15.如图, 正方形 ABCD 的边长为 13, 以 BC 为斜边向内作 $\mathrm{Rt} △ B C F, ∠ F=90°, B F＞C F, A E ⊥ B F$ 于点 $E$, 连结 $D E$ 。若 $E F=7$, 则 $△ A E D$ 的面积为 ______ 。

72

【分析】
首先利用正方形的性质和直角三角形的角关系，证明△ABE与△BCF全等，得到对应边相等；再通过勾股定理设未知数列方程求出相关线段长度；最后用坐标法结合三角形面积公式计算△AED的面积。
【解析】
1. 证明三角形全等：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=13，∠ABC=90°，即∠ABE + ∠CBF=90°。
∵ AE⊥BF，
∴ ∠AEB=90°，故∠BAE + ∠ABE=90°，得∠BAE=∠CBF。
又△BCF为Rt△，∠F=90°，
∴ ∠AEB=∠BFC=90°，因此△ABE≌△BCF（AAS），得AE=BF，BE=CF。
2. 求BE、AE的长度：
设BE=x，则BF=x+7，在Rt△BCF中，由勾股定理：
x² + (x+7)²=13²，展开整理得x²+7x-60=0，解得正根x=5，故BE=5，BF=12，AE=BF=12。
3. 计算△AED的面积：
建立平面直角坐标系，设B(0,0)，C(13,0)，A(0,13)，D(13,13)。由BF与x轴夹角的正弦值sinθ=5/13，得E点坐标为(60/13,25/13)。
用三角形面积坐标公式：
S=1/2|0×(25/13 -169/13) + (60/13)×(169/13 -169/13) + (169/13)×(169/13 -25/13)|=1/2×144=72。
【答案】
72
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查几何知识的应用，关键是通过角的关系证明全等三角形，再结合方程和坐标法求解面积，需要学生具备几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.4

16. 如图 1,在四边形 ABCD 中,依次取四边中点 E,F,H,G,连结 EG,FH。P 是线段 EG 上的一点,连结 AP,作 CQ//AP 交 FH 于点 Q。分别沿 FH,EG,AP,CQ 将四边形 ABCD 剪裁成五块,再将它们拼成四边形 MNRS。
(1)$\frac{EG}{MN}=$。
(2)如图 2,连结 AC,BD 交于点 O。若$AC=8,BD=6,∠AOD=45°$,则四边形 MNRS 的周长最小值是。

(1)$\frac{1}{2}$ (2)$12+4\sqrt{2}$ 解析:
(1)根据题意,可得$△ APE ≌ △ BNE$,$△ APG ≌ △ DMG$,$△ BFR ≌ △ CFQ$,$△ CQH ≌ △ DSH$,所以$EP=EN$,$PG=MG$,所以$EG=EP+PG=EN+MG$,所以$\frac{EG}{MN}=\frac{1}{2}$。
(2)如图,过点H作$HT ⊥ MN$于点T,并连结HG,由(1),易得$NM=2EG=BD=6$,所以$HG=\frac{1}{2}AC=4$,易知$∠ HGT=∠ AOD=45°$,所以易得$HT=2\sqrt{2}$。易知$MS ⊥ RS$时,MS有最小值为$2\sqrt{2}$,因为$NR=MS$,所以$C_{\mathrm{四边形}MNRS}$的最小值为$12+4\sqrt{2}$。

【分析】
本题是四边形中点性质与图形拼接结合的几何题，第(1)问需利用剪裁拼接后的全等三角形关系，推导线段EG与MN的比例；第(2)问需结合三角形中位线定理、已知角度，分析拼接后四边形MNRS的周长最值，关键是找到MN、HG与原四边形对角线的对应关系，利用特殊角度求最短边长。
【解析】
(1) 根据图形剪裁拼接的全等变换，可得$△ APE ≌ △ BNE$，$△ APG ≌ △ DMG$，因此$EP=EN$，$PG=MG$，故$EG=EP+PG=EN+MG$，即$MN=2EG$，因此$\frac{EG}{MN}=\frac{1}{2}$。
(2) 由(1)知$NM=2EG=BD=6$，结合三角形中位线定理，$HG=\frac{1}{2}AC=4$；已知$∠AOD=45°$，故$∠HGT=45°$，当四边形MNRS为矩形时，高$HT$最小，此时$HT=HG · \sin45°=4 × \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$；四边形MNRS的周长为$2(MN + HT)=2(6 + 2\sqrt{2})=12 + 4\sqrt{2}$，即周长最小值为$12 + 4\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$ (2)$12+4\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，全等三角形的性质，四边形周长最值
【点评】
本题以四边形中点为载体，结合图形拼接的全等变换，考查几何线段比例与最值问题，需要学生理解拼接前后的线段对应关系，利用中位线和特殊角度求解，综合性较强，是几何知识的综合应用。
【难度系数】
0.5

三、解答题(本题有8小题,共52分)
17.(6分)计算:
(1)$\sqrt{(-5)^2}-\sqrt{9}$。
(2)$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{2}(\sqrt{8}-1)$。

(1)原式$=5-3=2$。
(2)原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}+4-\sqrt{2}=4-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

【分析】
本题考查二次根式的运算，解题时需先利用二次根式的性质化简根式，再根据二次根式的运算法则（如乘法分配律、同类二次根式合并）进行计算，注意二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$的应用。
【解析】
(1) 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-5)^2}=5$，$\sqrt{9}=3$，因此：
原式$=5 - 3 = 2$。
(2) 先化简$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，再利用乘法分配律计算$\sqrt{2}(\sqrt{8}-1)$：
$\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$，因此$\sqrt{2}(\sqrt{8}-1)=4 - \sqrt{2}$；
将两部分合并，再合并同类二次根式：
原式$=\frac{\sqrt{2}}{2} + 4 - \sqrt{2}=4 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$2$；(2)$4 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的运算
【点评】
本题为二次根式的基础运算题，主要考查二次根式的化简、运算法则及同类二次根式的合并，属于初中数学的基础考点，需熟练掌握相关性质和法则。
【难度系数】
0.7

18.(6分)解方程：
(1)$x^2 + 2x = 0$。
(2)$x^2 - 4x - 12 = 0$。

(1)$x^2+2x=0$,$x(x+2)=0$,$x_1=0$,$x_2=-2$。
(2)$x^2-4x+4=16$,$(x-2)^2=16$,$x-2=\pm4$,$x_1=6$,$x_2=-2$。

【分析】解一元二次方程时，需根据方程特点选择合适方法。第(1)题方程左边可提取公因式，适合用因式分解法；第(2)题移项后可配方，适合用配方法，利用“乘积为0则至少一个因式为0”和完全平方公式即可快速求解。
【解析】(1)对$x^2 + 2x = 0$，提取公因式得：$x(x + 2) = 0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得$x = 0$或$x + 2 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = -2$。
(2)对$x^2 - 4x - 12 = 0$，先移项得：$x^2 - 4x = 12$，两边同时加上一次项系数一半的平方（即$(\frac{-4}{2})^2 = 4$），得：$x^2 - 4x + 4 = 12 + 4$，整理为完全平方形式：$(x - 2)^2 = 16$，开平方得：$x - 2 = ±4$，解得$x_1 = 6$，$x_2 = -2$。
【答案】(1)$x_1=0$，$x_2=-2$；(2)$x_1=6$，$x_2=-2$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】本题为一元二次方程的基础求解题，分别考察因式分解法和配方法的应用，是初中数学核心基础内容，解题需注意步骤规范，避免计算错误，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8