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22. (6分)形如$\sqrt{a}+\sqrt{b}$与$\sqrt{a}-\sqrt{b}$($a,b$为正有理数)的两个代数式,它们的积不含根号,我们称这两个代数式互为有理化因式。
例如:因为$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=1$,所以$\sqrt{3}+\sqrt{2}$与$\sqrt{3}-\sqrt{2}$互为有理化因式。
(1)判断$\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是不是有理化因式,并说明理由。
(2)请直接写出$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$的有理化因式。
(3)请比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$与$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的大小。
例如:因为$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=1$,所以$\sqrt{3}+\sqrt{2}$与$\sqrt{3}-\sqrt{2}$互为有理化因式。
(1)判断$\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是不是有理化因式,并说明理由。
(2)请直接写出$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$的有理化因式。
(3)请比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$与$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的大小。
答案
(1)解:是。理由如下:因为$(\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{7})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2=-2$,所以$\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是有理化因式。
(2)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$。
(3)解:因为$(\sqrt{2025}+\sqrt{2024})(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})=1$,$(\sqrt{2024}+\sqrt{2023})(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})=1$,而$\sqrt{2025}+\sqrt{2024}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$,所以$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。
(2)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$或$\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$。
(3)解:因为$(\sqrt{2025}+\sqrt{2024})(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})=1$,$(\sqrt{2024}+\sqrt{2023})(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})=1$,而$\sqrt{2025}+\sqrt{2024}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$,所以$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。
解析
【分析】首先明确有理化因式的定义：两个代数式相乘的积为有理数，则它们互为有理化因式。第(1)问需利用平方差公式计算两个代数式的乘积，判断结果是否为有理数；第(2)问根据平方差公式，找与$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$相乘能消去根号的式子；第(3)问比较两个二次根式差的大小，采用倒数法，先对每个差进行有理化，比较倒数的大小，进而得到原数的大小关系。
【解析】
(1) 根据有理化因式的定义，计算$(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})$：
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得：
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2=5-7=-2$，
因为$-2$是有理数，所以$\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是有理化因式。
(2) 要找$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$的有理化因式，根据平方差公式：
$(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2=(n+1)-n=1$，
$1$是有理数，故$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$的有理化因式为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$。
(3) 比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$与$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的大小，采用倒数法：
先求$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$的倒数：
$\frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}=\frac{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}{(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})(\sqrt{2025}+\sqrt{2024})}=\sqrt{2025}+\sqrt{2024}$，
同理，$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的倒数为$\frac{1}{\sqrt{2024}-\sqrt{2023}}=\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，
因为$\sqrt{2025}+\sqrt{2024}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，且两个数均为正数，倒数大的原数小，所以$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。
【答案】
(1) 是，理由：$(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})=-2$，积为有理数，故二者互为有理化因式；
(2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；
(3) $\sqrt{2025}-\sqrt{2024}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$
【知识点】有理化因式，二次根式运算，实数大小比较
【点评】本题围绕有理化因式的概念展开，考查平方差公式在二次根式中的应用，以及实数大小比较的倒数法，属于基础题型，需熟练掌握二次根式的运算规则和有理化的方法。
【难度系数】0.5
【解析】
(1) 根据有理化因式的定义，计算$(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})$：
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得：
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2=5-7=-2$，
因为$-2$是有理数，所以$\sqrt{5}+\sqrt{7}$与$\sqrt{5}-\sqrt{7}$是有理化因式。
(2) 要找$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$的有理化因式，根据平方差公式：
$(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2=(n+1)-n=1$，
$1$是有理数，故$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$的有理化因式为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$。
(3) 比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$与$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的大小，采用倒数法：
先求$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$的倒数：
$\frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}=\frac{\sqrt{2025}+\sqrt{2024}}{(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})(\sqrt{2025}+\sqrt{2024})}=\sqrt{2025}+\sqrt{2024}$，
同理，$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的倒数为$\frac{1}{\sqrt{2024}-\sqrt{2023}}=\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，
因为$\sqrt{2025}+\sqrt{2024}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，且两个数均为正数，倒数大的原数小，所以$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$。
【答案】
(1) 是，理由：$(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})=-2$，积为有理数，故二者互为有理化因式；
(2) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；
(3) $\sqrt{2025}-\sqrt{2024}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$
【知识点】有理化因式，二次根式运算，实数大小比较
【点评】本题围绕有理化因式的概念展开，考查平方差公式在二次根式中的应用，以及实数大小比较的倒数法，属于基础题型，需熟练掌握二次根式的运算规则和有理化的方法。
【难度系数】0.5
23.(8分)某校在一次数学活动中，组织学生设计矩形花圃。花圃的一边可利用长为8米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长20米。下面是小高和小周两位同学设计的方案(篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计)：
(1)如图1是小高同学设计的方案，花圃ABCD的一边AD靠墙($AD≤8$米)，另三边用篱笆围成。设AB的长为$x$米，
①求BC的长(用含$x$的代数式表示)。
②当花圃ABCD的面积为42平方米时，求$x$的值。
(2)如图2是小周同学设计的方案，花圃EFGH的一边EH由围墙(EM)和部分篱笆(MH)组成，另三边由剩余的篱笆围成。问花圃EFGH的面积能达到50平方米吗？请通过计算
说明。
(1)如图1是小高同学设计的方案，花圃ABCD的一边AD靠墙($AD≤8$米)，另三边用篱笆围成。设AB的长为$x$米，
①求BC的长(用含$x$的代数式表示)。
②当花圃ABCD的面积为42平方米时，求$x$的值。
(2)如图2是小周同学设计的方案，花圃EFGH的一边EH由围墙(EM)和部分篱笆(MH)组成，另三边由剩余的篱笆围成。问花圃EFGH的面积能达到50平方米吗？请通过计算
说明。
答案
(1)①$BC=(20-2x)$米。
②根据题意,得$x(20-2x)=42$,解得$x_1=3$,$x_2=7$,因为$20-2x \le 8$,所以$x \ge 6$,所以$x=7$,所以$x$的值为7。
(2)设$EF=y$米,则$FG=(14-y)$米,根据题意,得$y(14-y)=50$,$y^2-14y+50=0$,因为$b^2-4ac=(-14)^2-4×1×50=-4＜0$,所以此方程无实数根,所以矩形花圃EFGH的面积不能达到50平方米。
②根据题意,得$x(20-2x)=42$,解得$x_1=3$,$x_2=7$,因为$20-2x \le 8$,所以$x \ge 6$,所以$x=7$,所以$x$的值为7。
(2)设$EF=y$米,则$FG=(14-y)$米,根据题意,得$y(14-y)=50$,$y^2-14y+50=0$,因为$b^2-4ac=(-14)^2-4×1×50=-4＜0$,所以此方程无实数根,所以矩形花圃EFGH的面积不能达到50平方米。
解析
【分析】
本题是矩形花圃设计的实际应用问题，分为两小问。第(1)问中，小高的方案利用AD边靠墙，篱笆围另外三边，需先根据篱笆总长用含AB的代数式表示BC，再结合面积公式列方程，同时要注意BC（即AD）不能超过围墙长度8米，对解进行取舍；第(2)问中，小周的方案EH部分为围墙，需结合篱笆总长表示矩形的另一边，通过面积公式列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有解，进而确定面积能否达到目标值。
【解析】
(1) ① 已知AB的长为$x$米，AB和CD均为垂直于围墙的边，故$AB=CD=x$米。篱笆总长为20米，因此BC的长为：$20 - AB - CD = 20 - 2x$（米）。
② 花圃ABCD的面积为$AB×BC$，根据题意列方程：
$x(20 - 2x) = 42$
整理得：$x^2 - 10x + 21 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x - 7) = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = 7$
又因为$AD = BC = 20 - 2x ≤ 8$（围墙长8米），所以$20 - 2x ≤ 8$，解得$x ≥ 6$，因此$x=3$不符合要求，舍去，故$x=7$。
(2) 设EF的长为$y$米，因为$EF=GH=y$米，结合图形可知FG的最大长度为$(14 - y)$米，因此花圃EFGH的面积为$y(14 - y)$平方米。
若面积为50平方米，列方程：
$y(14 - y) = 50$
整理得：$y^2 - 14y + 50 = 0$
计算判别式：$\Delta = (-14)^2 - 4×1×50 = 196 - 200 = -4 ＜ 0$
因为判别式小于0，该一元二次方程无实数根，不存在符合条件的$y$，所以花圃EFGH的面积不能达到50平方米。
【答案】
(1) ① $BC=(20-2x)$米；② $x$的值为7；(2) 花圃EFGH的面积不能达到50平方米。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积、根的判别式
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，需注意实际问题中变量的取值限制（如围墙长度），同时利用根的判别式判断解的存在性，考查学生的逻辑分析和实际应用能力，是典型的代数与几何结合的应用题。
【难度系数】
0.5
本题是矩形花圃设计的实际应用问题，分为两小问。第(1)问中，小高的方案利用AD边靠墙，篱笆围另外三边，需先根据篱笆总长用含AB的代数式表示BC，再结合面积公式列方程，同时要注意BC（即AD）不能超过围墙长度8米，对解进行取舍；第(2)问中，小周的方案EH部分为围墙，需结合篱笆总长表示矩形的另一边，通过面积公式列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有解，进而确定面积能否达到目标值。
【解析】
(1) ① 已知AB的长为$x$米，AB和CD均为垂直于围墙的边，故$AB=CD=x$米。篱笆总长为20米，因此BC的长为：$20 - AB - CD = 20 - 2x$（米）。
② 花圃ABCD的面积为$AB×BC$，根据题意列方程：
$x(20 - 2x) = 42$
整理得：$x^2 - 10x + 21 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x - 7) = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = 7$
又因为$AD = BC = 20 - 2x ≤ 8$（围墙长8米），所以$20 - 2x ≤ 8$，解得$x ≥ 6$，因此$x=3$不符合要求，舍去，故$x=7$。
(2) 设EF的长为$y$米，因为$EF=GH=y$米，结合图形可知FG的最大长度为$(14 - y)$米，因此花圃EFGH的面积为$y(14 - y)$平方米。
若面积为50平方米，列方程：
$y(14 - y) = 50$
整理得：$y^2 - 14y + 50 = 0$
计算判别式：$\Delta = (-14)^2 - 4×1×50 = 196 - 200 = -4 ＜ 0$
因为判别式小于0，该一元二次方程无实数根，不存在符合条件的$y$，所以花圃EFGH的面积不能达到50平方米。
【答案】
(1) ① $BC=(20-2x)$米；② $x$的值为7；(2) 花圃EFGH的面积不能达到50平方米。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积、根的判别式
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，需注意实际问题中变量的取值限制（如围墙长度），同时利用根的判别式判断解的存在性，考查学生的逻辑分析和实际应用能力，是典型的代数与几何结合的应用题。
【难度系数】
0.5
