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15.如图,在$□ ABCD$中,$AE ⊥ BC$于点$E$,$N$是$EC$的中点,$M$是$AB$的中点,$S_{△ ABD}=6$,$BC=4$,则$MN$的长为________。
答案
15.$\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
要解决本题，首先利用平行四边形与三角形的面积关系求出平行四边形的高AE；再通过建立平面直角坐标系确定各点坐标，利用中点坐标公式得到M、N的坐标，最后用两点间距离公式计算MN的长度，过程中未知参数会被消去，从而得到定值。
【解析】
1. 由平行四边形性质可知，$△ ABD$的面积是平行四边形$ABCD$面积的一半，已知$S_{△ ABD}=6$，因此$S_{□ABCD}=2×6=12$。
2. 因为$AE⊥BC$，$BC=4$，平行四边形面积公式为$S=底×高$，故$S_{□ABCD}=BC×AE$，代入得$4×AE=12$，解得$AE=3$。
3. 建立平面直角坐标系：设$B(0,0)$，$C(4,0)$，$E(a,0)$（$a$为$BE$的长度），则$A(a,3)$（因$AE⊥BC$，$AE=3$）。
4. 因为$M$是$AB$中点，根据中点坐标公式，$M$的坐标为$(\frac{0+a}{2},\frac{0+3}{2})=(\frac{a}{2},\frac{3}{2})$；$N$是$EC$中点，$E(a,0)$、$C(4,0)$，故$N$的坐标为$(\frac{a+4}{2},\frac{0+0}{2})=(\frac{a+4}{2},0)$。
5. 根据两点间距离公式，$MN=\sqrt{(\frac{a+4}{2}-\frac{a}{2})^2+(0-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{2^2+(-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
平行四边形性质、两点间距离公式、中点坐标公式
【点评】
本题结合平行四边形面积与坐标法求解线段长度，通过参数消元简化计算，体现了代数方法在几何问题中的应用，关键在于合理建立坐标系简化坐标计算。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用平行四边形与三角形的面积关系求出平行四边形的高AE；再通过建立平面直角坐标系确定各点坐标，利用中点坐标公式得到M、N的坐标，最后用两点间距离公式计算MN的长度，过程中未知参数会被消去，从而得到定值。
【解析】
1. 由平行四边形性质可知，$△ ABD$的面积是平行四边形$ABCD$面积的一半，已知$S_{△ ABD}=6$，因此$S_{□ABCD}=2×6=12$。
2. 因为$AE⊥BC$，$BC=4$，平行四边形面积公式为$S=底×高$，故$S_{□ABCD}=BC×AE$，代入得$4×AE=12$，解得$AE=3$。
3. 建立平面直角坐标系：设$B(0,0)$，$C(4,0)$，$E(a,0)$（$a$为$BE$的长度），则$A(a,3)$（因$AE⊥BC$，$AE=3$）。
4. 因为$M$是$AB$中点，根据中点坐标公式，$M$的坐标为$(\frac{0+a}{2},\frac{0+3}{2})=(\frac{a}{2},\frac{3}{2})$；$N$是$EC$中点，$E(a,0)$、$C(4,0)$，故$N$的坐标为$(\frac{a+4}{2},\frac{0+0}{2})=(\frac{a+4}{2},0)$。
5. 根据两点间距离公式，$MN=\sqrt{(\frac{a+4}{2}-\frac{a}{2})^2+(0-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{2^2+(-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
平行四边形性质、两点间距离公式、中点坐标公式
【点评】
本题结合平行四边形面积与坐标法求解线段长度，通过参数消元简化计算，体现了代数方法在几何问题中的应用，关键在于合理建立坐标系简化坐标计算。
【难度系数】
0.5
16.如图,在矩形ABCD中,连结BD,在△BCD,△ABD内分别取一点P,Q,使点P到△BCD三边的距离PE,PF,PG都相等,使点Q到△ABD三边的距离QH,QM,QN都相等,已知BE=m,DF=n(m＞n),若mn=28,矩形ABCD的周长为32,则图中阴影部分的面积是
$8\sqrt{2}$
。答案
16.$8\sqrt{2}$ 解析:如图,连结 BP,DP,BQ,DQ。因为四边形 ABCD 是矩形,矩形 ABCD 的周长为 32,所以∠A=∠C=90°,BC+CD=32÷2=16。因为点 P 到△BCD 三边的距离 PE,PF,PG 都相等,即 PE=PF=PG,又因为∠PEC=∠PFC=∠C=90°,所以四边形 PECF 是矩形。因为 PE=PF,所以四边形 PFCE 是正方形,所以 CE=CF=PE=PF=PG。在 Rt△BCD 中,$BD^2=BC^2+CD^2=(BE+CE)^2+(DF+CF)^2$,因为 BE=m,DF=n(m＞n),所以$BD^2=(m+CE)^2+(n+CE)^2$①。因为∠BGP=∠PEB=90°,BP=BP,GP=EP,所以△BGP≌△BEP(HL),则 BG=BE=m,同理可证△DGP≌△DFP,所以 DG=DF=n,所以 BD=BG+GD=m+n,所以代入①式,得$(m+n)^2=(m+CE)^2+(n+CE)^2$,整理得$mn=CE^2+CE(m+n)$②。又因为矩形 ABCD 的周长为 32,所以 m+n+2CE=16,所以 m+n=16-2CE,且 mn=28,所以②式变为$28=CE(16-2CE)$,即$CE^2-16CE+28=0$,解得 CE=2 或 14(不合题意,舍去)。所以 m+n=16-2CE=12,$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn=12^2-4×28=32$。因为 m＞n,所以$m-n=4\sqrt{2}$,由矩形的对称性,易得 BH=DG。所以$S_{阴影}=GP·HG=CE·(m-n)=4\sqrt{2}×2=8\sqrt{2}$。
解析
【分析】
本题需利用“到三角形三边距离相等的点是三角形的内心”确定点P的性质，结合矩形、全等三角形的知识推导线段关系，再通过勾股定理和周长建立方程求解，最终计算阴影面积。具体思路：1. 由点P到△BCD三边距离相等，得P是△BCD的内心，推出四边形PECF为正方形；2. 用HL证明△BGP≌△BEP、△DGP≌△DFP，得BG=BE=m、DG=DF=n，故BD=m+n；3. 结合矩形周长得BC+CD=16，即(m+CE)+(n+CE)=16，整理得m+n与CE的关系；4. 利用勾股定理在Rt△BCD中，结合BD=m+n和mn=28，求出CE、m+n、m-n的值；5. 根据对称性，阴影面积为CE·(m-n)，代入计算得结果。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，周长为32，
∴∠C=90°，BC+CD=32÷2=16。
∵点P到△BCD三边的距离PE、PF、PG都相等，即PE=PF=PG，
又∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，结合PE=PF，得四边形PECF是正方形，故CE=CF=PE=PF=PG。
在Rt△BGP和Rt△BEP中：
$\{\begin{array}{l} PG=PE \\ BP=BP \end{array} $
∴Rt△BGP≌Rt△BEP（HL），得BG=BE=m。
同理，Rt△DGP≌Rt△DFP（HL），得DG=DF=n，
∴BD=BG+DG=m+n。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BD^2=BC^2+CD^2$，
∵BC=BE+CE=m+CE，CD=DF+CF=n+CE，
∴$(m+n)^2=(m+CE)^2+(n+CE)^2$，
展开整理得：$mn=CE^2 + CE(m+n)$。
又
∵BC+CD=(m+CE)+(n+CE)=m+n+2CE=16，
∴$m+n=16-2CE$，结合mn=28，代入上式：
$28=CE^2 + CE(16-2CE)$，
整理得：$CE^2 -16CE +28=0$，
解得CE=2或CE=14（CE=14时，m+n=16-2×14=-12，不合题意，舍去），故CE=2。
此时$m+n=16-2×2=12$，
则$(m-n)^2=(m+n)^2 -4mn=12^2 -4×28=144-112=32$，
∵m＞n，
∴$m-n=4\sqrt{2}$。
由矩形对称性，阴影部分面积$S_{阴影}=CE·(m-n)=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
8√2
【知识点】
矩形性质，三角形内心，全等三角形判定
【点评】
本题综合考查矩形、三角形内心、全等三角形及勾股定理的应用，需灵活运用内心性质推导正方形，结合代数方程求解线段长度，关键是建立线段间的关系，逻辑要求较高。
【难度系数】
0.4
本题需利用“到三角形三边距离相等的点是三角形的内心”确定点P的性质，结合矩形、全等三角形的知识推导线段关系，再通过勾股定理和周长建立方程求解，最终计算阴影面积。具体思路：1. 由点P到△BCD三边距离相等，得P是△BCD的内心，推出四边形PECF为正方形；2. 用HL证明△BGP≌△BEP、△DGP≌△DFP，得BG=BE=m、DG=DF=n，故BD=m+n；3. 结合矩形周长得BC+CD=16，即(m+CE)+(n+CE)=16，整理得m+n与CE的关系；4. 利用勾股定理在Rt△BCD中，结合BD=m+n和mn=28，求出CE、m+n、m-n的值；5. 根据对称性，阴影面积为CE·(m-n)，代入计算得结果。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，周长为32，
∴∠C=90°，BC+CD=32÷2=16。
∵点P到△BCD三边的距离PE、PF、PG都相等，即PE=PF=PG，
又∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，结合PE=PF，得四边形PECF是正方形，故CE=CF=PE=PF=PG。
在Rt△BGP和Rt△BEP中：
$\{\begin{array}{l} PG=PE \\ BP=BP \end{array} $
∴Rt△BGP≌Rt△BEP（HL），得BG=BE=m。
同理，Rt△DGP≌Rt△DFP（HL），得DG=DF=n，
∴BD=BG+DG=m+n。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$BD^2=BC^2+CD^2$，
∵BC=BE+CE=m+CE，CD=DF+CF=n+CE，
∴$(m+n)^2=(m+CE)^2+(n+CE)^2$，
展开整理得：$mn=CE^2 + CE(m+n)$。
又
∵BC+CD=(m+CE)+(n+CE)=m+n+2CE=16，
∴$m+n=16-2CE$，结合mn=28，代入上式：
$28=CE^2 + CE(16-2CE)$，
整理得：$CE^2 -16CE +28=0$，
解得CE=2或CE=14（CE=14时，m+n=16-2×14=-12，不合题意，舍去），故CE=2。
此时$m+n=16-2×2=12$，
则$(m-n)^2=(m+n)^2 -4mn=12^2 -4×28=144-112=32$，
∵m＞n，
∴$m-n=4\sqrt{2}$。
由矩形对称性，阴影部分面积$S_{阴影}=CE·(m-n)=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
8√2
【知识点】
矩形性质，三角形内心，全等三角形判定
【点评】
本题综合考查矩形、三角形内心、全等三角形及勾股定理的应用，需灵活运用内心性质推导正方形，结合代数方程求解线段长度，关键是建立线段间的关系，逻辑要求较高。
【难度系数】
0.4
三、解答题(本题有8小题,共72分)
17.(8分)计算。
(1)$\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{1}{27}}+\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}$。
(2)$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{0}+(\sqrt{3})^{-1}+3\sqrt{\frac{1}{3}}$。
17.(8分)计算。
(1)$\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{1}{27}}+\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}$。
(2)$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{0}+(\sqrt{3})^{-1}+3\sqrt{\frac{1}{3}}$。
答案
17. 解: (1) 原式 = $2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9} + \sqrt{3} - 1 = (2-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+1)\sqrt{3}-1=\frac{25}{9}\sqrt{3}-1$
(2) 原式 = $2-1-1+\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$
(2) 原式 = $2-1-1+\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，需先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；同时要掌握零指数幂、负整数指数幂的运算规则，以及平方差公式的应用。对于含根号平方的项，需利用绝对值的性质化简，再进行合并计算。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$，
$\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}=|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$（因为$\sqrt{3}＞1$），
则原式$=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{9}+\sqrt{3}-1$，
合并同类二次根式：$(2-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+1)\sqrt{3}-1=\frac{25}{9}\sqrt{3}-1$；
(2) 分别计算各项：
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$，
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^0=1$（$a≠0$时$a^0=1$），
$(\sqrt{3})^{-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$，
则原式$=1-1+\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$；
【答案】
(1) $\frac{25}{9}\sqrt{3}-1$；(2) $\frac{4}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、零指数幂与负整数指数幂
【点评】
本题为基础代数运算题，主要考查二次根式的化简与合并，以及幂的运算规则，需注意绝对值的化简和同类二次根式的识别，是初中代数的核心基础题型。
【难度系数】
0.6
本题考查二次根式的运算，需先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；同时要掌握零指数幂、负整数指数幂的运算规则，以及平方差公式的应用。对于含根号平方的项，需利用绝对值的性质化简，再进行合并计算。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$，
$\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}=|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$（因为$\sqrt{3}＞1$），
则原式$=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{9}+\sqrt{3}-1$，
合并同类二次根式：$(2-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+1)\sqrt{3}-1=\frac{25}{9}\sqrt{3}-1$；
(2) 分别计算各项：
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$，
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^0=1$（$a≠0$时$a^0=1$），
$(\sqrt{3})^{-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$，
则原式$=1-1+\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$；
【答案】
(1) $\frac{25}{9}\sqrt{3}-1$；(2) $\frac{4}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、零指数幂与负整数指数幂
【点评】
本题为基础代数运算题，主要考查二次根式的化简与合并，以及幂的运算规则，需注意绝对值的化简和同类二次根式的识别，是初中代数的核心基础题型。
【难度系数】
0.6
18.(8分)解方程。
(1)$x^2 - 36 = 0$。
(2)$x(x + 3) - x = 3$。
(1)$x^2 - 36 = 0$。
(2)$x(x + 3) - x = 3$。
答案
18. 解:(1)移项,得$x^2=36$,解得$x_1=6,x_2=-6$。
(2)移项,得$x(x+3)-x-3=0$,提取公因式,得$(x+3)(x-1)=0$,解得$x_1=1,x_2=-3$。
(2)移项,得$x(x+3)-x-3=0$,提取公因式,得$(x+3)(x-1)=0$,解得$x_1=1,x_2=-3$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的解法，第(1)题是形如$x^2=a$（$a≥0$）的方程，适合用直接开平方法，先移项再开平方即可；第(2)题需先整理式子，通过移项后提取公因式，转化为两个一次因式乘积为0的形式，用因式分解法求解。
【解析】
(1)移项，得$x^2=36$，根据平方根的定义，解得$x_1=6$，$x_2=-6$；
(2)移项，得$x(x+3)-x-3=0$，提取公因式得$(x+3)(x-1)=0$，则$x+3=0$或$x-1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
(1)$x_1=6$，$x_2=-6$；(2)$x_1=1$，$x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题是基础的一元二次方程求解题，分别考查直接开平方法和因式分解法，步骤清晰，是学生需掌握的核心基础题型，只要掌握基本解法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的解法，第(1)题是形如$x^2=a$（$a≥0$）的方程，适合用直接开平方法，先移项再开平方即可；第(2)题需先整理式子，通过移项后提取公因式，转化为两个一次因式乘积为0的形式，用因式分解法求解。
【解析】
(1)移项，得$x^2=36$，根据平方根的定义，解得$x_1=6$，$x_2=-6$；
(2)移项，得$x(x+3)-x-3=0$，提取公因式得$(x+3)(x-1)=0$，则$x+3=0$或$x-1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
(1)$x_1=6$，$x_2=-6$；(2)$x_1=1$，$x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题是基础的一元二次方程求解题，分别考查直接开平方法和因式分解法，步骤清晰，是学生需掌握的核心基础题型，只要掌握基本解法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
