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19.(8分)一个直角三角形的斜边长为$a+4$，一条直角边长为$a$。
(1)用含$a$的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长。
(2)当$a=4$时，这个直角三角形的面积是多少？
(1)用含$a$的代数式表示这个直角三角形另一条直角边的长。
(2)当$a=4$时，这个直角三角形的面积是多少？
答案
19. 解:(1)另一条直角边的长为$\sqrt{(a+4)^2-a^2}=\sqrt{8a+16}=2\sqrt{2a+4}$。
(2)当$a=4$时,$2\sqrt{2a+4}=4\sqrt{3}$,所以,直角三角形的面积是$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
(2)当$a=4$时,$2\sqrt{2a+4}=4\sqrt{3}$,所以,直角三角形的面积是$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题考查直角三角形的勾股定理应用、二次根式化简及面积计算。解题思路：(1)利用直角三角形勾股定理，斜边平方等于两直角边平方和，据此求出另一条直角边的表达式，再对二次根式化简；(2)将a=4代入化简后的表达式得到另一条直角边的长，再用直角三角形面积公式计算面积。
【解析】
(1) 设另一条直角边的长为$x$，根据勾股定理：
$x^2 + a^2 = (a+4)^2$
移项得：$x^2 = (a+4)^2 - a^2$
展开计算：$x^2 = a^2 + 8a +16 - a^2 = 8a +16$
因此$x = \sqrt{8a +16} = \sqrt{4(2a +4)} = 2\sqrt{2a +4}$，即另一条直角边的长为$2\sqrt{2a +4}$。
(2) 当$a=4$时，代入另一条直角边的表达式：
$2\sqrt{2×4 +4} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$
直角三角形面积为：$\frac{1}{2}×a×4\sqrt{3} = \frac{1}{2}×4×4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{2a+4}$；(2) $8\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理、二次根式化简、直角三角形面积计算
【点评】
本题为基础题型，直接考查勾股定理的应用、二次根式化简及面积计算，步骤清晰，只要掌握相关基础知识点即可完成解答，是常规的代数几何结合题。
【难度系数】
0.7
本题考查直角三角形的勾股定理应用、二次根式化简及面积计算。解题思路：(1)利用直角三角形勾股定理，斜边平方等于两直角边平方和，据此求出另一条直角边的表达式，再对二次根式化简；(2)将a=4代入化简后的表达式得到另一条直角边的长，再用直角三角形面积公式计算面积。
【解析】
(1) 设另一条直角边的长为$x$，根据勾股定理：
$x^2 + a^2 = (a+4)^2$
移项得：$x^2 = (a+4)^2 - a^2$
展开计算：$x^2 = a^2 + 8a +16 - a^2 = 8a +16$
因此$x = \sqrt{8a +16} = \sqrt{4(2a +4)} = 2\sqrt{2a +4}$，即另一条直角边的长为$2\sqrt{2a +4}$。
(2) 当$a=4$时，代入另一条直角边的表达式：
$2\sqrt{2×4 +4} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}$
直角三角形面积为：$\frac{1}{2}×a×4\sqrt{3} = \frac{1}{2}×4×4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{2a+4}$；(2) $8\sqrt{3}$
【知识点】
勾股定理、二次根式化简、直角三角形面积计算
【点评】
本题为基础题型，直接考查勾股定理的应用、二次根式化简及面积计算，步骤清晰，只要掌握相关基础知识点即可完成解答，是常规的代数几何结合题。
【难度系数】
0.7
20.(8分)质量检测部门对甲、乙两公司销售的某电子产品的使用寿命进行跟踪调查,统计结果如下(单位:年):
甲公司:6,6,8,8,8,9,10,12,14,15。
乙公司:4,4,4,6,7,9,13,15,16,16。
根据上述两家公司产品使用寿命数据(单位:年),可以得到下列统计量：
(1)请你求出乙公司产品使用寿命的平均数和中位数。(4分)
(2)甲、乙两公司在产品的销售广告中都声称,其销售的产品的使用寿命是8年,问:这两家公司分别选用了哪一种统计量作为该电子产品的使用寿命？(2分)
(3)如果你是顾客,你将选购哪家公司销售的产品？为什么？(2分)
甲公司:6,6,8,8,8,9,10,12,14,15。
乙公司:4,4,4,6,7,9,13,15,16,16。
根据上述两家公司产品使用寿命数据(单位:年),可以得到下列统计量：
(1)请你求出乙公司产品使用寿命的平均数和中位数。(4分)
(2)甲、乙两公司在产品的销售广告中都声称,其销售的产品的使用寿命是8年,问:这两家公司分别选用了哪一种统计量作为该电子产品的使用寿命？(2分)
(3)如果你是顾客,你将选购哪家公司销售的产品？为什么？(2分)
答案
20. 解:(1)$\overline{x}=\frac{4×3+6+7+9+13+15+16×2}{10}=9.4$(年)。中位数为$\frac{7+9}{2}=8$(年)。答:平均数为9.4年,中位数为8年。
(2)甲公司选用了众数,乙公司选用了中位数。
(3)此题答案不唯一,只要说出合理理由即可。例如,选用甲公司的产品,因为它的平均数、众数、中位数比较接近,产品质量相对比较好,且稳定。
(2)甲公司选用了众数,乙公司选用了中位数。
(3)此题答案不唯一,只要说出合理理由即可。例如,选用甲公司的产品,因为它的平均数、众数、中位数比较接近,产品质量相对比较好,且稳定。
解析
【分析】
本题考查平均数、众数、中位数的计算及实际应用，解题思路如下：
1. 计算乙公司的平均数：先求出乙公司所有产品使用寿命的总和，再除以数据总个数；计算中位数：将乙公司数据从小到大排序，10个数据的中位数是中间两个数的平均数。
2. 判断两公司选用的统计量：对比甲公司的众数、乙公司的中位数，与广告声称的8年对应，即可得出结果。
3. 选购公司的判断：结合三个统计量的意义，分析两公司产品的平均水平和质量稳定性，选择更优的产品。
【解析】
(1) 乙公司产品使用寿命的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{4×3 + 6 + 7 + 9 + 13 + 16×2}{10} = \frac{12 + 6 + 7 + 9 + 13 + 32}{10} = \frac{94}{10} = 9.4$（年）；
将乙公司数据从小到大排序为：4,4,4,6,7,9,13,15,16,16，共10个数据，中位数为第5和第6个数据的平均数，即$\frac{7 + 9}{2} = 8$（年）。
(2) 甲公司产品的众数是8，广告声称使用寿命为8年，故甲公司选用了众数作为统计量；乙公司产品的中位数是8，广告声称使用寿命为8年，故乙公司选用了中位数作为统计量。
(3) 选购甲公司的产品，理由：甲公司产品的平均数（9.6年）高于乙公司（9.4年），且甲公司的众数（8年）、中位数（8.5年）与平均数接近，说明产品质量更稳定，整体使用寿命表现更好。
【答案】
(1) 乙公司产品使用寿命的平均数为9.4年，中位数为8年；
(2) 甲公司选用了众数，乙公司选用了中位数；
(3) 选购甲公司的产品，理由合理即可（如甲公司产品质量更稳定，平均使用寿命更长等）。
【知识点】
平均数计算、中位数计算、众数应用
【点评】
本题是统计知识的基础应用题，重点考查统计量的计算方法及实际意义的理解，难度不大，需掌握基础统计知识并能结合实际分析问题。
【难度系数】
0.7
本题考查平均数、众数、中位数的计算及实际应用，解题思路如下：
1. 计算乙公司的平均数：先求出乙公司所有产品使用寿命的总和，再除以数据总个数；计算中位数：将乙公司数据从小到大排序，10个数据的中位数是中间两个数的平均数。
2. 判断两公司选用的统计量：对比甲公司的众数、乙公司的中位数，与广告声称的8年对应，即可得出结果。
3. 选购公司的判断：结合三个统计量的意义，分析两公司产品的平均水平和质量稳定性，选择更优的产品。
【解析】
(1) 乙公司产品使用寿命的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{4×3 + 6 + 7 + 9 + 13 + 16×2}{10} = \frac{12 + 6 + 7 + 9 + 13 + 32}{10} = \frac{94}{10} = 9.4$（年）；
将乙公司数据从小到大排序为：4,4,4,6,7,9,13,15,16,16，共10个数据，中位数为第5和第6个数据的平均数，即$\frac{7 + 9}{2} = 8$（年）。
(2) 甲公司产品的众数是8，广告声称使用寿命为8年，故甲公司选用了众数作为统计量；乙公司产品的中位数是8，广告声称使用寿命为8年，故乙公司选用了中位数作为统计量。
(3) 选购甲公司的产品，理由：甲公司产品的平均数（9.6年）高于乙公司（9.4年），且甲公司的众数（8年）、中位数（8.5年）与平均数接近，说明产品质量更稳定，整体使用寿命表现更好。
【答案】
(1) 乙公司产品使用寿命的平均数为9.4年，中位数为8年；
(2) 甲公司选用了众数，乙公司选用了中位数；
(3) 选购甲公司的产品，理由合理即可（如甲公司产品质量更稳定，平均使用寿命更长等）。
【知识点】
平均数计算、中位数计算、众数应用
【点评】
本题是统计知识的基础应用题，重点考查统计量的计算方法及实际意义的理解，难度不大，需掌握基础统计知识并能结合实际分析问题。
【难度系数】
0.7
21.(8分)如图,正方形纸片ABCD的边长为4。
(1)请用三角板根据以下要求画图:
①分别取AB,AD,CD的中点E,F,G,连结EF,FG。(2分)
②用①所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形(无缝隙、无重叠),并画出其示意图。(2分)
(2)求(1)所拼成的等腰三角形的周长。(4分)
(1)请用三角板根据以下要求画图:
①分别取AB,AD,CD的中点E,F,G,连结EF,FG。(2分)
②用①所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形(无缝隙、无重叠),并画出其示意图。(2分)
(2)求(1)所拼成的等腰三角形的周长。(4分)
答案
21. 解:(1) 画图见
(2)因为正方形纸片 ABCD 的边长为 4,E,F 分别为 AB,AD 的中点,所以 BC=4,AE=AF=2。因为∠A=90°,所以 EF=2√2。因为△BEP 由△AEF 剪拼所得,所以 PE=EF=2√2,PB=AF=2,PF=PE+EF=4√2。同理可得 FQ=4√2,CQ=2。所以等腰三角形的周长为 PF+FQ+PQ=4√2+4√2+8=8√2+8。
解析
【分析】
首先，根据正方形边长为4，确定各中点E、F、G的位置：E是AB中点，故AE=EB=2；F是AD中点，AF=FD=2；G是CD中点，DG=GC=2。剪拼时利用旋转性质，将△AEF绕点E旋转、△DGF绕点G旋转，补到正方形外侧形成等腰三角形PFQ。计算周长时，需先求出等腰三角形各边长度：PF由两段EF拼接，FQ同理，底边PQ由PB、BC、CQ拼接，其中PB=AF=2，CQ=FD=2，BC=4，EF是Rt△AEF的斜边，长度为2√2。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 用三角板分别取AB的中点E、AD的中点F、CD的中点G，连接EF、FG，完成画图；
② 将△AEF绕点E旋转，△DGF绕点G旋转，补到正方形ABCD外侧，得到无缝隙、无重叠的等腰三角形PFQ，完成剪拼画图。
(2) 计算等腰三角形的周长：
已知正方形ABCD边长为4，E、F分别为AB、AD中点，故AE=AF=2，∠A=90°，在Rt△AEF中，由勾股定理得EF=√(AE²+AF²)=√(2²+2²)=2√2。
根据剪拼性质，△BEP由△AEF剪拼所得，故PE=EF=2√2，PB=AF=2，因此PF=PE+EF=2√2+2√2=4√2；同理可得FQ=4√2，CQ=FD=2。
底边PQ的长度为PB+BC+CQ=2+4+2=8。
所以等腰三角形的周长为PF+FQ+PQ=4√2+4√2+8=8+8√2。
【答案】
(1) 画图见；(2) 拼成的等腰三角形的周长为8+8√2。
【知识点】
正方形性质、图形剪拼、等腰三角形周长计算
【点评】
本题结合正方形性质考查图形剪拼，需利用旋转变换理解剪拼前后边长不变的特点，既考查几何作图能力，又考查计算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先，根据正方形边长为4，确定各中点E、F、G的位置：E是AB中点，故AE=EB=2；F是AD中点，AF=FD=2；G是CD中点，DG=GC=2。剪拼时利用旋转性质，将△AEF绕点E旋转、△DGF绕点G旋转，补到正方形外侧形成等腰三角形PFQ。计算周长时，需先求出等腰三角形各边长度：PF由两段EF拼接，FQ同理，底边PQ由PB、BC、CQ拼接，其中PB=AF=2，CQ=FD=2，BC=4，EF是Rt△AEF的斜边，长度为2√2。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 用三角板分别取AB的中点E、AD的中点F、CD的中点G，连接EF、FG，完成画图；
② 将△AEF绕点E旋转，△DGF绕点G旋转，补到正方形ABCD外侧，得到无缝隙、无重叠的等腰三角形PFQ，完成剪拼画图。
(2) 计算等腰三角形的周长：
已知正方形ABCD边长为4，E、F分别为AB、AD中点，故AE=AF=2，∠A=90°，在Rt△AEF中，由勾股定理得EF=√(AE²+AF²)=√(2²+2²)=2√2。
根据剪拼性质，△BEP由△AEF剪拼所得，故PE=EF=2√2，PB=AF=2，因此PF=PE+EF=2√2+2√2=4√2；同理可得FQ=4√2，CQ=FD=2。
底边PQ的长度为PB+BC+CQ=2+4+2=8。
所以等腰三角形的周长为PF+FQ+PQ=4√2+4√2+8=8+8√2。
【答案】
(1) 画图见
；(2) 拼成的等腰三角形的周长为8+8√2。【知识点】
正方形性质、图形剪拼、等腰三角形周长计算
【点评】
本题结合正方形性质考查图形剪拼，需利用旋转变换理解剪拼前后边长不变的特点，既考查几何作图能力，又考查计算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
