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1. 根据以下素材,探索完成任务。
如何估算游客人数和门票收入?
＜redacted＞
素材1 今年以来,某县接待的游客人数逐月增加,据统计,游玩某景区的游客人数1月份为4万人,3月份为5.76万人
素材2 若该景区仅有A,B两个景点,售票处出示的三种购票方式如表所示:
|购票方式|甲|乙|丙|
|---|---|---|---|
|可游玩景点|A|B|A和B|
|门票价格|100元/人|80元/人|160元/人|
据预测,5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万人,3万人和2万人,并且当甲、乙两种门票价格不变时,丙种门票价格每下降1元,将有600名原计划购买甲种门票的游客和400名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票
问题解决
任务1 确定增长率 求2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长百分之几
任务2 预计门票收入 若丙种门票价格下降10元,求景区5月份的门票总收入
任务3 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时,景区5月份的门票总收入有816万元
如何估算游客人数和门票收入?
＜redacted＞
素材1 今年以来,某县接待的游客人数逐月增加,据统计,游玩某景区的游客人数1月份为4万人,3月份为5.76万人
素材2 若该景区仅有A,B两个景点,售票处出示的三种购票方式如表所示:
|购票方式|甲|乙|丙|
|---|---|---|---|
|可游玩景点|A|B|A和B|
|门票价格|100元/人|80元/人|160元/人|
据预测,5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万人,3万人和2万人,并且当甲、乙两种门票价格不变时,丙种门票价格每下降1元,将有600名原计划购买甲种门票的游客和400名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票
问题解决
任务1 确定增长率 求2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长百分之几
任务2 预计门票收入 若丙种门票价格下降10元,求景区5月份的门票总收入
任务3 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时,景区5月份的门票总收入有816万元
答案
任务1 解:设该景区游客人数平均每月增长率为x。由题意,得4(1+x)²=5.76,解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(不符合题意,舍去)。答:该景区游客人数平均每月增长20%。
任务2 解:由题意,得100×(20 000-600×10)+80×(30 000-400×10)+(160-10)×(20 000+600×10+400×10)=7 980 000(元)=798(万元)。答:景区5月份的门票总收入为798万元。
任务3 解:设丙种门票价格下降y元时,景区5月份的门票总收入有816万元。由题意,得100×(20 000-600y)+80×(30 000-400y)+(160-y)×(20 000+600y+400y)=8 160 000,整理,得y²-48y+560=0,解得y₁=20,y₂=28。答:丙种门票价格下降20元或28元时,景区5月份的门票总收入有816万元。
任务2 解:由题意,得100×(20 000-600×10)+80×(30 000-400×10)+(160-10)×(20 000+600×10+400×10)=7 980 000(元)=798(万元)。答:景区5月份的门票总收入为798万元。
任务3 解:设丙种门票价格下降y元时,景区5月份的门票总收入有816万元。由题意,得100×(20 000-600y)+80×(30 000-400y)+(160-y)×(20 000+600y+400y)=8 160 000,整理,得y²-48y+560=0,解得y₁=20,y₂=28。答:丙种门票价格下降20元或28元时,景区5月份的门票总收入有816万元。
解析
【分析】
本题分为三个递进任务，均需运用一元二次方程解决实际问题：任务1是求游客人数的月平均增长率，需利用连续增长的数学模型列方程；任务2需根据丙种门票降价10元的条件，分别计算三种购票方式的人数，再求和得到5月份门票总收入；任务3需设丙种门票降价金额为未知数，根据总收入为816万元的条件列方程，求解并检验解的合理性。解题时需注意人数单位的统一，以及舍去不符合实际意义的解。
【解析】
任务1：设该景区游客人数平均每月增长率为$ x $。
1月份游客人数为4万人，2月份为$ 4(1+x) $万人，3月份为$ 4(1+x)^2 $万人，根据3月份游客人数为5.76万人，列方程：
$ 4(1+x)^2 = 5.76 $
解得$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
答：该景区游客人数平均每月增长20%。
任务2：丙种门票价格下降10元，
原计划购买甲种门票的人数变为：$ 20000 - 600×10 = 14000 $（人），
原计划购买乙种门票的人数变为：$ 30000 - 400×10 = 26000 $（人），
购买丙种门票的人数变为：$ 20000 + 600×10 + 400×10 = 30000 $（人），
则5月份门票总收入为：
$ 100×14000 + 80×26000 + (160-10)×30000 $
$ = 1400000 + 2080000 + 4500000 $
$ = 7980000 $（元）$ = 798 $（万元）。
答：景区5月份的门票总收入为798万元。
任务3：设丙种门票价格下降$ y $元时，景区5月份的门票总收入为816万元，
此时：
甲种门票人数：$ 20000 - 600y $，
乙种门票人数：$ 30000 - 400y $，
丙种门票人数：$ 20000 + 600y + 400y = 20000 + 1000y $，
列总收入方程：
$ 100(20000 - 600y) + 80(30000 - 400y) + (160 - y)(20000 + 1000y) = 8160000 $
整理得：
$ y^2 - 48y + 560 = 0 $
解得$ y_1 = 20 $，$ y_2 = 28 $，均符合实际意义。
答：丙种门票价格下降20元或28元时，景区5月份的门票总收入有816万元。
【答案】
任务1：该景区游客人数平均每月增长20%；
任务2：景区5月份的门票总收入为798万元；
任务3：丙种门票价格下降20元或28元时，景区5月份的门票总收入有816万元。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元二次方程的应用（销售问题）
【点评】
本题结合实际旅游场景设计三个递进任务，考查学生运用一元二次方程解决增长率和销售收入问题的能力，解题核心是准确梳理各量之间的关系，尤其是价格变动对购票人数的影响，需注意单位统一和解的合理性取舍，整体难度适中，适合中等水平学生完成。
【难度系数】
0.5
本题分为三个递进任务，均需运用一元二次方程解决实际问题：任务1是求游客人数的月平均增长率，需利用连续增长的数学模型列方程；任务2需根据丙种门票降价10元的条件，分别计算三种购票方式的人数，再求和得到5月份门票总收入；任务3需设丙种门票降价金额为未知数，根据总收入为816万元的条件列方程，求解并检验解的合理性。解题时需注意人数单位的统一，以及舍去不符合实际意义的解。
【解析】
任务1：设该景区游客人数平均每月增长率为$ x $。
1月份游客人数为4万人，2月份为$ 4(1+x) $万人，3月份为$ 4(1+x)^2 $万人，根据3月份游客人数为5.76万人，列方程：
$ 4(1+x)^2 = 5.76 $
解得$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
答：该景区游客人数平均每月增长20%。
任务2：丙种门票价格下降10元，
原计划购买甲种门票的人数变为：$ 20000 - 600×10 = 14000 $（人），
原计划购买乙种门票的人数变为：$ 30000 - 400×10 = 26000 $（人），
购买丙种门票的人数变为：$ 20000 + 600×10 + 400×10 = 30000 $（人），
则5月份门票总收入为：
$ 100×14000 + 80×26000 + (160-10)×30000 $
$ = 1400000 + 2080000 + 4500000 $
$ = 7980000 $（元）$ = 798 $（万元）。
答：景区5月份的门票总收入为798万元。
任务3：设丙种门票价格下降$ y $元时，景区5月份的门票总收入为816万元，
此时：
甲种门票人数：$ 20000 - 600y $，
乙种门票人数：$ 30000 - 400y $，
丙种门票人数：$ 20000 + 600y + 400y = 20000 + 1000y $，
列总收入方程：
$ 100(20000 - 600y) + 80(30000 - 400y) + (160 - y)(20000 + 1000y) = 8160000 $
整理得：
$ y^2 - 48y + 560 = 0 $
解得$ y_1 = 20 $，$ y_2 = 28 $，均符合实际意义。
答：丙种门票价格下降20元或28元时，景区5月份的门票总收入有816万元。
【答案】
任务1：该景区游客人数平均每月增长20%；
任务2：景区5月份的门票总收入为798万元；
任务3：丙种门票价格下降20元或28元时，景区5月份的门票总收入有816万元。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元二次方程的应用（销售问题）
【点评】
本题结合实际旅游场景设计三个递进任务，考查学生运用一元二次方程解决增长率和销售收入问题的能力，解题核心是准确梳理各量之间的关系，尤其是价格变动对购票人数的影响，需注意单位统一和解的合理性取舍，整体难度适中，适合中等水平学生完成。
【难度系数】
0.5
