登录
22.(10分)某服装店在销售A,B两款服装时,销售员记录了从4月到6月的销售情况,请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题。
素材1
A款服装每销售一件可盈利100元,已知4月份销售量为64件,且销售量逐月递增,6月份销售量达到100件。
B款服装每销售一件可盈利150元,每月的销售量均为80件。
素材2
7月开始换季,服装店仅对A款服装进行降价销售,根据往年数据测算:以6月份的月销售量为基准,A款服装每降5元,其月销售量增加
件,同时会使B款服装月销售量减少10件。
问题解决
问题1:求6月份销售A,B两款服装的利润之和。(2分)
问题2:求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率。(4分)
问题3:为了使7月份销售A,B两款服装的利润之和达到22 500元,那么A款服装应降价多少元?(4分)
素材1
A款服装每销售一件可盈利100元,已知4月份销售量为64件,且销售量逐月递增,6月份销售量达到100件。
B款服装每销售一件可盈利150元,每月的销售量均为80件。
素材2
7月开始换季,服装店仅对A款服装进行降价销售,根据往年数据测算:以6月份的月销售量为基准,A款服装每降5元,其月销售量增加
件,同时会使B款服装月销售量减少10件。问题解决
问题1:求6月份销售A,B两款服装的利润之和。(2分)
问题2:求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率。(4分)
问题3:为了使7月份销售A,B两款服装的利润之和达到22 500元,那么A款服装应降价多少元?(4分)
答案
22. 解:(1)100×100+80×150=22 000(元)。答:6月份销售A,B两款服装的利润之和为22000元。
(2)设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为x。由题意可以列出方程$64(1+x)^2=100$。解得$x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不合题意,舍去)。答:A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%。
(3)设A款服装应降价y元。由题意可以列出方程$(100-y)(100+\frac{25}{5}y)+150(80-\frac{10}{5}y)=22500$。解得$y_1=y_2=10$。答:A款服装应降价10元。
(2)设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为x。由题意可以列出方程$64(1+x)^2=100$。解得$x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不合题意,舍去)。答:A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%。
(3)设A款服装应降价y元。由题意可以列出方程$(100-y)(100+\frac{25}{5}y)+150(80-\frac{10}{5}y)=22500$。解得$y_1=y_2=10$。答:A款服装应降价10元。
解析
【分析】
本题分三个问题逐步解决：
1. 问题1：利用“利润=单件利润×销售量”，分别计算6月A、B两款服装的利润后求和；
2. 问题2：属于平均增长率问题，设平均月增长率为x，根据4月销量和6月销量的关系列一元二次方程，舍去负的不合理解；
3. 问题3：设A款降价y元，根据“每降5元A销量增25件、B销量减10件”，表示出7月A的单件利润与销量、B的销量，再根据总利润列方程，求解合理的解。
【解析】
(1) 6月份A款利润：$100×100=10000$（元），B款利润：$150×80=12000$（元），利润之和：$10000+12000=22000$（元）；
(2) 设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为$x$，由题意得：$64(1+x)^2=100$，
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（销售量不能为负，舍去）；
(3) 设A款服装应降价$y$元，7月A款销量为$100+\frac{25}{5}y=100+5y$，单件利润为$100-y$；7月B款销量为$80-\frac{10}{5}y=80-2y$，单件利润150元，根据总利润得：
$(100-y)(100+5y)+150(80-2y)=22500$，
整理得：$y^2-20y+100=0$，
解得：$y_1=y_2=10$（符合实际）。
【答案】
(1) 6月份销售A、B两款服装的利润之和为22000元；
(2) A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%；
(3) A款服装应降价10元。
【知识点】
一元二次方程的应用、有理数的混合运算
【点评】
本题是结合实际销售的应用题，分小问考查基础计算和一元二次方程的应用，需理清各量关系、正确列方程，注意舍去不合理解，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
本题分三个问题逐步解决：
1. 问题1：利用“利润=单件利润×销售量”，分别计算6月A、B两款服装的利润后求和；
2. 问题2：属于平均增长率问题，设平均月增长率为x，根据4月销量和6月销量的关系列一元二次方程，舍去负的不合理解；
3. 问题3：设A款降价y元，根据“每降5元A销量增25件、B销量减10件”，表示出7月A的单件利润与销量、B的销量，再根据总利润列方程，求解合理的解。
【解析】
(1) 6月份A款利润：$100×100=10000$（元），B款利润：$150×80=12000$（元），利润之和：$10000+12000=22000$（元）；
(2) 设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为$x$，由题意得：$64(1+x)^2=100$，
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（销售量不能为负，舍去）；
(3) 设A款服装应降价$y$元，7月A款销量为$100+\frac{25}{5}y=100+5y$，单件利润为$100-y$；7月B款销量为$80-\frac{10}{5}y=80-2y$，单件利润150元，根据总利润得：
$(100-y)(100+5y)+150(80-2y)=22500$，
整理得：$y^2-20y+100=0$，
解得：$y_1=y_2=10$（符合实际）。
【答案】
(1) 6月份销售A、B两款服装的利润之和为22000元；
(2) A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%；
(3) A款服装应降价10元。
【知识点】
一元二次方程的应用、有理数的混合运算
【点评】
本题是结合实际销售的应用题，分小问考查基础计算和一元二次方程的应用，需理清各量关系、正确列方程，注意舍去不合理解，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
23.(10分)如图1,在$□ ABCD$中,O是对角线BD的中点,点E在边BC上,EO的延长线与边AD相交于点F,连结BF,DE。
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形。(3分)
(2)若$DE=DC,∠ CBD=45°$,如图2,过点C作DE的垂线,与DE,BD,BF分别相交于点G,H,P。
①当$CD=6,CE=4$时,求BE的长。(3分)
②求证:$CD=CH$。(4分)
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形。(3分)
(2)若$DE=DC,∠ CBD=45°$,如图2,过点C作DE的垂线,与DE,BD,BF分别相交于点G,H,P。
①当$CD=6,CE=4$时,求BE的长。(3分)
②求证:$CD=CH$。(4分)
答案
23. (1)证明:因为在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 BD 的中点,所以 AD // BC,BO = DO,所以∠ADB = ∠CBD。在△BOE 与△DOF 中,$\begin{cases} ∠CBD=∠ADB, \\ BO=DO, \\ ∠BOE=∠DOF, \end{cases}$ 所以△BOE ≌ △DOF(ASA),所以 DF = BE 且 DF // BE,所以四边形 BEDF 是平行四边形。
(2)①解:如图,过点 D 作 DN⊥EC 于点 N,因为 DE=DC=6,DN⊥EC,CE=4,所以 EN=CN=2,所以$DN=\sqrt{DC^2-CN^2}=\sqrt{36-4}=4\sqrt{2}$。因为∠DBC=45°,DN⊥BC,所以∠DBC=∠BDN=45°,所以 DN=BN=4√2,所以 BE=BN-EN=4√2-2。
②证明:因为 DN ⊥ EC,CG ⊥ DE,所以∠CEG + ∠ECG = 90°,∠DEN + ∠EDN=90°,所以∠EDN=∠ECG。因为 DE=DC,DN ⊥ EC,所以∠EDN=∠CDN,所以∠ECG=∠CDN。因为∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH,∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN,所以∠CDB=∠DHC,所以 CD=CH。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形BEDF是平行四边形，需利用平行四边形的判定定理，结合平行四边形ABCD的性质，通过ASA证明三角形全等得到对边平行且相等，进而完成证明。
(2)① 求BE的长度，通过作辅助线DN⊥EC，利用等腰三角形三线合一和勾股定理计算线段长度，再结合等腰直角三角形的性质求出BN，最终得到BE。
② 证明CD=CH，通过直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质转换角的关系，证明∠CDB=∠DHC，利用等角对等边完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，BO=DO（平行四边形对角线互相平分），
∴ ∠ADB=∠CBD。
在△BOE和△DOF中：
$\{\begin{array}{l}∠CBD=∠ADB, \\BO=DO, \\∠BOE=∠DOF,\end{array} $
∴ △BOE≌△DOF（ASA），
∴ DF=BE，又
∵ DF//BE，
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2)① 解：
过点D作DN⊥EC于点N，
∵ DE=DC=6，DN⊥EC，
∴ EN=CN=$\frac{1}{2}$CE=2（等腰三角形三线合一），
在Rt△DCN中，DN=$\sqrt{DC^2 - CN^2}$=$\sqrt{6^2 - 2^2}$=$\sqrt{36-4}$=$4\sqrt{2}$，
∵ ∠CBD=45°，DN⊥BC，
∴ △BDN是等腰直角三角形，
∴ BN=DN=4$\sqrt{2}$，
∴ BE=BN - EN=4$\sqrt{2}$ - 2。
② 证明：
∵ DN⊥EC，CG⊥DE，
∴ ∠DNE=∠CGE=90°，
∴ ∠EDN + ∠DEN=90°，∠ECG + ∠DEN=90°，
∴ ∠EDN=∠ECG。
∵ DE=DC，DN⊥EC，
∴ ∠EDN=∠CDN（等腰三角形三线合一），
∴ ∠ECG=∠CDN。
又
∵ ∠DHC=∠CBD + ∠BCH=45° + ∠BCH，
∠CDB=∠BDN + ∠CDN=45° + ∠CDN，
而∠BCH=∠ECG，∠CDN=∠EDN，
∴ ∠CDB=∠DHC，
∴ CD=CH（等角对等边）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2)① BE的长为$4\sqrt{2}-2$；② 证明见上述解析。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的综合题，结合全等三角形、等腰三角形、勾股定理等知识点，考查几何推理与计算能力，解题需熟练运用平行四边形性质，通过辅助线构造和角的转换解决问题。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明四边形BEDF是平行四边形，需利用平行四边形的判定定理，结合平行四边形ABCD的性质，通过ASA证明三角形全等得到对边平行且相等，进而完成证明。
(2)① 求BE的长度，通过作辅助线DN⊥EC，利用等腰三角形三线合一和勾股定理计算线段长度，再结合等腰直角三角形的性质求出BN，最终得到BE。
② 证明CD=CH，通过直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质转换角的关系，证明∠CDB=∠DHC，利用等角对等边完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，BO=DO（平行四边形对角线互相平分），
∴ ∠ADB=∠CBD。
在△BOE和△DOF中：
$\{\begin{array}{l}∠CBD=∠ADB, \\BO=DO, \\∠BOE=∠DOF,\end{array} $
∴ △BOE≌△DOF（ASA），
∴ DF=BE，又
∵ DF//BE，
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2)① 解：
过点D作DN⊥EC于点N，
∵ DE=DC=6，DN⊥EC，
∴ EN=CN=$\frac{1}{2}$CE=2（等腰三角形三线合一），
在Rt△DCN中，DN=$\sqrt{DC^2 - CN^2}$=$\sqrt{6^2 - 2^2}$=$\sqrt{36-4}$=$4\sqrt{2}$，
∵ ∠CBD=45°，DN⊥BC，
∴ △BDN是等腰直角三角形，
∴ BN=DN=4$\sqrt{2}$，
∴ BE=BN - EN=4$\sqrt{2}$ - 2。
② 证明：
∵ DN⊥EC，CG⊥DE，
∴ ∠DNE=∠CGE=90°，
∴ ∠EDN + ∠DEN=90°，∠ECG + ∠DEN=90°，
∴ ∠EDN=∠ECG。
∵ DE=DC，DN⊥EC，
∴ ∠EDN=∠CDN（等腰三角形三线合一），
∴ ∠ECG=∠CDN。
又
∵ ∠DHC=∠CBD + ∠BCH=45° + ∠BCH，
∠CDB=∠BDN + ∠CDN=45° + ∠CDN，
而∠BCH=∠ECG，∠CDN=∠EDN，
∴ ∠CDB=∠DHC，
∴ CD=CH（等角对等边）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2)① BE的长为$4\sqrt{2}-2$；② 证明见上述解析。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的综合题，结合全等三角形、等腰三角形、勾股定理等知识点，考查几何推理与计算能力，解题需熟练运用平行四边形性质，通过辅助线构造和角的转换解决问题。
【难度系数】
0.5
