7.如图,在△ABC中,点E,D,F分别在边AB,BC,AC上,且DE//CA,DF//AB。下列判断错误的是
（）

A.四边形AEDF是平行四边形
B.若DE⊥DF,则四边形AEDF是矩形
C.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
D.若AD⊥EF,则四边形AEDF是正方形

D

【分析】
本题需根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一分析各选项，找出判断错误的选项。首先由已知的两组对边平行，确定四边形AEDF的形状，再结合特殊四边形的判定条件推导各选项结论。
【解析】
已知DE//CA，DF//AB，即DE//AF，DF//AE，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形AEDF是平行四边形，故A选项正确；
若DE⊥DF，结合四边形AEDF是平行四边形，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知四边形AEDF是矩形，故B选项正确；
若AD平分∠BAC，则∠EAD=∠FAD，又因DF//AB，得∠FAD=∠EDA，所以∠EAD=∠EDA，即AE=DE，结合平行四边形邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形AEDF是菱形，故C选项正确；
若AD⊥EF，结合四边形AEDF是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此时只能判定四边形AEDF是菱形，无法得出它是正方形（正方形还需满足有一个角为直角或对角线相等），故D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形判定、矩形判定、菱形判定、正方形判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，需熟练掌握各类特殊四边形的判定定理，逐一分析选项即可，属于基础几何题，难度不大。
【难度系数】
0.5

8.已知关于$x$的方程$a(x-m)^2 + k = 0$($a,m,k$均为常数，且$a≠0$)的两个根是$x_1=1,x_2=4$，则方程$a(x-m-2)^2 + k = 0$的解是（）

A.$x_1=1,x_2=-2$
B.$x_1=3,x_2=6$
C.$x_1=1,x_2=4$
D.$x_1=-1,x_2=2$

B

【分析】本题可通过换元法联系两个方程的结构，先将已知方程的根转化为关于“x - m”的解，再代入目标方程，即可求出目标方程的解。核心思路是利用方程解的对应关系，发现两个方程括号内式子的差异，进而推导解的变化。
【解析】已知方程$a(x - m)^2 + k = 0$（$a≠0$）的根为$x_1=1$，$x_2=4$，令$t = x - m$，则该方程变为$at^2 + k = 0$，因此$t$的解为$t_1=1 - m$，$t_2=4 - m$。
对于方程$a(x - m - 2)^2 + k = 0$，令$u = x - m - 2$，则方程变为$au^2 + k = 0$，其解与$at^2 + k = 0$的解相同，即$u_1=1 - m$，$u_2=4 - m$。
将$u = x - m - 2$代入求解：
当$u=1 - m$时，$x - m - 2 = 1 - m$，解得$x=3$；
当$u=4 - m$时，$x - m - 2 = 4 - m$，解得$x=6$。
因此方程$a(x - m - 2)^2 + k = 0$的解是$x_1=3$，$x_2=6$。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解、换元法
【点评】本题考查一元二次方程解的性质，通过换元法建立两个方程的联系是解题关键，属于基础题型，需掌握方程解的对应关系。
【难度系数】0.5

9.如图,在正方形ABCD中,BC=5,将边BC绕点B逆时针旋转至BC',连结CC',DC'。若∠CC'D=90°,则线段C'D的长度为()

A.$\sqrt{5}$
B.2.5
C.4
D.5

A

【分析】
首先，根据旋转性质，BC绕点B旋转得到BC'，故BC=BC'=5；正方形ABCD中，CD=BC=5，∠BCD=90°。要求C'D的长度，可通过建立平面直角坐标系，结合垂直的向量条件和勾股定理求解，需注意舍去不符合题意的解。
【解析】
设平面直角坐标系：令B(0,0)，C(5,0)，D(5,5)，设旋转后点C'的坐标为(m,n)。
1. 由旋转性质，BC'=BC=5，因此满足：$m^2 + n^2 = 5^2 = 25$；
2. 因为∠CC'D=90°，所以向量$\overrightarrow{C'C} ⊥ \overrightarrow{C'D}$，它们的点积为0。其中$\overrightarrow{C'C}=(5 - m, -n)$，$\overrightarrow{C'D}=(5 - m,5 - n)$，代入得：
$(5 - m)^2 + (-n)(5 - n) = 0$，展开化简为：$m^2 + n^2 -10m -5n +25 =0$；
3. 将$m^2 +n^2=25$代入上式，得：$25 -10m -5n +25 =0$，整理得$2m +n =10$，即$n=10-2m$；
4. 将$n=10-2m$代入$m^2 +n^2=25$，得：$m^2 + (10-2m)^2=25$，整理为$5m^2 -40m +75=0$，即$m^2 -8m +15=0$，解得$m=3$或$m=5$；
5. 当$m=5$时，$n=0$，此时C'与C重合，不符合题意，舍去；故$m=3$，$n=10-2×3=4$，即C'(3,4)；
6. 计算C'D的长度：$C'D=\sqrt{(5-3)^2 + (5-4)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合旋转与正方形的性质，通过坐标法将几何问题转化为代数计算，需注意舍去不符合题意的解，是几何与代数结合的典型题目，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.4

10.如图,在矩形ABCD中,BC＞AB,对角线AC,BD交于点O,过点O作$OE⊥AC$交BC于点E,OF平分$∠BOE$交BC于点F。若矩形ABCD的周长为定值,则下列线段的长度为定值的是 （）

A.CF
B.BF
C.CE
D.OF

A 解析:如图,作OM⊥BC,垂足为M,因为O是BD的中点,所以OM=$\frac{1}{2}$CD,CM=$\frac{1}{2}$BC,设∠OEM=α。则∠OCB=90°−α,因为OB=OC,所以∠OBC=90°−α,因为OF平分∠BOE交BC于点F,所以∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOE=$\frac{1}{2}$[α−(90°−α)]=α−45°,所以∠OFM=∠OBC+∠BOF=90°−α+α−45°=45°,所以FM=OM=$\frac{1}{2}$CD,所以CF=FM+CM=$\frac{1}{2}$CD+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$(CD+BC),因为矩形ABCD的周长为定值,所以CF是矩形周长的$\frac{1}{4}$,是定值。故选A。

【分析】
要判断哪条线段长度为定值，需利用矩形对角线的性质（相等且互相平分），结合中点作辅助线，通过角平分线性质和三角形外角定理推导角度关系，将目标线段转化为与矩形周长相关的表达式，进而判断其是否为定值。
【解析】
如图，作OM⊥BC，垂足为M。
∵四边形ABCD是矩形，
∴对角线AC、BD互相平分且相等，即O是BD中点，OB=OC。
根据三角形中位线性质，OM是△BCD的中位线，因此：
OM = ½CD，CM = ½BC。
设∠OEM = α，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC = 90°，在△EOC中，∠OCB = 90°−α。
又
∵OB=OC，
∴∠OBC = ∠OCB = 90°−α。
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF = ½∠BOE。
而∠BOE = ∠OEM − ∠OBC = α − (90°−α) = 2α − 90°，因此∠BOF = ½(2α−90°)=α−45°。
根据三角形外角定理，∠OFM = ∠OBC + ∠BOF = (90°−α) + (α−45°)=45°。
在Rt△OMF中，∠OFM=45°，故△OMF是等腰直角三角形，得FM=OM=½CD。
因此CF = FM + CM = ½CD + ½BC = ½(BC + CD)。
∵矩形ABCD的周长为定值，即2(BC + CD)为定值，
∴½(BC + CD)=周长/4，是定值。
综上，CF为定值，故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、角平分线的性质、三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查矩形的性质及线段定值的判断，通过作辅助线将目标线段转化为与矩形周长相关的表达式，需学生掌握几何图形的性质及角度推导，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

11.计算:$(\sqrt{3})^{2}=$______。

3

【分析】
要计算$(\sqrt{3})^{2}$，需利用二次根式的性质：对于非负数$a$，$(\sqrt{a})^{2}=a$，直接将$a=3$代入该性质即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^{2}=a$，
因此$(\sqrt{3})^{2}=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的基本性质，属于基础运算题，侧重对基础知识的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.9

12.若一个多边形的每个外角均为$60°$，则这个多边形的边数为________。

6

【分析】
要解决这个问题，需利用多边形外角和的性质：任意多边形的外角和是固定的360°，与边数无关。已知每个外角的度数，用外角和除以单个外角的度数，就能求出多边形的边数。
【解析】
任意多边形的外角和为360°，设该多边形的边数为$n$，则$n = 360°÷60° = 6$。
【答案】
6
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题是多边形相关的基础计算题，核心考查多边形外角和的性质，只要牢记外角和为360°，即可快速计算出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9

13.构造一个一元二次方程,要求:①常数项是-6;②有一个根为2。
这个一元二次方程可以是。(写出一个即可)

$x^2 + x - 6 = 0$(答案不唯一)

【分析】
要构造满足条件的一元二次方程，首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）。题目要求常数项$c=-6$，且有一个根为$2$，因此可将$x=2$代入方程，得到关于$a$和$b$的关系式，再选取合适的$a$（$a≠0$），即可求出对应的$b$，进而构造出符合条件的方程，由于$a$的取值不唯一，故答案不唯一。
【解析】
设一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）。
1. 根据条件①，常数项为$-6$，即$c=-6$，此时方程为$ax^2 + bx -6 = 0$；
2. 根据条件②，$x=2$是方程的根，将$x=2$代入方程得：$a×2^2 + b×2 -6 = 0$，化简得$4a + 2b = 6$，进一步整理为$2a + b = 3$；
3. 选取$a=1$（满足$a≠0$），代入$2a + b =3$得：$2×1 + b =3$，解得$b=1$；
4. 因此，满足条件的一元二次方程可以是$x^2 + x -6 =0$（答案不唯一）。
【答案】
$x^2 + x -6 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的构造、一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程的构造，核心是利用一元二次方程根的定义代入求解系数，题目具有开放性，只要满足给定的两个条件即可，属于基础题，有助于巩固对一元二次方程一般形式及根的概念的理解。
【难度系数】
0.7

14.某老师绘制了一次小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图(如图),若每班有42名学生,则三个班级的第11名中,(填“甲”“乙”或“丙”)班的分数最高。

丙

【分析】要确定三个班级中第11名分数最高的班级，需结合箱线图的意义分析：每班有42名学生，从高到低排名的第11名，对应数据的上四分位数（Q3）——因为42的25%为10.5，即有11个数据≥Q3，因此第11名的成绩等于Q3的值，只需比较三个班级箱线图的上四分位数即可。
【解析】已知每班42名学生，从高到低的第11名对应数据的上四分位数（Q3）：计算得42×25%=10.5，说明有11个数据≥Q3，故第11名的成绩为Q3的值。观察箱线图，甲班Q3约为85分，乙班Q3约为83分，丙班Q3约为88分，丙班的Q3最高，因此丙班的第11名分数最高。
【答案】丙
【知识点】箱线图、数据的四分位数
【点评】本题考查箱线图的实际应用，核心是理解箱线图中上四分位数对应的数据位置，结合班级人数明确第11名的成绩对应分位数，进而通过比较分位数得出结果，难度适中。
【难度系数】0.4