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21.(8分)如图,在$□ ABCD$中,连结AC。
(1)用尺规作线段AC的垂直平分线,垂足为O,交AD于点E,交BC于点F,连结AF,CE。(保留作图痕迹,不写作法,标记字母)(3分)
(2)猜想四边形AFCE是什么图形,并加以证明。(5分)
(1)用尺规作线段AC的垂直平分线,垂足为O,交AD于点E,交BC于点F,连结AF,CE。(保留作图痕迹,不写作法,标记字母)(3分)
(2)猜想四边形AFCE是什么图形,并加以证明。(5分)
答案
(1)如图。
(2)四边形 AFCE 为菱形。 证明:因为 EF 为 AC 的垂直平分线,所以 OA=OC,EF⊥AC。又因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 AD//BC,所以∠OAE=∠OCF,∠OEA = ∠OFC, 所以$△ OAE≌△ OCF$(AAS),所以 AE = CF,所以$AE\equalparallel CF$,即四边形AFCE 为平行四边形。又因为 EF⊥AC,所以$□ AFCE$为菱形。
解析
【分析】
第(1)问需用尺规作线段AC的垂直平分线：分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧在AC两侧各交于一点，过这两点作直线，即为AC的垂直平分线，该直线交AD于E，交BC于F，连接AF、CE即可。
第(2)问先猜想四边形AFCE是菱形，证明时，先利用垂直平分线的性质得OA=OC、EF⊥AC，再结合平行四边形ABCD中AD//BC，推出内错角相等，证明△OAE≌△OCF，得到AE=CF，结合AE//CF，证得四边形AFCE是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出结论。
【解析】
(1) 尺规作图：①分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两点；②过这两点作直线，该直线为AC的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，连接AF、CE，保留作图痕迹。
(2) 证明：
∵ EF是AC的垂直平分线，
∴ OA=OC，EF⊥AC。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。
在△OAE和△OCF中，
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\∠OEA=∠OFC \\OA=OC\end{array} $
∴ △OAE≌△OCF（AAS），
∴ AE=CF。
又
∵ AD//BC，即AE//CF，
∴ 四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又
∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】
(1) 如图。
(2) 四边形AFCE为菱形，证明见解析。
【知识点】
垂直平分线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题结合尺规作图与几何证明，考查了垂直平分线的作图方法及平行四边形、菱形的判定定理，要求学生逻辑清晰，熟练运用相关几何知识解题。
【难度系数】
0.6
第(1)问需用尺规作线段AC的垂直平分线：分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧在AC两侧各交于一点，过这两点作直线，即为AC的垂直平分线，该直线交AD于E，交BC于F，连接AF、CE即可。
第(2)问先猜想四边形AFCE是菱形，证明时，先利用垂直平分线的性质得OA=OC、EF⊥AC，再结合平行四边形ABCD中AD//BC，推出内错角相等，证明△OAE≌△OCF，得到AE=CF，结合AE//CF，证得四边形AFCE是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出结论。
【解析】
(1) 尺规作图：①分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两点；②过这两点作直线，该直线为AC的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，连接AF、CE，保留作图痕迹。
(2) 证明：
∵ EF是AC的垂直平分线，
∴ OA=OC，EF⊥AC。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。
在△OAE和△OCF中，
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\∠OEA=∠OFC \\OA=OC\end{array} $
∴ △OAE≌△OCF（AAS），
∴ AE=CF。
又
∵ AD//BC，即AE//CF，
∴ 四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又
∵ EF⊥AC，
∴ 平行四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】
(1) 如图。
(2) 四边形AFCE为菱形，证明见解析。
【知识点】
垂直平分线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题结合尺规作图与几何证明，考查了垂直平分线的作图方法及平行四边形、菱形的判定定理，要求学生逻辑清晰，熟练运用相关几何知识解题。
【难度系数】
0.6
22.(10分)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件。
(1)若商场每天要盈利1 200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)按这样的降价措施,该商场每天获利能否达到1 300元?若能,求出售价;若不能,请说明理由。
(1)若商场每天要盈利1 200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)按这样的降价措施,该商场每天获利能否达到1 300元?若能,求出售价;若不能,请说明理由。
答案
(1)设每件衬衫应降价 x 元,则由题意,得$(20+2x)(40-x)=1200$,解得x=10或20,因为要尽快减少库存,故每件衬衫应降价20元。
(2)由(1),可令$(20+2x)(40-x)=1300$,化简得$x^2-30x+250=0$,所以$30^2-4×250=-100＜0$,所以该商场每天获利不能达到1300元。
(2)由(1),可令$(20+2x)(40-x)=1300$,化简得$x^2-30x+250=0$,所以$30^2-4×250=-100＜0$,所以该商场每天获利不能达到1300元。
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决销售利润的实际问题。解题思路：(1) 设每件衬衫降价$ x $元，先确定降价后每件盈利为$(40 - x)$元，每天销售量为$(20 + 2x)$件，根据“总利润=每件盈利×销售量”列方程，解方程后结合“尽快减少库存”的要求选择合适的解；(2) 假设总利润为1300元，同理列方程，整理为一元二次方程一般形式后，通过计算根的判别式判断方程是否有实数解，进而确定能否达到该利润。
【解析】
(1) 设每件衬衫应降价$ x $元，根据题意，降价后每件盈利$(40 - x)$元，每天销售量为$(20 + 2x)$件，总利润为1200元，列方程：
$(20 + 2x)(40 - x) = 1200$
展开并整理得：
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得$ x = 10 $或$ x = 20 $。
因为要尽快减少库存，降价越多销售量越大，故选择$ x = 20 $。
(2) 假设商场每天获利能达到1300元，设每件衬衫降价$ x $元，列方程：
$(20 + 2x)(40 - x) = 1300$
整理得：
$x^2 - 30x + 250 = 0$
计算根的判别式：
$\Delta = (-30)^2 - 4×1×250 = -100 ＜ 0$
方程无实数解，故商场每天获利不能达到1300元。
【答案】
(1) 每件衬衫应降价20元；
(2) 该商场每天获利不能达到1300元。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题是典型的销售利润类一元二次方程应用题，重点考查学生对实际问题中数量关系的分析能力，以及利用一元二次方程解决实际问题的能力，需注意根据题意对解进行合理取舍，同时掌握用根的判别式判断方程解的情况。
【难度系数】
0.5
这是一道利用一元二次方程解决销售利润的实际问题。解题思路：(1) 设每件衬衫降价$ x $元，先确定降价后每件盈利为$(40 - x)$元，每天销售量为$(20 + 2x)$件，根据“总利润=每件盈利×销售量”列方程，解方程后结合“尽快减少库存”的要求选择合适的解；(2) 假设总利润为1300元，同理列方程，整理为一元二次方程一般形式后，通过计算根的判别式判断方程是否有实数解，进而确定能否达到该利润。
【解析】
(1) 设每件衬衫应降价$ x $元，根据题意，降价后每件盈利$(40 - x)$元，每天销售量为$(20 + 2x)$件，总利润为1200元，列方程：
$(20 + 2x)(40 - x) = 1200$
展开并整理得：
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得$ x = 10 $或$ x = 20 $。
因为要尽快减少库存，降价越多销售量越大，故选择$ x = 20 $。
(2) 假设商场每天获利能达到1300元，设每件衬衫降价$ x $元，列方程：
$(20 + 2x)(40 - x) = 1300$
整理得：
$x^2 - 30x + 250 = 0$
计算根的判别式：
$\Delta = (-30)^2 - 4×1×250 = -100 ＜ 0$
方程无实数解，故商场每天获利不能达到1300元。
【答案】
(1) 每件衬衫应降价20元；
(2) 该商场每天获利不能达到1300元。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题是典型的销售利润类一元二次方程应用题，重点考查学生对实际问题中数量关系的分析能力，以及利用一元二次方程解决实际问题的能力，需注意根据题意对解进行合理取舍，同时掌握用根的判别式判断方程解的情况。
【难度系数】
0.5
