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7. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$AD=5\ \mathrm{cm}$,$AE$和$BF$分别是$∠ BAD$和$∠ ABC$的平分线,交$CD$于点$E$和点$F$,则线段$EF$的长度为 （
A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm}$
C.$1\ \mathrm{cm}$
D.$2.5\ \mathrm{cm}$
B
）A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm}$
C.$1\ \mathrm{cm}$
D.$2.5\ \mathrm{cm}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需结合平行四边形的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定推导。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB//CD、CD=AB、AD=BC；再结合角平分线和平行线的内错角相等，推出等腰三角形，得到DE和CF的长度；最后根据线段和差关系计算EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，CD=AB=8 cm，AD=BC=5 cm。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠DAE=∠BAE。
又
∵ AB//CD，
∴ ∠BAE=∠DEA（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DAE=∠DEA，
∴ △ADE为等腰三角形，AD=DE=5 cm。
同理，BF平分∠ABC，
∴ ∠ABF=∠CBF。
∵ AB//CD，
∴ ∠ABF=∠CFB（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠CBF=∠CFB，
∴ △BCF为等腰三角形，BC=CF=5 cm。
∵ DE + CF = CD + EF（DE与CF重叠部分为EF），
∴ EF = DE + CF - CD = 5 + 5 - 8 = 2 cm。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、角平分线与等腰三角形的相关知识，核心是利用平行线和角平分线构造等腰三角形，进而通过线段和差计算所求长度，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合平行四边形的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定推导。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB//CD、CD=AB、AD=BC；再结合角平分线和平行线的内错角相等，推出等腰三角形，得到DE和CF的长度；最后根据线段和差关系计算EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，CD=AB=8 cm，AD=BC=5 cm。
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠DAE=∠BAE。
又
∵ AB//CD，
∴ ∠BAE=∠DEA（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DAE=∠DEA，
∴ △ADE为等腰三角形，AD=DE=5 cm。
同理，BF平分∠ABC，
∴ ∠ABF=∠CBF。
∵ AB//CD，
∴ ∠ABF=∠CFB（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠CBF=∠CFB，
∴ △BCF为等腰三角形，BC=CF=5 cm。
∵ DE + CF = CD + EF（DE与CF重叠部分为EF），
∴ EF = DE + CF - CD = 5 + 5 - 8 = 2 cm。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、角平分线与等腰三角形的相关知识，核心是利用平行线和角平分线构造等腰三角形，进而通过线段和差计算所求长度，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
8.随着全球能源危机的逐渐加重,太阳能发电行业发展迅速,全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长,2023年全球装机总量约600 GW,预计到2025年全球装机总量达到864 GW,设全球新增装机量的年平均增长率为$ x $,则可列的方程为 （
A.$ 600(1+2x)=864 $
B.$ 600+2x=864 $
C.$ (600+x)^2=864 $
D.$ 600(1+x)^2=864 $
D
）A.$ 600(1+2x)=864 $
B.$ 600+2x=864 $
C.$ (600+x)^2=864 $
D.$ 600(1+x)^2=864 $
答案
D
解析
【分析】
这是一道增长率相关的应用题，解题思路是：明确年平均增长率的计算逻辑，从2023年到2025年经过了2年，每年的装机总量以上一年为基础按增长率x增长，因此2025年的装机总量等于2023年装机总量乘以（1+增长率）的平方，据此列出对应方程即可。
【解析】
对于连续两年的年平均增长率问题，若初始量为a，年平均增长率为x，经过n年后的量为$a(1+x)^n$。本题中，2023年全球装机总量为600GW（即初始量a=600），从2023年到2025年经过了2年（n=2），2025年装机总量为864GW，代入公式可得方程：$600(1+x)^2=864$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】
本题是一元二次方程在增长率问题中的基础应用，核心是掌握连续两年增长的计算公式，属于常见的基础题型，需明确增长率问题的基本数量关系。
【难度系数】
0.7
这是一道增长率相关的应用题，解题思路是：明确年平均增长率的计算逻辑，从2023年到2025年经过了2年，每年的装机总量以上一年为基础按增长率x增长，因此2025年的装机总量等于2023年装机总量乘以（1+增长率）的平方，据此列出对应方程即可。
【解析】
对于连续两年的年平均增长率问题，若初始量为a，年平均增长率为x，经过n年后的量为$a(1+x)^n$。本题中，2023年全球装机总量为600GW（即初始量a=600），从2023年到2025年经过了2年（n=2），2025年装机总量为864GW，代入公式可得方程：$600(1+x)^2=864$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】
本题是一元二次方程在增长率问题中的基础应用，核心是掌握连续两年增长的计算公式，属于常见的基础题型，需明确增长率问题的基本数量关系。
【难度系数】
0.7
9. 如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转$45°$得到正方形$AB_1C_1D_1$。若边$B_1C_1$与CD相交于点O,则四边形$AB_1OD$的面积为
（
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{7}{10}$
C.$\sqrt{2}-1$
D.$\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$
（
C
）A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{7}{10}$
C.$\sqrt{2}-1$
D.$\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
要解决该问题，需利用正方形旋转的性质，结合全等三角形判定和特殊角三角函数值求解。首先明确正方形旋转后边长不变、旋转角为45°，通过分析线段和角度关系，将四边形面积转化为两个全等直角三角形的面积和，进而计算结果。
【解析】
1. 利用旋转性质确定边长与角度：
正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB₁C₁D₁，因此两正方形边长均为1，旋转角∠BAB₁=45°，故∠DAB₁=∠DAB - ∠BAB₁=90°-45°=45°，且AD=AB₁=1。
2. 证明三角形全等：
连接AO，在Rt△ADO和Rt△AB₁O中：
AD=AB₁=1，
AO为公共斜边，
根据HL定理，可得Rt△ADO≌Rt△AB₁O，因此∠DAO=∠OAB₁=∠DAB₁/2=22.5°。
3. 计算线段长度：
在Rt△ADO中，AD=1，特殊角三角函数值tan22.5°=√2 -1，故DO=AD·tan22.5°=1×(√2 -1)=√2 -1。
4. 计算四边形面积：
四边形AB₁OD的面积为两个全等直角三角形ADO和AB₁O的面积和，即：
$ S_{四边形AB₁OD}=2×\frac{1}{2}×AD×DO=AD×DO=1×(√2 -1)=√2 -1 $。
【答案】
√2 -1
【知识点】
正方形旋转性质、全等三角形判定、特殊角三角函数值
【点评】
本题结合正方形旋转的性质，通过全等三角形转化角度关系，利用特殊三角函数值计算线段长度，进而求解四边形面积，核心是找到全等三角形简化计算，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需利用正方形旋转的性质，结合全等三角形判定和特殊角三角函数值求解。首先明确正方形旋转后边长不变、旋转角为45°，通过分析线段和角度关系，将四边形面积转化为两个全等直角三角形的面积和，进而计算结果。
【解析】
1. 利用旋转性质确定边长与角度：
正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB₁C₁D₁，因此两正方形边长均为1，旋转角∠BAB₁=45°，故∠DAB₁=∠DAB - ∠BAB₁=90°-45°=45°，且AD=AB₁=1。
2. 证明三角形全等：
连接AO，在Rt△ADO和Rt△AB₁O中：
AD=AB₁=1，
AO为公共斜边，
根据HL定理，可得Rt△ADO≌Rt△AB₁O，因此∠DAO=∠OAB₁=∠DAB₁/2=22.5°。
3. 计算线段长度：
在Rt△ADO中，AD=1，特殊角三角函数值tan22.5°=√2 -1，故DO=AD·tan22.5°=1×(√2 -1)=√2 -1。
4. 计算四边形面积：
四边形AB₁OD的面积为两个全等直角三角形ADO和AB₁O的面积和，即：
$ S_{四边形AB₁OD}=2×\frac{1}{2}×AD×DO=AD×DO=1×(√2 -1)=√2 -1 $。
【答案】
√2 -1
【知识点】
正方形旋转性质、全等三角形判定、特殊角三角函数值
【点评】
本题结合正方形旋转的性质，通过全等三角形转化角度关系，利用特殊三角函数值计算线段长度，进而求解四边形面积，核心是找到全等三角形简化计算，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
10. 如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC=4,AC=2BC,D,F$是$AB$边上的动点,且$AD=BF$,过点$D,F$作$BC$的平行线交$AC$于点$E,G$。下列两条线段的和不随$D,F$的运动而改变的是 （
A.$AD+DF$
B.$DE+FG$
C.$AD+DE$
D.$DF+FG$
B
）A.$AD+DF$
B.$DE+FG$
C.$AD+DE$
D.$DF+FG$
答案
解析:如图,在线段 BC 上,取 CH=DE,因为 DE//BC,且 DE=CH,则四边形 DECH 为平行四边形,所以 DH//AC,所以∠DHB=∠ACB,∠BDH=∠FAG,因为 FG//BC,所以∠AGF=∠ACB,所以∠DHB=∠AGF,又因为 AD = BF, 所以 AF = DB, 故由$\begin{cases}∠DHB=∠AGF,\\∠BDH=∠FAG,\\DB=AF,\end{cases}$得$△ BDH≌△ FAG$(AAS),所以 BH=FG,所以$DE+FG=HC+BH=BC=\frac{1}{2}AC=2$,故B正确;而A项,$AD+DF=AB-BF=4-BF$,因为BF随点F变化而变化,故AD+DF不是定值;C项,易知当AD变大时,AD+DE变大;D项,易知当AD变大时,DF+FG变小。故选B。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确已知条件：等腰△ABC中，AB=AC=4，由AC=2BC可得BC=2；DE//BC，FG//BC，且AD=BF。核心思路是通过构造平行四边形、证明三角形全等，将动态线段转化为固定线段，判断哪组线段的和为定值。
【解析】
1. 计算BC长度：已知AC=4，且AC=2BC，因此BC=AC/2=2。
2. 构造平行四边形：取BC上点H，使CH=DE，因DE//BC且DE=CH，故四边形DECH是平行四边形，得DH//AC，因此∠DHB=∠ACB。
3. 利用等腰与平行线性质：AB=AC，故∠B=∠ACB，结合FG//BC得∠AGF=∠ACB，因此∠DHB=∠AGF。
4. 证明三角形全等：由AD=BF，得AF=AB-BF=AB-AD，DB=AB-AD，故AF=DB；又∠BDH=∠FAG（DH//AC得同位角相等），结合∠DHB=∠AGF、DB=AF，可证△BDH≌△FAG（AAS），得BH=FG。
5. 推导定值：DE+FG=CH+BH=BC=2，为固定值。
6. 排除其他选项：
A选项：AD+DF=AF=4-BF，BF随F运动变化，非定值；
C选项：由DE//BC得DE=AD/2，故AD+DE=(3/2)AD，AD随D运动变大，非定值；
D选项：DF=4-2AD，FG=2-AD/2，故DF+FG=6-(5/2)AD，AD变大时该值变小，非定值。
综上，只有DE+FG为定值，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例、全等三角形判定与性质、等腰三角形性质
【点评】
本题为动态几何问题，需通过辅助线转化线段，考察几何性质的灵活运用与逻辑推理能力，核心是将动态线段转化为固定的BC长度，对学生的几何转化思维要求较高。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先明确已知条件：等腰△ABC中，AB=AC=4，由AC=2BC可得BC=2；DE//BC，FG//BC，且AD=BF。核心思路是通过构造平行四边形、证明三角形全等，将动态线段转化为固定线段，判断哪组线段的和为定值。
【解析】
1. 计算BC长度：已知AC=4，且AC=2BC，因此BC=AC/2=2。
2. 构造平行四边形：取BC上点H，使CH=DE，因DE//BC且DE=CH，故四边形DECH是平行四边形，得DH//AC，因此∠DHB=∠ACB。
3. 利用等腰与平行线性质：AB=AC，故∠B=∠ACB，结合FG//BC得∠AGF=∠ACB，因此∠DHB=∠AGF。
4. 证明三角形全等：由AD=BF，得AF=AB-BF=AB-AD，DB=AB-AD，故AF=DB；又∠BDH=∠FAG（DH//AC得同位角相等），结合∠DHB=∠AGF、DB=AF，可证△BDH≌△FAG（AAS），得BH=FG。
5. 推导定值：DE+FG=CH+BH=BC=2，为固定值。
6. 排除其他选项：
A选项：AD+DF=AF=4-BF，BF随F运动变化，非定值；
C选项：由DE//BC得DE=AD/2，故AD+DE=(3/2)AD，AD随D运动变大，非定值；
D选项：DF=4-2AD，FG=2-AD/2，故DF+FG=6-(5/2)AD，AD变大时该值变小，非定值。
综上，只有DE+FG为定值，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例、全等三角形判定与性质、等腰三角形性质
【点评】
本题为动态几何问题，需通过辅助线转化线段，考察几何性质的灵活运用与逻辑推理能力，核心是将动态线段转化为固定的BC长度，对学生的几何转化思维要求较高。
【难度系数】
0.5
11.若一个正多边形的一个外角是$36°$,则这个多边形是正
十
边形。答案
十
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用多边形外角和的性质：任意多边形的外角和固定为360°，且正多边形的所有外角度数相等。因此，用外角和除以单个外角的度数，就能求出正多边形的边数。
【解析】
解：因为任意多边形的外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，设该正多边形的边数为$n$，则：
$n = 360°÷36° = 10$
所以这个多边形是正十边形。
【答案】
十
【知识点】
多边形外角和；正多边形的性质
【点评】
本题考查多边形外角和的基础应用，属于基础题型，只要牢记多边形外角和为360°，结合正多边形外角相等的性质即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，需利用多边形外角和的性质：任意多边形的外角和固定为360°，且正多边形的所有外角度数相等。因此，用外角和除以单个外角的度数，就能求出正多边形的边数。
【解析】
解：因为任意多边形的外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，设该正多边形的边数为$n$，则：
$n = 360°÷36° = 10$
所以这个多边形是正十边形。
【答案】
十
【知识点】
多边形外角和；正多边形的性质
【点评】
本题考查多边形外角和的基础应用，属于基础题型，只要牢记多边形外角和为360°，结合正多边形外角相等的性质即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
12.一元二次方程$x^2 - 5x + a = 0$的一个解为$x_1 = 1$，则另外一个解$x_2 =$
4
。答案
4
解析
【分析】
要解决这个问题，可通过两种思路求解：一是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接计算两根之和；二是先代入已知解求出参数，再解方程得到另一根，两种方法均简便易操作。
【解析】
方法一（韦达定理）：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，两根之和为$-\frac{B}{A}$。本题方程为$x^2 -5x +a=0$，其中$A=1,B=-5$，因此两根之和$x_1+x_2=5$。已知$x_1=1$，则另一根$x_2=5 - x_1=5 -1=4$。
方法二（代入求参数）：把$x_1=1$代入方程$x^2 -5x +a=0$，得$1^2 -5×1 +a=0$，解得$a=4$。此时原方程为$x^2 -5x +4=0$，因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，方程的解为$x=1$或$x=4$，即另一解$x_2=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的根与系数关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考察对一元二次方程根的性质的掌握，难度较低，用韦达定理或代入法均可快速求解，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，可通过两种思路求解：一是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接计算两根之和；二是先代入已知解求出参数，再解方程得到另一根，两种方法均简便易操作。
【解析】
方法一（韦达定理）：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，两根之和为$-\frac{B}{A}$。本题方程为$x^2 -5x +a=0$，其中$A=1,B=-5$，因此两根之和$x_1+x_2=5$。已知$x_1=1$，则另一根$x_2=5 - x_1=5 -1=4$。
方法二（代入求参数）：把$x_1=1$代入方程$x^2 -5x +a=0$，得$1^2 -5×1 +a=0$，解得$a=4$。此时原方程为$x^2 -5x +4=0$，因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，方程的解为$x=1$或$x=4$，即另一解$x_2=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的根与系数关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考察对一元二次方程根的性质的掌握，难度较低，用韦达定理或代入法均可快速求解，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
13.已知一组数据的离差平方和为 120，将这组数据分成两组，这两组数据的组间离差平方和为 34，则这两组数据的组内离差平方和为________。
答案
86
解析
【分析】
本题考查离差平方和的分解原理，核心思路是：一组数据的总离差平方和可拆分为组间离差平方和与组内离差平方和两部分，因此要求组内离差平方和，只需用总离差平方和减去组间离差平方和即可。
【解析】
根据离差平方和的分解公式：总离差平方和 = 组间离差平方和 + 组内离差平方和。
已知总离差平方和为120，组间离差平方和为34，代入公式得：
组内离差平方和 = 总离差平方和 - 组间离差平方和 = 120 - 34 = 86。
【答案】
86
【知识点】
离差平方和分解
【点评】
本题属于统计基础概念题，直接运用离差平方和的基本分解关系计算即可，难度较低，主要考查学生对统计中离差平方和分解的掌握程度。
【难度系数】
0.9
本题考查离差平方和的分解原理，核心思路是：一组数据的总离差平方和可拆分为组间离差平方和与组内离差平方和两部分，因此要求组内离差平方和，只需用总离差平方和减去组间离差平方和即可。
【解析】
根据离差平方和的分解公式：总离差平方和 = 组间离差平方和 + 组内离差平方和。
已知总离差平方和为120，组间离差平方和为34，代入公式得：
组内离差平方和 = 总离差平方和 - 组间离差平方和 = 120 - 34 = 86。
【答案】
86
【知识点】
离差平方和分解
【点评】
本题属于统计基础概念题，直接运用离差平方和的基本分解关系计算即可，难度较低，主要考查学生对统计中离差平方和分解的掌握程度。
【难度系数】
0.9
