,所以∠AEF=∠EFB-∠EAB=2∠EAB-∠EAB=∠EAB,所以 AF=EF,所以 EF=4,故$AE^2=AP^2+PE^2=AP^2+FE^2-PF^2=(4+3)^2+4^2-3^2=56$,$AE=2\sqrt{14}$。
解析
【分析】
要解决本题，需先利用平行四边形的性质得到边、角关系，结合CD的垂直平分线的性质确定线段长度；再根据∠EBA=2∠EAB的角的倍数关系，通过构造等腰三角形转化角的关系，最终用勾股定理计算AE的长度。具体思路：1. 由平行四边形得CD=AB=10，BC=AD=4，∠BCD=∠DAB=60°；2. 利用垂直平分线性质和矩形性质，计算AB边上的线段PB、PF、AF的长度；3. 构造辅助线PF=PB，得到EF=EB，转化角的关系推出AF=EF；4. 结合勾股定理计算AE。
【解析】
如图，在线段AP上取点F，使PF=PB，连结FE，过点B作BH⊥DC，H为垂足。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=10，BC=AD=4，∠BCD=∠DAB=60°，AB//DC。
∵l是CD的垂直平分线，
∴QC=DQ=½DC=5，QP⊥DC（Q为l与DC交点，P为l与AB交点）。
又
∵BH⊥DC，QP⊥AB，
∴四边形QHBP是矩形，故PB=QH。
在Rt△BCH中，∠BCH=60°，BC=4，
∴CH=½BC=2，
∴QH=QC-CH=5-2=3，即PB=3。
∵PF=PB，
∴PF=3，
∴AF=AB-PF-PB=10-3-3=4。
∵EP⊥AB，PF=PB，
∴EF=EB，故∠EFB=∠EBF。
已知∠EBA=2∠EAB，
∴∠EFB=2∠EAB，
又
∵∠AEF=∠EFB-∠EAB=∠EAB，
∴AF=EF=4。
在Rt△EPF中，EF=4，PF=3，
∴EP²=EF²-PF²=16-9=7。
在Rt△APE中，AP=AF+PF=7，
∴AE²=AP²+EP²=49+7=56，
∴AE=√56=2√14。
【答案】
2√14
【知识点】
平行四边形性质、垂直平分线性质、勾股定理
【点评】
本题为几何综合题，综合考查平行四边形、垂直平分线、等腰三角形及勾股定理的应用，核心是根据角的倍数关系构造等腰三角形转化角，需具备图形分析和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需先利用平行四边形的性质得到边、角关系，结合CD的垂直平分线的性质确定线段长度；再根据∠EBA=2∠EAB的角的倍数关系，通过构造等腰三角形转化角的关系，最终用勾股定理计算AE的长度。具体思路：1. 由平行四边形得CD=AB=10，BC=AD=4，∠BCD=∠DAB=60°；2. 利用垂直平分线性质和矩形性质，计算AB边上的线段PB、PF、AF的长度；3. 构造辅助线PF=PB，得到EF=EB，转化角的关系推出AF=EF；4. 结合勾股定理计算AE。
【解析】
如图，在线段AP上取点F，使PF=PB，连结FE，过点B作BH⊥DC，H为垂足。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=10，BC=AD=4，∠BCD=∠DAB=60°，AB//DC。
∵l是CD的垂直平分线，
∴QC=DQ=½DC=5，QP⊥DC（Q为l与DC交点，P为l与AB交点）。
又
∵BH⊥DC，QP⊥AB，
∴四边形QHBP是矩形，故PB=QH。
在Rt△BCH中，∠BCH=60°，BC=4，
∴CH=½BC=2，
∴QH=QC-CH=5-2=3，即PB=3。
∵PF=PB，
∴PF=3，
∴AF=AB-PF-PB=10-3-3=4。
∵EP⊥AB，PF=PB，
∴EF=EB，故∠EFB=∠EBF。
已知∠EBA=2∠EAB，
∴∠EFB=2∠EAB，
又
∵∠AEF=∠EFB-∠EAB=∠EAB，
∴AF=EF=4。
在Rt△EPF中，EF=4，PF=3，
∴EP²=EF²-PF²=16-9=7。
在Rt△APE中，AP=AF+PF=7，
∴AE²=AP²+EP²=49+7=56，
∴AE=√56=2√14。
【答案】
2√14
【知识点】
平行四边形性质、垂直平分线性质、勾股定理
【点评】
本题为几何综合题，综合考查平行四边形、垂直平分线、等腰三角形及勾股定理的应用，核心是根据角的倍数关系构造等腰三角形转化角，需具备图形分析和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.4
三、解答题(本题有8小题,共72分)
17.(8分)计算:
(1)$\sqrt{8}+\sqrt{3}×\sqrt{6}$。
(2)$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$。
17.(8分)计算:
(1)$\sqrt{8}+\sqrt{3}×\sqrt{6}$。
(2)$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$。
答案
(1)原式$=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
(2)原式$=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{3}+2}{6-2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
(2)原式$=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{3}+2}{6-2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，需遵循“先乘除后加减”的运算顺序，同时掌握二次根式化简、乘法法则及分母有理化方法。第(1)题先将√8化为最简二次根式，再计算二次根式乘法，最后合并同类二次根式；第(2)题利用平方差公式对分母有理化，分子分母同乘分母的有理化因式，再化简计算。
【解析】
(1) 先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式：
原式 = √(4×2) + √(3×6) = 2√2 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2；
(2) 对分母进行有理化，利用平方差公式(a-b)(a+b)=a²-b²：
原式 = [√2×(√6 + √2)] / [(√6 - √2)(√6 + √2)] = (√12 + √4) / (6 - 2) = (2√3 + 2)/4 = (√3 + 1)/2。
【答案】
(1) 5√2；(2) (√3 + 1)/2
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的乘法、分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查最简二次根式的化简、二次根式乘法法则及分母有理化的方法，运算过程需注意运算顺序和同类二次根式的合并，属于初中数学的核心基础内容，学生需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的混合运算，需遵循“先乘除后加减”的运算顺序，同时掌握二次根式化简、乘法法则及分母有理化方法。第(1)题先将√8化为最简二次根式，再计算二次根式乘法，最后合并同类二次根式；第(2)题利用平方差公式对分母有理化，分子分母同乘分母的有理化因式，再化简计算。
【解析】
(1) 先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式：
原式 = √(4×2) + √(3×6) = 2√2 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2；
(2) 对分母进行有理化，利用平方差公式(a-b)(a+b)=a²-b²：
原式 = [√2×(√6 + √2)] / [(√6 - √2)(√6 + √2)] = (√12 + √4) / (6 - 2) = (2√3 + 2)/4 = (√3 + 1)/2。
【答案】
(1) 5√2；(2) (√3 + 1)/2
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的乘法、分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查最简二次根式的化简、二次根式乘法法则及分母有理化的方法，运算过程需注意运算顺序和同类二次根式的合并，属于初中数学的核心基础内容，学生需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
18.(8分)解方程：
(1)$x^2 + 6x - 7 = 0$。
(2)$4x(2x + 1) = 3(2x + 1)$。
(1)$x^2 + 6x - 7 = 0$。
(2)$4x(2x + 1) = 3(2x + 1)$。
答案
(1)$x^2+6x-7=0,(x+7)(x-1)=0,x=-7$或1,所以$x_1=-7,x_2=1$。
(2)$4x(2x+1)=3(2x+1),(4x-3)(2x+1)=0,x=\frac{3}{4}$或$-\frac{1}{2}$,所以$x_1=\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{2}$。
(2)$4x(2x+1)=3(2x+1),(4x-3)(2x+1)=0,x=\frac{3}{4}$或$-\frac{1}{2}$,所以$x_1=\frac{3}{4},x_2=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】解一元二次方程时，优先选用因式分解法简化计算。第(1)题是二次三项式，可通过十字相乘法分解因式；第(2)题存在公因式$(2x+1)$，需先移项再提公因式分解，将方程转化为两个一次方程求解，注意不能直接约去公因式避免漏解。
【解析】
(1) 对$x^2 + 6x -7 =0$因式分解：
利用十字相乘法，将常数项$-7$分解为$7$和$-1$，满足$7 + (-1)=6$，因此方程可化为：
$(x +7)(x -1)=0$
则$x +7=0$或$x -1=0$，解得：
$x_1=-7$，$x_2=1$。
(2) 先移项，将方程$4x(2x +1)=3(2x +1)$变形为：
$4x(2x +1) -3(2x +1)=0$
提取公因式$(2x +1)$，得：
$(2x +1)(4x -3)=0$
则$2x +1=0$或$4x -3=0$，解得：
$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{3}{4}$。
【答案】(1)$x_1=-7$，$x_2=1$；(2)$x_1=\frac{3}{4}$，$x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，核心是因式分解的应用，需熟练掌握十字相乘法和提公因式法，第(2)题的易错点是直接约去公因式导致漏解，需注意移项后再分解。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 对$x^2 + 6x -7 =0$因式分解：
利用十字相乘法，将常数项$-7$分解为$7$和$-1$，满足$7 + (-1)=6$，因此方程可化为：
$(x +7)(x -1)=0$
则$x +7=0$或$x -1=0$，解得：
$x_1=-7$，$x_2=1$。
(2) 先移项，将方程$4x(2x +1)=3(2x +1)$变形为：
$4x(2x +1) -3(2x +1)=0$
提取公因式$(2x +1)$，得：
$(2x +1)(4x -3)=0$
则$2x +1=0$或$4x -3=0$，解得：
$x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{3}{4}$。
【答案】(1)$x_1=-7$，$x_2=1$；(2)$x_1=\frac{3}{4}$，$x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，核心是因式分解的应用，需熟练掌握十字相乘法和提公因式法，第(2)题的易错点是直接约去公因式导致漏解，需注意移项后再分解。
【难度系数】0.6
