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9.已知$a,b,c$为常数,且满足$(a-c)^2＞a^2+c^2$,则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是 （
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
答案
9.B
解析
【分析】首先根据已知不等式展开化简，得到ac的符号；再利用一元二次方程根的判别式，结合ac的符号判断判别式的正负，进而确定方程根的情况。
【解析】对已知不等式$(a-c)^2＞a^2+c^2$展开：左边展开得$a^2 - 2ac + c^2$，因此不等式变为$a^2 - 2ac + c^2 ＞ a^2 + c^2$，两边同时减去$a^2 + c^2$，可得$-2ac ＞ 0$，即$ac ＜ 0$。对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。因为$b^2 ≥ 0$，且$ac ＜ 0$，所以$-4ac ＞ 0$，因此$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，故方程有两个不相等的实数根。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式，不等式的化简
【点评】本题核心是通过已知条件推导ac的符号，再结合判别式性质判断根的情况，属于基础题型，思路清晰易掌握。
【难度系数】0.5
【解析】对已知不等式$(a-c)^2＞a^2+c^2$展开：左边展开得$a^2 - 2ac + c^2$，因此不等式变为$a^2 - 2ac + c^2 ＞ a^2 + c^2$，两边同时减去$a^2 + c^2$，可得$-2ac ＞ 0$，即$ac ＜ 0$。对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。因为$b^2 ≥ 0$，且$ac ＜ 0$，所以$-4ac ＞ 0$，因此$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，故方程有两个不相等的实数根。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式，不等式的化简
【点评】本题核心是通过已知条件推导ac的符号，再结合判别式性质判断根的情况，属于基础题型，思路清晰易掌握。
【难度系数】0.5
10.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,点E在CD边上,点F在菱形ABCD外部,且满足EF//AD,CE=EF。连结AF,CF,取AF的中点G,连结BG,AC。则下列结论:①△CEF是等边三角形;②AG=CG;③BG垂直平分AC;④2BG=AD+CE。其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10.D 解析:如图,延长 BG 至点 H,使GH=BG,并连结 HF,GC。因为EF//AD,四边形 ABCD 为菱形,所以 EF//BC,所以∠FEC=∠BCD=180°-∠ABC=60°,又因为 CE=EF,所以△CEF 是等边三角形,故①正确;因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AB=BC=DC,AC⊥BD,所以∠ACB=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°,又因为△CEF是等边三角形,所以∠ECF=60°,所以∠ACF=∠ACD+∠ECF=30°+60°=90°,因为 AG=GF,所以 CG=$\frac{1}{2}$AF=AG,②正确;因为 AB=BC,AG=CG,BG=BG,所以△ABG≌△CBG(SSS),所以∠ABG=∠CBG,所以由三线合一性质,得 BG 垂直平分 AC,③正确;因为 BG=GH,AG=GF,∠AGB=∠FGH,所以△AGB≌△FGH(SAS),所以∠BAG=∠HFG,所以 AB//HF,因为 AB//CD,所以 CD//HF,又因为∠ABG=∠CBG=60°,所以点 D 在 BG 延长线上,因为∠CBG=60°,∠BCF=120°,所以∠CBG+∠BCF=180°,所以 BH//CF,所以四边形 DCFH 为平行四边形,所以 DH=CF,故 2BG=BG+GH=BD+DH=AD+CF=AD+CE,④正确。故选 D。
解析
【分析】
本题是菱形相关的几何综合题，解题思路为：先利用菱形性质和已知条件判定△CEF为等边三角形；再结合直角三角形斜边中线性质证明AG=CG；接着通过全等三角形和等腰三角形三线合一证明BG垂直平分AC；最后构造辅助线，利用全等、平行四边形性质推导2BG=AD+CE，逐一验证四个结论的正确性。
【解析】
1. 证明①△CEF是等边三角形：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，∠ADC=∠ABC=120°，∠BCD=180°-∠ABC=60°。
又
∵EF//AD，
∴EF//BC，
∴∠DEF=∠ADC=120°（两直线平行，内错角相等），
∴∠CEF=180°-∠DEF=60°。
已知CE=EF，
∴△CEF是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），故①正确。
2. 证明②AG=CG：
∵四边形ABCD是菱形，AC平分∠BCD，
∴∠ACD=½∠BCD=30°。
由①知△CEF是等边三角形，
∴∠ECF=60°，
∴∠ACF=∠ACD+∠ECF=30°+60°=90°，即△ACF是直角三角形。
∵G是AF的中点，
∴CG=½AF=AG（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），故②正确。
3. 证明③BG垂直平分AC：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC。
由②知AG=CG，又BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SSS），
∴∠ABG=∠CBG，根据等腰三角形三线合一，AB=BC，故BG垂直平分AC，③正确。
4. 证明④2BG=AD+CE：
延长BG至点H，使GH=BG，连接HF。
∵G是AF中点，
∴AG=GF，又∠AGB=∠FGH，BG=GH，
∴△AGB≌△FGH（SAS），
∴AB=HF，∠BAG=∠HFG，故AB//HF。
∵AB//CD，
∴CD//HF。
菱形中AB=AD，△CEF是等边三角形，故CF=CE。
由③知∠CBG=½∠ABC=60°，∠BCF=∠BCD+∠ECF=60°+60°=120°，
∴∠CBG+∠BCF=180°，故BH//CF。
又CD//HF，
∴四边形DCFH是平行四边形，
∴DH=CF=CE。
菱形中∠ABC=120°，故△ABD是等边三角形，BD=AD，
∴BH=BD+DH=AD+CE，又BH=BG+GH=2BG，
∴2BG=AD+CE，④正确。
综上，四个结论均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形、等边三角形、全等三角形等几何知识，需通过构造辅助线（延长BG至H）突破难点，对学生的几何推理能力要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.3
本题是菱形相关的几何综合题，解题思路为：先利用菱形性质和已知条件判定△CEF为等边三角形；再结合直角三角形斜边中线性质证明AG=CG；接着通过全等三角形和等腰三角形三线合一证明BG垂直平分AC；最后构造辅助线，利用全等、平行四边形性质推导2BG=AD+CE，逐一验证四个结论的正确性。
【解析】
1. 证明①△CEF是等边三角形：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，∠ADC=∠ABC=120°，∠BCD=180°-∠ABC=60°。
又
∵EF//AD，
∴EF//BC，
∴∠DEF=∠ADC=120°（两直线平行，内错角相等），
∴∠CEF=180°-∠DEF=60°。
已知CE=EF，
∴△CEF是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），故①正确。
2. 证明②AG=CG：
∵四边形ABCD是菱形，AC平分∠BCD，
∴∠ACD=½∠BCD=30°。
由①知△CEF是等边三角形，
∴∠ECF=60°，
∴∠ACF=∠ACD+∠ECF=30°+60°=90°，即△ACF是直角三角形。
∵G是AF的中点，
∴CG=½AF=AG（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），故②正确。
3. 证明③BG垂直平分AC：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC。
由②知AG=CG，又BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SSS），
∴∠ABG=∠CBG，根据等腰三角形三线合一，AB=BC，故BG垂直平分AC，③正确。
4. 证明④2BG=AD+CE：
延长BG至点H，使GH=BG，连接HF。
∵G是AF中点，
∴AG=GF，又∠AGB=∠FGH，BG=GH，
∴△AGB≌△FGH（SAS），
∴AB=HF，∠BAG=∠HFG，故AB//HF。
∵AB//CD，
∴CD//HF。
菱形中AB=AD，△CEF是等边三角形，故CF=CE。
由③知∠CBG=½∠ABC=60°，∠BCF=∠BCD+∠ECF=60°+60°=120°，
∴∠CBG+∠BCF=180°，故BH//CF。
又CD//HF，
∴四边形DCFH是平行四边形，
∴DH=CF=CE。
菱形中∠ABC=120°，故△ABD是等边三角形，BD=AD，
∴BH=BD+DH=AD+CE，又BH=BG+GH=2BG，
∴2BG=AD+CE，④正确。
综上，四个结论均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形、等边三角形、全等三角形等几何知识，需通过构造辅助线（延长BG至H）突破难点，对学生的几何推理能力要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.3
11.若二次根式$\sqrt{x-3}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是________。
答案
11.$x≥3$
解析
【分析】要确定二次根式中x的取值范围，需依据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】二次根式$\sqrt{a}$在实数范围内有意义的条件是被开方数$a≥0$，因此对于$\sqrt{x-3}$，有$x-3≥0$，解这个不等式得：$x≥3$。
【答案】$x≥3$
【知识点】二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】本题考查二次根式有意义的基本条件，属于代数基础题型，难度较低，只要掌握核心知识点即可快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】二次根式$\sqrt{a}$在实数范围内有意义的条件是被开方数$a≥0$，因此对于$\sqrt{x-3}$，有$x-3≥0$，解这个不等式得：$x≥3$。
【答案】$x≥3$
【知识点】二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】本题考查二次根式有意义的基本条件，属于代数基础题型，难度较低，只要掌握核心知识点即可快速解答。
【难度系数】0.9
12.某校八年级二班举行投篮比赛，每人投6球，如图是班上所有学生投进球数的扇形统计图，则班上所有学生投进球数的众数是
2
球。答案
12.2
解析
【分析】要确定投进球数的众数，需先明确众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值。在扇形统计图中，某一区域的面积越大，代表对应投进球数的学生人数越多，因此只需找到扇形面积最大的区域对应的投进球数，即可得到众数。
【解析】观察扇形统计图，投进2球的扇形区域面积最大，说明投进2球的学生人数最多，根据众数的定义，出现次数最多的数就是众数，因此该班学生投进球数的众数是2球。
【答案】2
【知识点】众数、扇形统计图
【点评】本题结合扇形统计图考查众数的概念，解题关键是理解扇形面积大小与对应数据出现次数的关系，属于基础题，难度较低。
【难度系数】0.2
【解析】观察扇形统计图，投进2球的扇形区域面积最大，说明投进2球的学生人数最多，根据众数的定义，出现次数最多的数就是众数，因此该班学生投进球数的众数是2球。
【答案】2
【知识点】众数、扇形统计图
【点评】本题结合扇形统计图考查众数的概念，解题关键是理解扇形面积大小与对应数据出现次数的关系，属于基础题，难度较低。
【难度系数】0.2
13. 已知关于$ x $的方程$ ax^2 + bx + 6 = 0 $的一个根是$ x = -2 $，则代数式$ 6a - 3b + 2 $的值为________。
答案
13.-7
解析
【分析】
要解决该问题，需利用一元二次方程根的定义：方程的根满足方程，将已知根代入方程可得到关于$a$、$b$的关系式，再通过整体代入法计算代数式的值。具体步骤：1. 把$x=-2$代入原方程，整理得到$2a - b$的值；2. 对所求代数式变形，使其能利用$2a - b$的值进行整体代入计算。
【解析】
因为$x = -2$是方程$ax^2 + bx + 6 = 0$的根，所以将$x = -2$代入方程得：
$a · (-2)^2 + b · (-2) + 6 = 0$
计算得：$4a - 2b + 6 = 0$
两边同时除以2，化简得：$2a - b = -3$
对代数式$6a - 3b + 2$变形，可得：
$6a - 3b + 2 = 3(2a - b) + 2$
将$2a - b = -3$代入上式：
$3 × (-3) + 2 = -9 + 2 = -7$
【答案】
-7
【知识点】
一元二次方程的根、代数式求值（整体代入法）
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及整体代入法求代数式的值，属于基础题型，关键是利用方程根的定义得到$a$、$b$的关系式，再通过整体变形简化计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，需利用一元二次方程根的定义：方程的根满足方程，将已知根代入方程可得到关于$a$、$b$的关系式，再通过整体代入法计算代数式的值。具体步骤：1. 把$x=-2$代入原方程，整理得到$2a - b$的值；2. 对所求代数式变形，使其能利用$2a - b$的值进行整体代入计算。
【解析】
因为$x = -2$是方程$ax^2 + bx + 6 = 0$的根，所以将$x = -2$代入方程得：
$a · (-2)^2 + b · (-2) + 6 = 0$
计算得：$4a - 2b + 6 = 0$
两边同时除以2，化简得：$2a - b = -3$
对代数式$6a - 3b + 2$变形，可得：
$6a - 3b + 2 = 3(2a - b) + 2$
将$2a - b = -3$代入上式：
$3 × (-3) + 2 = -9 + 2 = -7$
【答案】
-7
【知识点】
一元二次方程的根、代数式求值（整体代入法）
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及整体代入法求代数式的值，属于基础题型，关键是利用方程根的定义得到$a$、$b$的关系式，再通过整体变形简化计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
14.如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAC=90°,AB=6,AC=8$,分别以$A,C$为圆心,大于$\dfrac{1}{2}AC$的长为半径画弧,两弧相交于$M,N$两点,作直线$MN$,分别与$AD,BC,AC$相交于点$E,F,O$。连结$AF,CE$,则$AF$的长是__________。
答案
14.5
解析
【解析】
1. 由作图步骤可知，直线MN是AC的垂直平分线，因此可得：$AO=OC=\dfrac{1}{2}AC=4$，且$EF⊥ AC$，$AF=CF$。
2. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，可得$∠ EAO=∠ FCO$，结合$AO=OC$，$∠ AOE=∠ COF$，可证$△ AOE≌△ COF$，进而得到$AE=CF$，因此四边形$AECF$是平行四边形，又因为$EF⊥ AC$，所以四边形$AECF$是菱形，即$AF=FC$。
3. 已知$∠ BAC=90°$，$AB=6$，$AC=8$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
4. 设$AF=x$，则$CF=x$，$BF=BC-CF=10-x$。因为$∠ BAC=90°$，所以$∠ BAF+∠ FAC=90°$，又由$AF=CF$得$∠ FAC=∠ FCA$，因此$∠ BAF+∠ FCA=90°$，结合$∠ B+∠ FCA=90°$，可得$∠ BAF=∠ B$，即$AF=BF$，因此$10-x=x$，解得$x=5$，即$AF=5$。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形性质；垂直平分线性质；勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查平行四边形与线段垂直平分线的综合应用，解题关键是识别出MN为AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和勾股定理建立边长关系求解，属于平行四边形章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
1. 由作图步骤可知，直线MN是AC的垂直平分线，因此可得：$AO=OC=\dfrac{1}{2}AC=4$，且$EF⊥ AC$，$AF=CF$。
2. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，可得$∠ EAO=∠ FCO$，结合$AO=OC$，$∠ AOE=∠ COF$，可证$△ AOE≌△ COF$，进而得到$AE=CF$，因此四边形$AECF$是平行四边形，又因为$EF⊥ AC$，所以四边形$AECF$是菱形，即$AF=FC$。
3. 已知$∠ BAC=90°$，$AB=6$，$AC=8$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
4. 设$AF=x$，则$CF=x$，$BF=BC-CF=10-x$。因为$∠ BAC=90°$，所以$∠ BAF+∠ FAC=90°$，又由$AF=CF$得$∠ FAC=∠ FCA$，因此$∠ BAF+∠ FCA=90°$，结合$∠ B+∠ FCA=90°$，可得$∠ BAF=∠ B$，即$AF=BF$，因此$10-x=x$，解得$x=5$，即$AF=5$。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形性质；垂直平分线性质；勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查平行四边形与线段垂直平分线的综合应用，解题关键是识别出MN为AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和勾股定理建立边长关系求解，属于平行四边形章节的常考题型。
【难度系数】
0.6
