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24.(8分)如图1,在菱形ABCD中,E是AC上一点,CE＞AE,连结DE,过点B作BF//DE交AC于点F。
(1)求证:AE=CF。
(2)如图2,连结BE,DF,求证:四边形DEBF是菱形。
(3)如图3,在(2)的条件下,延长DE交AB于点G,连结FG,CE=CD。
①探究FG与DF的数量关系,并说明理由。
②若AE=2EF,且FG=3,求菱形ABCD的边长。
(1)求证:AE=CF。
(2)如图2,连结BE,DF,求证:四边形DEBF是菱形。
(3)如图3,在(2)的条件下,延长DE交AB于点G,连结FG,CE=CD。
①探究FG与DF的数量关系,并说明理由。
②若AE=2EF,且FG=3,求菱形ABCD的边长。
答案
(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以$AD // BC$,$AD=BC$,所以$∠ DAE=∠ BCF$,因为$BF // DE$,所以$∠ DEC=∠ BFA$,所以$∠ DEA=∠ BFC$,所以$△ DAE ≌ △ BCF$(AAS),所以$AE=CF$。
(2)证明:如图1,连结BD交AC于点O,因为$△ DAE ≌ △ BCF$,所以$DE=BF$,因为$DE // BF$,所以四边形DEBF是平行四边形,因为四边形ABCD是菱形,所以$AC ⊥ BD$,所以平行四边形DEBF是菱形。
(3)解:①$FG=DF$。理由如下:因为$CE=CD$,所以$∠ CDE=∠ CED$,因为$AB // CD$,所以$∠ CDE=∠ AGE$,又因为$∠ CED=∠ AEG$,所以$∠ AEG=∠ AGE$,$∠ AFB=∠ ABF$,所以$AE=AG$,$AF=AB$,所以$EF=GB$,又因为$FB=BF$,所以$△ GBF ≌ △ EFB$(SAS),所以$FG=EB$,因为四边形DEBF是菱形,所以$FG=EB=DF$。
②如图2,连结BD交AC于点O,则$DO ⊥ AC$。设$EF=a$,则$AE=2a$,所以$CE=CD=3a$,因为四边形DEBF是菱形,所以$FO=EO=\frac{1}{2}a$,所以$CO=\frac{5}{2}a$,因为$DF^2-FO^2=DC^2-CO^2$,所以$9-(\frac{1}{2}a)^2=9a^2-(\frac{5}{2}a)^2$,所以$a_1=\sqrt{3}$,$a_2=-\sqrt{3}$(舍去),所以菱形ABCD的边长为$3\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题是菱形相关的几何证明与计算问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用菱形对边平行且相等的性质得到角相等，结合BF//DE推出另一组角相等，通过AAS证明三角形全等，从而得到线段相等。
2. 第(2)问：由全等得到一组对边平行且相等，先证四边形是平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，证明该平行四边形是菱形。
3. 第(3)问①：由CE=CD得到等腰三角形，结合平行线的性质推导角相等，得到线段相等，再通过SAS证明三角形全等，结合菱形的性质得到FG与DF的关系；②设参数表示相关线段，利用菱形对角线的性质和勾股定理建立方程求解，最终得到菱形边长。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵BF//DE，
∴∠DEA=∠BFC，
在△DAE和△BCF中，
$\{\begin{array}{l}∠DAE=∠BCF \\∠DEA=∠BFC \\AD=BC\end{array} $
∴△DAE≌△BCF(AAS)，
∴AE=CF。
(2) 证明：如图1，连结BD交AC于点O，
由(1)知△DAE≌△BCF，
∴DE=BF，
又
∵DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形。
(3) ① FG=DF，理由如下：
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED，
∵AB//CD，
∴∠CDE=∠AGE，
又
∵∠CED=∠AEG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
同理，∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB，
∵AF - AE = EF，AB - AG = GB，
∴EF=GB，
在△GBF和△EFB中，
$\{\begin{array}{l}GB=EF \\∠GBF=∠EFB \\BF=FB\end{array} $
∴△GBF≌△EFB(SAS)，
∴FG=EB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴EB=DF，
∴FG=DF。
② 如图2，连结BD交AC于点O，则DO⊥AC，
设EF=a，
∵AE=2EF，
∴AE=2a，
由(1)知AE=CF=2a，
∴CE=CF + EF=3a，
∵CE=CD，
∴CD=3a，
∵四边形DEBF是菱形，
∴EO=FO=$\frac{1}{2}a$，
∴CO=CF + FO=2a + $\frac{1}{2}a$=$\frac{5}{2}a$，
在Rt△DFO中，$DF^2=DO^2 + FO^2$，
在Rt△DCO中，$CD^2=DO^2 + CO^2$，
∴$DF^2 - FO^2 = CD^2 - CO^2$，
∵FG=DF=3，代入得：
$3^2 - (\frac{1}{2}a)^2 = (3a)^2 - (\frac{5}{2}a)^2$，
化简得：$9 - \frac{a^2}{4} = 9a^2 - \frac{25a^2}{4}$，
即$9 = 3a^2$，解得$a=\sqrt{3}$（a＞0），
∴CD=3a=3$\sqrt{3}$，即菱形ABCD的边长为$3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析；
(3) ① FG=DF，理由见解析；② 菱形边长为$3\sqrt{3}$；
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、平行四边形与菱形的判定
【点评】
本题综合考查菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解题时需结合平行线、等腰三角形的性质推导边和角的关系，第三小问的计算需利用勾股定理建立方程，逻辑推理和计算能力要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
本题是菱形相关的几何证明与计算问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用菱形对边平行且相等的性质得到角相等，结合BF//DE推出另一组角相等，通过AAS证明三角形全等，从而得到线段相等。
2. 第(2)问：由全等得到一组对边平行且相等，先证四边形是平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，证明该平行四边形是菱形。
3. 第(3)问①：由CE=CD得到等腰三角形，结合平行线的性质推导角相等，得到线段相等，再通过SAS证明三角形全等，结合菱形的性质得到FG与DF的关系；②设参数表示相关线段，利用菱形对角线的性质和勾股定理建立方程求解，最终得到菱形边长。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵BF//DE，
∴∠DEA=∠BFC，
在△DAE和△BCF中，
$\{\begin{array}{l}∠DAE=∠BCF \\∠DEA=∠BFC \\AD=BC\end{array} $
∴△DAE≌△BCF(AAS)，
∴AE=CF。
(2) 证明：如图1，连结BD交AC于点O，
由(1)知△DAE≌△BCF，
∴DE=BF，
又
∵DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形。
(3) ① FG=DF，理由如下：
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED，
∵AB//CD，
∴∠CDE=∠AGE，
又
∵∠CED=∠AEG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
同理，∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB，
∵AF - AE = EF，AB - AG = GB，
∴EF=GB，
在△GBF和△EFB中，
$\{\begin{array}{l}GB=EF \\∠GBF=∠EFB \\BF=FB\end{array} $
∴△GBF≌△EFB(SAS)，
∴FG=EB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴EB=DF，
∴FG=DF。
② 如图2，连结BD交AC于点O，则DO⊥AC，
设EF=a，
∵AE=2EF，
∴AE=2a，
由(1)知AE=CF=2a，
∴CE=CF + EF=3a，
∵CE=CD，
∴CD=3a，
∵四边形DEBF是菱形，
∴EO=FO=$\frac{1}{2}a$，
∴CO=CF + FO=2a + $\frac{1}{2}a$=$\frac{5}{2}a$，
在Rt△DFO中，$DF^2=DO^2 + FO^2$，
在Rt△DCO中，$CD^2=DO^2 + CO^2$，
∴$DF^2 - FO^2 = CD^2 - CO^2$，
∵FG=DF=3，代入得：
$3^2 - (\frac{1}{2}a)^2 = (3a)^2 - (\frac{5}{2}a)^2$，
化简得：$9 - \frac{a^2}{4} = 9a^2 - \frac{25a^2}{4}$，
即$9 = 3a^2$，解得$a=\sqrt{3}$（a＞0），
∴CD=3a=3$\sqrt{3}$，即菱形ABCD的边长为$3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析；
(3) ① FG=DF，理由见解析；② 菱形边长为$3\sqrt{3}$；
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、平行四边形与菱形的判定
【点评】
本题综合考查菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解题时需结合平行线、等腰三角形的性质推导边和角的关系，第三小问的计算需利用勾股定理建立方程，逻辑推理和计算能力要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
