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19.(8分)如图,四边形ABCD为矩形,对角线交于点O,DE//AC交BC延长线于点E。
(1)求证:四边形ACED是平行四边形。
(2)若∠E=35°,求∠BOC的度数。
(1)求证:四边形ACED是平行四边形。
(2)若∠E=35°,求∠BOC的度数。
答案
(1)证明:因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AD//BC。因为点 E 在 BC 延长线上,所以 CE//AD。又因为 DE//AC,所以四边形 ACED 是平行四边形。
(2)解:因为 AC//DE,所以∠ACB=∠E=35°。又因为四边形 ABCD 为矩形,所以OB=OC,所以∠OBC=∠ACB=35°,所以∠BOC=180°-∠OBC-∠ACB=180°-35°-35°=110°。
(2)解:因为 AC//DE,所以∠ACB=∠E=35°。又因为四边形 ABCD 为矩形,所以OB=OC,所以∠OBC=∠ACB=35°,所以∠BOC=180°-∠OBC-∠ACB=180°-35°-35°=110°。
解析
【分析】
要解决这道题，第(1)问需依据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。先利用矩形对边平行的性质推出AD与CE平行，结合已知DE//AC，即可完成平行四边形的证明；第(2)问需结合平行线的性质、矩形对角线的性质，先由AC//DE得到∠ACB与∠E相等，再利用矩形对角线相等且平分得出OB=OC，进而得到等腰三角形OBC的底角相等，最后根据三角形内角和计算∠BOC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD//BC（矩形对边平行），
又
∵ E在BC的延长线上，
∴ AD//CE，
已知DE//AC，
∴ 四边形ACED的两组对边分别平行，
故四边形ACED是平行四边形。
(2) 解：
∵ AC//DE，
∴ ∠ACB = ∠E = 35°（两直线平行，同位角相等），
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ 矩形对角线相等且互相平分，即OB = OC，
∴ △OBC是等腰三角形，∠OBC = ∠ACB = 35°，
根据三角形内角和为180°，
∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠ACB = 180° - 35° - 35° = 110°。
【答案】
(1) 四边形ACED是平行四边形；(2) ∠BOC的度数为110°
【知识点】
矩形的性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查矩形、平行四边形的性质与判定，属于基础几何题，需熟练掌握矩形对角线的性质、平行四边形的判定定理，结合平行线性质和三角形内角和即可解题，思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，第(1)问需依据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。先利用矩形对边平行的性质推出AD与CE平行，结合已知DE//AC，即可完成平行四边形的证明；第(2)问需结合平行线的性质、矩形对角线的性质，先由AC//DE得到∠ACB与∠E相等，再利用矩形对角线相等且平分得出OB=OC，进而得到等腰三角形OBC的底角相等，最后根据三角形内角和计算∠BOC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD//BC（矩形对边平行），
又
∵ E在BC的延长线上，
∴ AD//CE，
已知DE//AC，
∴ 四边形ACED的两组对边分别平行，
故四边形ACED是平行四边形。
(2) 解：
∵ AC//DE，
∴ ∠ACB = ∠E = 35°（两直线平行，同位角相等），
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ 矩形对角线相等且互相平分，即OB = OC，
∴ △OBC是等腰三角形，∠OBC = ∠ACB = 35°，
根据三角形内角和为180°，
∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠ACB = 180° - 35° - 35° = 110°。
【答案】
(1) 四边形ACED是平行四边形；(2) ∠BOC的度数为110°
【知识点】
矩形的性质、平行四边形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查矩形、平行四边形的性质与判定，属于基础几何题，需熟练掌握矩形对角线的性质、平行四边形的判定定理，结合平行线性质和三角形内角和即可解题，思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
20.(8分)学校计划为八年级学生购买一批图书。下面是两家书店提供的方案：
甲书店:所有图书统一报价,平均每本25元。
乙书店:按图书类别报价。科普类平均30元/本,文学类平均20元/本,艺术类平均15元/本。
(1)若学校计划购买280本科普类图书、500本文学类图书和135本艺术类图书,则选择哪家书店比较划算?(3分)
(2)若学校计划购买的科普类图书、文学类图书、艺术类图书的数量之比为$2:3:1$,则选择哪家书店比较划算?(3分)
(3)若学校计划仅购买科普类图书$a$本和艺术类图书$b$本,则$a$与$b$满足什么条件时,选择甲书店更加划算?(2分)
甲书店:所有图书统一报价,平均每本25元。
乙书店:按图书类别报价。科普类平均30元/本,文学类平均20元/本,艺术类平均15元/本。
(1)若学校计划购买280本科普类图书、500本文学类图书和135本艺术类图书,则选择哪家书店比较划算?(3分)
(2)若学校计划购买的科普类图书、文学类图书、艺术类图书的数量之比为$2:3:1$,则选择哪家书店比较划算?(3分)
(3)若学校计划仅购买科普类图书$a$本和艺术类图书$b$本,则$a$与$b$满足什么条件时,选择甲书店更加划算?(2分)
答案
(1)甲书店:$(280+500+135)×25=22875$(元);乙书店:$280×30+500×20+135×15=20425$(元),所以22875＞20425。答:选择乙书店比较划算。
(2)设3种图书数量分别为2a,3a,a,则甲书店:$25(2a+3a+a)=150a$;乙书店:$30×2a+20×3a+15×a=135a$,所以150a＞135a。答:选择乙书店比较划算。
(3)甲书店:$25(a+b)$;乙书店:$30a+15b$。令$25(a+b)＜30a+15b$,解得$a＞2b$。答:当$a＞2b$时,选择甲书店更加划算。
(2)设3种图书数量分别为2a,3a,a,则甲书店:$25(2a+3a+a)=150a$;乙书店:$30×2a+20×3a+15×a=135a$,所以150a＞135a。答:选择乙书店比较划算。
(3)甲书店:$25(a+b)$;乙书店:$30a+15b$。令$25(a+b)＜30a+15b$,解得$a＞2b$。答:当$a＞2b$时,选择甲书店更加划算。
解析
【分析】
本题是方案选择类应用题，解题思路为：针对每一小问，分别计算甲、乙两家书店的总费用，通过比较费用大小判断哪家更划算；第三问需通过列不等式求解a与b的关系。具体步骤：(1)先计算指定数量图书下甲书店按统一单价的总费用、乙书店按各类书单价的总费用，再比较；(2)根据数量比设未知数，分别计算两家书店总费用后比较；(3)分别表示两家书店总费用，令甲书店费用小于乙书店，解不等式得到a与b的关系。
【解析】
(1) 甲书店总费用：总图书数量为$280 + 500 + 135 = 915$本，费用为$915×25 = 22875$元；
乙书店总费用：各类书费用之和为$280×30 + 500×20 + 135×15 = 8400 + 10000 + 2025 = 20425$元；
因为$22875＞20425$，所以选择乙书店更划算。
(2) 设科普类、文学类、艺术类图书数量分别为$2a$、$3a$、$a$（$a＞0$）；
甲书店总费用：$25×(2a + 3a + a) = 150a$；
乙书店总费用：$30×2a + 20×3a + 15×a = 135a$；
因为$150a＞135a$，所以选择乙书店更划算。
(3) 甲书店总费用：$25(a + b)$；
乙书店总费用：$30a + 15b$；
若甲书店更划算，则$25(a + b)＜30a + 15b$，
解不等式：$25a + 25b＜30a + 15b$，移项得$10b＜5a$，化简得$a＞2b$。
【答案】
(1) 选择乙书店比较划算；
(2) 选择乙书店比较划算；
(3) 当$a＞2b$时，选择甲书店更加划算。
【知识点】
一元一次不等式的应用、代数式求值、方案选择问题
【点评】
本题结合购书场景考查方案选择，核心是通过代数运算与不等式求解判断最优方案，难度适中，能考查学生的运算能力与应用意识。
【难度系数】
0.6
本题是方案选择类应用题，解题思路为：针对每一小问，分别计算甲、乙两家书店的总费用，通过比较费用大小判断哪家更划算；第三问需通过列不等式求解a与b的关系。具体步骤：(1)先计算指定数量图书下甲书店按统一单价的总费用、乙书店按各类书单价的总费用，再比较；(2)根据数量比设未知数，分别计算两家书店总费用后比较；(3)分别表示两家书店总费用，令甲书店费用小于乙书店，解不等式得到a与b的关系。
【解析】
(1) 甲书店总费用：总图书数量为$280 + 500 + 135 = 915$本，费用为$915×25 = 22875$元；
乙书店总费用：各类书费用之和为$280×30 + 500×20 + 135×15 = 8400 + 10000 + 2025 = 20425$元；
因为$22875＞20425$，所以选择乙书店更划算。
(2) 设科普类、文学类、艺术类图书数量分别为$2a$、$3a$、$a$（$a＞0$）；
甲书店总费用：$25×(2a + 3a + a) = 150a$；
乙书店总费用：$30×2a + 20×3a + 15×a = 135a$；
因为$150a＞135a$，所以选择乙书店更划算。
(3) 甲书店总费用：$25(a + b)$；
乙书店总费用：$30a + 15b$；
若甲书店更划算，则$25(a + b)＜30a + 15b$，
解不等式：$25a + 25b＜30a + 15b$，移项得$10b＜5a$，化简得$a＞2b$。
【答案】
(1) 选择乙书店比较划算；
(2) 选择乙书店比较划算；
(3) 当$a＞2b$时，选择甲书店更加划算。
【知识点】
一元一次不等式的应用、代数式求值、方案选择问题
【点评】
本题结合购书场景考查方案选择，核心是通过代数运算与不等式求解判断最优方案，难度适中，能考查学生的运算能力与应用意识。
【难度系数】
0.6
