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19.(6分)如图,在$△ ABC$中,DE是一条中位线,连结BE,过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F。
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形。
(2)若$BF=4$,求BC的长。
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形。
(2)若$BF=4$,求BC的长。
答案
(1)证明:因为DE是$△ ABC$的中位线,所以$DE // BC$,又因为$BE // DF$,所以四边形BEDF是平行四边形。
(2)解:因为四边形BEDF是平行四边形,$BF=4$,所以$DE // BF$,$DE=BF=4$,因为DE是$△ ABC$的中位线,所以$BC=2DE=8$。
(2)解:因为四边形BEDF是平行四边形,$BF=4$,所以$DE // BF$,$DE=BF=4$,因为DE是$△ ABC$的中位线,所以$BC=2DE=8$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确平行四边形的判定定理和三角形中位线的性质：
1. 第(1)问需证明四边形BEDF是平行四边形，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，结合已知条件：DE是△ABC的中位线，可得DE//BC（即DE//BF），又题目给出DF//BE，两组对边分别平行即可证得平行四边形。
2. 第(2)问利用平行四边形对边相等的性质，得到DE的长度，再结合三角形中位线“中位线长度等于第三边的一半”的性质，计算BC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC（三角形中位线平行于第三边），
又
∵ F在CB的延长线上，
∴ DE//BF，
已知DF//BE，
∴ 四边形BEDF的两组对边分别平行，
故四边形BEDF是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ DE = BF = 4（平行四边形对边相等），
又
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ BC = 2DE = 2×4 = 8（三角形中位线长度等于第三边的一半）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) BC的长为8。
【知识点】
三角形中位线，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何题，综合考查三角形中位线的性质和平行四边形的判定、性质，解题关键是熟练掌握相关定理，难度较低，适合巩固基础几何知识。
【难度系数】
0.3
要解决这道题，首先明确平行四边形的判定定理和三角形中位线的性质：
1. 第(1)问需证明四边形BEDF是平行四边形，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，结合已知条件：DE是△ABC的中位线，可得DE//BC（即DE//BF），又题目给出DF//BE，两组对边分别平行即可证得平行四边形。
2. 第(2)问利用平行四边形对边相等的性质，得到DE的长度，再结合三角形中位线“中位线长度等于第三边的一半”的性质，计算BC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC（三角形中位线平行于第三边），
又
∵ F在CB的延长线上，
∴ DE//BF，
已知DF//BE，
∴ 四边形BEDF的两组对边分别平行，
故四边形BEDF是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ DE = BF = 4（平行四边形对边相等），
又
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ BC = 2DE = 2×4 = 8（三角形中位线长度等于第三边的一半）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) BC的长为8。
【知识点】
三角形中位线，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何题，综合考查三角形中位线的性质和平行四边形的判定、性质，解题关键是熟练掌握相关定理，难度较低，适合巩固基础几何知识。
【难度系数】
0.3
20.(6分)某校八年级学生参加传统文化知识竞赛,从中随机抽取20名学生的竞赛成绩(竞赛成绩均为整数,满分为10分)绘制成如图所示的统计图:
(1)求这20名学生竞赛成绩的中位数和众数。
(2)求这20名学生竞赛成绩的平均数。
(1)求这20名学生竞赛成绩的中位数和众数。
(2)求这20名学生竞赛成绩的平均数。
答案
(1)中位数为8分,众数为7分。
(2)$\overline{x}=\frac{2×6+7×7+3×8+4×9+4×10}{20}=8.05$(分)。
(2)$\overline{x}=\frac{2×6+7×7+3×8+4×9+4×10}{20}=8.05$(分)。
解析
【分析】
要解决这道题，需明确三个统计量的计算规则：①中位数：20个成绩从小到大排列后，因数据总数为偶数，中位数是第10和第11个数据的平均数；②众数：是出现次数最多的成绩；③平均数：用加权平均数公式，即各成绩乘以对应人数的总和除以总人数20。先从条形统计图中提取各成绩对应的人数，再按定义计算即可。
【解析】
(1) 计算中位数和众数：
20名学生的成绩从小到大排列，累计人数：6分有2人，7分有7人（累计2+7=9人），8分有3人（累计9+3=12人），因此第10、11个数据均为8分，故中位数为$\frac{8+8}{2}=8$分；
7分出现的次数最多（7次），所以众数为7分。
(2) 计算平均数：
根据加权平均数公式，$\overline{x}=\frac{6×2 +7×7 +8×3 +9×4 +10×4}{20}$
计算分子：$6×2=12$，$7×7=49$，$8×3=24$，$9×4=36$，$10×4=40$，总和为$12+49+24+36+40=161$；
则$\overline{x}=\frac{161}{20}=8.05$分。
【答案】
(1) 中位数为8分，众数为7分；(2) 平均数为8.05分。
【知识点】
中位数、众数、加权平均数
【点评】
本题结合条形统计图考查统计量的计算，属于基础题，需熟练掌握中位数、众数、加权平均数的定义及计算方法，准确提取统计图中的数据即可求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需明确三个统计量的计算规则：①中位数：20个成绩从小到大排列后，因数据总数为偶数，中位数是第10和第11个数据的平均数；②众数：是出现次数最多的成绩；③平均数：用加权平均数公式，即各成绩乘以对应人数的总和除以总人数20。先从条形统计图中提取各成绩对应的人数，再按定义计算即可。
【解析】
(1) 计算中位数和众数：
20名学生的成绩从小到大排列，累计人数：6分有2人，7分有7人（累计2+7=9人），8分有3人（累计9+3=12人），因此第10、11个数据均为8分，故中位数为$\frac{8+8}{2}=8$分；
7分出现的次数最多（7次），所以众数为7分。
(2) 计算平均数：
根据加权平均数公式，$\overline{x}=\frac{6×2 +7×7 +8×3 +9×4 +10×4}{20}$
计算分子：$6×2=12$，$7×7=49$，$8×3=24$，$9×4=36$，$10×4=40$，总和为$12+49+24+36+40=161$；
则$\overline{x}=\frac{161}{20}=8.05$分。
【答案】
(1) 中位数为8分，众数为7分；(2) 平均数为8.05分。
【知识点】
中位数、众数、加权平均数
【点评】
本题结合条形统计图考查统计量的计算，属于基础题，需熟练掌握中位数、众数、加权平均数的定义及计算方法，准确提取统计图中的数据即可求解。
【难度系数】
0.7
21.(6分)图1、图2均为4×5的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,点A,B均在格点上,P为线段AB上的一点。(仅用无刻度的直尺作图)
(1)在图1中,画出一个以AB为边的正方形ABCD。
(2)在(1)的基础上,在边CD上画点Q,使得PQ平分正方形ABCD的面积(保留作图痕迹)。
(3)在图2中,画出一个以AB为边的非正方形的菱形ABEF,并依次连结此菱形各边中点形成一个四边形(保留作图痕迹),该中点四边形为
(1)在图1中,画出一个以AB为边的正方形ABCD。
(2)在(1)的基础上,在边CD上画点Q,使得PQ平分正方形ABCD的面积(保留作图痕迹)。
(3)在图2中,画出一个以AB为边的非正方形的菱形ABEF,并依次连结此菱形各边中点形成一个四边形(保留作图痕迹),该中点四边形为
矩形
。答案
(1)如图1,正方形ABCD即为所求。
(2)如图1,点Q满足直线PQ平分正方形ABCD的面积。
(3)矩形 如图2,四边形ABEF即为所求。四边形GHMN即为所求。
解析
【分析】
本题为网格中的无刻度直尺作图题，需结合正方形、菱形的性质及中心对称图形的特征解题：
(1) 以AB为边作正方形，需利用正方形邻边垂直且相等的性质，通过网格确定AB的垂直方向，找到另外两个顶点；
(2) 平分正方形面积的直线必过正方形的中心（中心对称图形的对称中心），因此先确定正方形的中心，连接P与中心，延长交CD得Q；
(3) 作非正方形菱形ABEF，需保证四边相等且邻边不垂直，再根据中点四边形性质：菱形对角线互相垂直，其中点四边形为矩形。
【解析】
(1) 设每个小正方形边长为1，确定AB的方向，利用网格的垂直关系，从A、B分别作AB的垂线，截取长度等于AB的线段，连接得到正方形ABCD；
(2) 连接正方形ABCD的对角线，交点为正方形的中心O，连接PO并延长，交CD于点Q，此时PQ过中心，平分正方形面积；
(3) 在网格中找到点E、F，使AB=BE=EF=FA且邻边不垂直，得到菱形ABEF；取菱形各边中点，连接形成四边形，根据菱形对角线垂直，中点四边形的边平行于对角线，故为矩形。
【答案】
(1) 如图1，正方形ABCD即为所求；
(2) 如图1，点Q即为所求；
(3) 矩形，如图2，四边形ABEF、四边形GHMN即为所求。
【知识点】
正方形的性质，菱形的性质，中点四边形
【点评】
本题结合网格考查几何作图，需熟练掌握正方形、菱形的性质，利用网格的平行、垂直关系确定图形顶点，核心是利用中心对称和中点四边形的性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题为网格中的无刻度直尺作图题，需结合正方形、菱形的性质及中心对称图形的特征解题：
(1) 以AB为边作正方形，需利用正方形邻边垂直且相等的性质，通过网格确定AB的垂直方向，找到另外两个顶点；
(2) 平分正方形面积的直线必过正方形的中心（中心对称图形的对称中心），因此先确定正方形的中心，连接P与中心，延长交CD得Q；
(3) 作非正方形菱形ABEF，需保证四边相等且邻边不垂直，再根据中点四边形性质：菱形对角线互相垂直，其中点四边形为矩形。
【解析】
(1) 设每个小正方形边长为1，确定AB的方向，利用网格的垂直关系，从A、B分别作AB的垂线，截取长度等于AB的线段，连接得到正方形ABCD；
(2) 连接正方形ABCD的对角线，交点为正方形的中心O，连接PO并延长，交CD于点Q，此时PQ过中心，平分正方形面积；
(3) 在网格中找到点E、F，使AB=BE=EF=FA且邻边不垂直，得到菱形ABEF；取菱形各边中点，连接形成四边形，根据菱形对角线垂直，中点四边形的边平行于对角线，故为矩形。
【答案】
(1) 如图1，正方形ABCD即为所求；
(2) 如图1，点Q即为所求；
(3) 矩形，如图2，四边形ABEF、四边形GHMN即为所求。
【知识点】
正方形的性质，菱形的性质，中点四边形
【点评】
本题结合网格考查几何作图，需熟练掌握正方形、菱形的性质，利用网格的平行、垂直关系确定图形顶点，核心是利用中心对称和中点四边形的性质，难度适中。
【难度系数】
0.5
