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23.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB=8 cm,BC=6 cm,∠B=90°,CD//AB,O是AC的中点,连结DO并延长,交AB于点E,连结CE。
(1)求证:四边形AECD是平行四边形。
(2)若CE平分∠ACB,求AD的长。
(1)求证:四边形AECD是平行四边形。
(2)若CE平分∠ACB,求AD的长。
答案
(1)证明:因为 CD//AB,所以∠ACD=∠CAE。因为 O 是 AC 的中点,所以 AO = CO。在$△ AOE$与$△ COD$中,$\begin{cases}∠EAO=∠DCO,\\AO=CO,\\∠AOE=∠COD,\end{cases}$ 所以 $△ AOE ≌ △ COD$(ASA),所以 AE=CD。又因为 AE//CD,所以四边形 AECD 是平行四边形。
(2)解:如图,过点 E 作 EF⊥AC 于点 F,在 Rt$△ ABC$中,AB=8 cm,BC=6 cm,∠B=90°,由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$(cm),因为 CE 平分∠ACB,∠B=90°,EF⊥AC,所以 EF=EB。因为$S_{△ ABC}=S_{△ ACE}+S_{△ ECB}$,所以$\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}(AC+BC)·EB$。因为 AB=8 cm,BC=6 cm,AC=10 cm,所以 EB=3 cm,所以$CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$(cm),由(1)可知,四边形 AECD 是平行四边形,所以$AD=CE=3\sqrt{5}$ cm。
解析
【分析】
要解决本题，第一问需证明四边形AECD是平行四边形，已知CD//AB，只需证明一组对边平行且相等；通过O是AC中点，利用ASA证明△AOE≌△COD，得到AE=CD，结合CD//AB即可完成证明。第二问求AD的长，由平行四边形性质知AD=CE，需先求CE：利用CE平分∠ACB的角平分线性质，结合勾股定理和面积法求出EB，再用勾股定理计算CE，进而得到AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD//AB，
∴ ∠ACD = ∠CAE（两直线平行，内错角相等）。
∵ O是AC的中点，
∴ AO = CO。
在△AOE和△COD中，
$\begin{cases}∠EAO = ∠DCO, \\AO = CO, \\∠AOE = ∠COD,\end{cases}$
∴ △AOE ≌ △COD（ASA），
∴ AE = CD。
又
∵ AE//CD（CD//AB，E在AB上），
∴ 四边形AECD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
在Rt△ABC中，AB=8 cm，BC=6 cm，∠B=90°，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ (cm)。
过点E作EF⊥AC于点F，
∵ CE平分∠ACB，∠B=90°（即EB⊥BC），EF⊥AC，
∴ EF = EB（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $S_{△ABC} = S_{△ACE} + S_{△ECB}$，
∴ $\frac{1}{2}AB·BC = \frac{1}{2}AC·EF + \frac{1}{2}BC·EB$，
代入EF=EB，AB=8，BC=6，AC=10，得：
$\frac{1}{2}×8×6 = \frac{1}{2}×EB×(10 + 6)$，
化简得：24 = 8EB，解得EB=3 cm。
在Rt△EBC中，由勾股定理得：
$CE = \sqrt{BC^2 + BE^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ (cm)。
由(1)知四边形AECD是平行四边形，
∴ AD = CE = $3\sqrt{5}$ cm。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) AD的长为$3\sqrt{5}$ cm
【知识点】
平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质、角平分线的性质及勾股定理的应用，解题时需熟练运用全等三角形证明线段相等，结合角平分线性质和面积法求解线段长度，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，第一问需证明四边形AECD是平行四边形，已知CD//AB，只需证明一组对边平行且相等；通过O是AC中点，利用ASA证明△AOE≌△COD，得到AE=CD，结合CD//AB即可完成证明。第二问求AD的长，由平行四边形性质知AD=CE，需先求CE：利用CE平分∠ACB的角平分线性质，结合勾股定理和面积法求出EB，再用勾股定理计算CE，进而得到AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD//AB，
∴ ∠ACD = ∠CAE（两直线平行，内错角相等）。
∵ O是AC的中点，
∴ AO = CO。
在△AOE和△COD中，
$\begin{cases}∠EAO = ∠DCO, \\AO = CO, \\∠AOE = ∠COD,\end{cases}$
∴ △AOE ≌ △COD（ASA），
∴ AE = CD。
又
∵ AE//CD（CD//AB，E在AB上），
∴ 四边形AECD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
在Rt△ABC中，AB=8 cm，BC=6 cm，∠B=90°，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ (cm)。
过点E作EF⊥AC于点F，
∵ CE平分∠ACB，∠B=90°（即EB⊥BC），EF⊥AC，
∴ EF = EB（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $S_{△ABC} = S_{△ACE} + S_{△ECB}$，
∴ $\frac{1}{2}AB·BC = \frac{1}{2}AC·EF + \frac{1}{2}BC·EB$，
代入EF=EB，AB=8，BC=6，AC=10，得：
$\frac{1}{2}×8×6 = \frac{1}{2}×EB×(10 + 6)$，
化简得：24 = 8EB，解得EB=3 cm。
在Rt△EBC中，由勾股定理得：
$CE = \sqrt{BC^2 + BE^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ (cm)。
由(1)知四边形AECD是平行四边形，
∴ AD = CE = $3\sqrt{5}$ cm。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) AD的长为$3\sqrt{5}$ cm
【知识点】
平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质、角平分线的性质及勾股定理的应用，解题时需熟练运用全等三角形证明线段相等，结合角平分线性质和面积法求解线段长度，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
24.(12分)如图1,在正方形ABCD中,AB=2,将线段CD绕点C逆时针旋转至CE(∠DCE＜90°),连结DE,BE。
(1)当∠DCE=30°时,求BE的长度。(4分)
(2)如图2,过点D作DF⊥DE交BE于点F,连结AF。
①求证:DF=DE。(4分)
②当F是BE中点时,求$S_{△ DEF}$与$S_{△ ABF}$的面积比。(4分)
(1)当∠DCE=30°时,求BE的长度。(4分)
(2)如图2,过点D作DF⊥DE交BE于点F,连结AF。
①求证:DF=DE。(4分)
②当F是BE中点时,求$S_{△ DEF}$与$S_{△ ABF}$的面积比。(4分)
答案
(1)解:如图1,过点 C 作 CH⊥BE,H 为垂足,当∠DCE=30°时,∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+30°=120°,又因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AB=BC=CD=CE=2,所以$∠CBE=∠CEB=\frac{180°-∠BCE}{2}=30°$,所以在 Rt$△ CBH$中,$CH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=1$,$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{3}$。又因为 CH⊥BE,CB=CE,所以 BE=2BH=$2\sqrt{3}$。
(2)①证明:设∠DCE = α, 则由 (1), 易得$∠CEB=∠CBE=\frac{180°-∠BCE}{2}=\frac{180°-(90°+α)}{2}=45°-\frac{1}{2}α$,在$△ CDE$中,因为 CD=CE,所以$∠CED=∠CDE=\frac{180°-∠DCE}{2}=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{1}{2}α$。所以$∠DEF=∠CED-∠CEB=(90°-\frac{1}{2}α)-(45°-\frac{1}{2}α)=45°$。因为 DF⊥DE,所以∠FDE=90°,所以∠DFE=180°-∠FDE-∠DEF=45°,所以∠DFE=∠DEF,所以 DF=DE。
②如图2,过点 A 作 AH⊥BF,H 为垂足,连结 CF,因为 CB=CE,BF=EF,所以 CF⊥BE。因为 AH⊥BE,所以∠ABH+∠BAH=90°。又因为∠ABC=90°,所以∠ABH+∠CBF=90°,所以∠BAH=∠CBF。因为 AB=BC,所以$△ ABH≌△ BCF$(AAS),所以 AH=BF。设 DE = a, 则$BF=FE=\sqrt{DF^2+DE^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。所以$AH=BF=\sqrt{2}a$,所以$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}}=\frac{\frac{1}{2}a^2}{\frac{1}{2}(\sqrt{2}a)^2}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是正方形与旋转结合的几何综合题，解题思路如下：
(1) 求BE长度时，先利用正方形和旋转性质得BC=CE，确定△BCE为等腰三角形，通过作高CH将BE转化为等腰三角形底边，结合直角三角形30°角性质计算BH，进而得BE；
(2)① 证DF=DE时，设∠DCE=α，分别计算△CDE和△BCE的底角，推导出∠DEF=45°，结合DF⊥DE得△DEF为等腰直角三角形，从而证得DF=DE；
② 求面积比时，利用等腰三角形三线合一得CF⊥BE，作AH⊥BE构造全等三角形，通过设DE=a，用勾股定理表示各边，计算两个三角形面积后求比值。
【解析】
(1) 如图1，过点C作CH⊥BE于H。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=CD=AB=2，∠BCD=90°。
由旋转性质得CE=CD=2，故BC=CE=2。
∵ ∠DCE=30°，
∴ ∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+30°=120°。
在等腰△BCE中，CH⊥BE，由三线合一得BH=HE，∠BCH=60°。
在Rt△CBH中，∠CBH=30°，
∴ CH=1/2 BC=1，BH=√(BC²-CH²)=√(2²-1²)=√3，
∴ BE=2BH=2√3。
(2)① 设∠DCE=α，
在△CDE中，CD=CE，故∠CED=(180°-α)/2=90°-α/2；
在△BCE中，BC=CE，∠BCE=90°+α，故∠CEB=(180°-(90°+α))/2=45°-α/2；
∴ ∠DEF=∠CED-∠CEB=(90°-α/2)-(45°-α/2)=45°。
∵ DF⊥DE，
∴ ∠EDF=90°，在△DEF中，∠DFE=180°-90°-45°=45°，
∴ ∠DEF=∠DFE，故DF=DE。
② 如图2，过点A作AH⊥BF于H，连结CF。
∵ CB=CE，F是BE中点，由三线合一得CF⊥BE，即∠CFB=90°，
∴ ∠CBF+∠BCF=90°，又∠ABC=90°，故∠ABH+∠CBF=90°，得∠ABH=∠BCF。
在△ABH和△BCF中：
∠AHB=∠BFC=90°，∠ABH=∠BCF，AB=BC，
∴ △ABH≌△BCF（AAS），得AH=BF。
由①知DF=DE，设DE=a，则DF=a，
∵ DF⊥DE，
∴ EF=√(DE²+DF²)=√(a²+a²)=√2 a，
∵ F是BE中点，
∴ BF=EF=√2 a，故AH=BF=√2 a。
S△DEF=1/2×DE×DF=1/2 a²，
S△ABF=1/2×BF×AH=1/2×√2 a×√2 a=a²，
∴ S△DEF:S△ABF=(1/2 a²):a²=1:2。
【答案】
(1) BE的长度为2√3；
(2)① 证明成立；② 面积比为1:2。
【知识点】
正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形判定、面积计算
【点评】
本题综合考查正方形、旋转、等腰三角形及全等三角形的性质，解题关键是通过角度推导和辅助线构造转化问题，需具备较强的几何推理能力，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.4
本题是正方形与旋转结合的几何综合题，解题思路如下：
(1) 求BE长度时，先利用正方形和旋转性质得BC=CE，确定△BCE为等腰三角形，通过作高CH将BE转化为等腰三角形底边，结合直角三角形30°角性质计算BH，进而得BE；
(2)① 证DF=DE时，设∠DCE=α，分别计算△CDE和△BCE的底角，推导出∠DEF=45°，结合DF⊥DE得△DEF为等腰直角三角形，从而证得DF=DE；
② 求面积比时，利用等腰三角形三线合一得CF⊥BE，作AH⊥BE构造全等三角形，通过设DE=a，用勾股定理表示各边，计算两个三角形面积后求比值。
【解析】
(1) 如图1，过点C作CH⊥BE于H。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=CD=AB=2，∠BCD=90°。
由旋转性质得CE=CD=2，故BC=CE=2。
∵ ∠DCE=30°，
∴ ∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+30°=120°。
在等腰△BCE中，CH⊥BE，由三线合一得BH=HE，∠BCH=60°。
在Rt△CBH中，∠CBH=30°，
∴ CH=1/2 BC=1，BH=√(BC²-CH²)=√(2²-1²)=√3，
∴ BE=2BH=2√3。
(2)① 设∠DCE=α，
在△CDE中，CD=CE，故∠CED=(180°-α)/2=90°-α/2；
在△BCE中，BC=CE，∠BCE=90°+α，故∠CEB=(180°-(90°+α))/2=45°-α/2；
∴ ∠DEF=∠CED-∠CEB=(90°-α/2)-(45°-α/2)=45°。
∵ DF⊥DE，
∴ ∠EDF=90°，在△DEF中，∠DFE=180°-90°-45°=45°，
∴ ∠DEF=∠DFE，故DF=DE。
② 如图2，过点A作AH⊥BF于H，连结CF。
∵ CB=CE，F是BE中点，由三线合一得CF⊥BE，即∠CFB=90°，
∴ ∠CBF+∠BCF=90°，又∠ABC=90°，故∠ABH+∠CBF=90°，得∠ABH=∠BCF。
在△ABH和△BCF中：
∠AHB=∠BFC=90°，∠ABH=∠BCF，AB=BC，
∴ △ABH≌△BCF（AAS），得AH=BF。
由①知DF=DE，设DE=a，则DF=a，
∵ DF⊥DE，
∴ EF=√(DE²+DF²)=√(a²+a²)=√2 a，
∵ F是BE中点，
∴ BF=EF=√2 a，故AH=BF=√2 a。
S△DEF=1/2×DE×DF=1/2 a²，
S△ABF=1/2×BF×AH=1/2×√2 a×√2 a=a²，
∴ S△DEF:S△ABF=(1/2 a²):a²=1:2。
【答案】
(1) BE的长度为2√3；
(2)① 证明成立；② 面积比为1:2。
【知识点】
正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形判定、面积计算
【点评】
本题综合考查正方形、旋转、等腰三角形及全等三角形的性质，解题关键是通过角度推导和辅助线构造转化问题，需具备较强的几何推理能力，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.4
