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2. 根据以下素材,探索完成任务。
圆柱体外包装的材料损耗率问题研究
素材1
厂商在生产产品时,对产品外包装的材料,通常要考虑尽可能地合理利用,减少浪费。如图1,圆柱体形状的物品,它的外包装盒通常都是长方体,且上下底面为正方形
素材2
设计产品外包装时,我们把裁剪掉的废料部分的面积与原图形的面积之比称为材料的损耗率。一种材料利用率较高的裁剪方式如图2所示,采用正方形纸板裁剪,只需剪掉四条边上的四个小三角形(阴影部分)。按这种方式包装一个底面直径为2,高为1的圆柱体(接缝处的材料损耗不计),损耗率只有$\frac{2}{18}\approx11.1\%$
问题解决
任务1
现采用一张边长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$的正方形纸,按如图3所示的裁剪方式剪掉各边上的一个三角形(阴影部分)后,可恰好无缝地做成一个圆柱体的外包装盒。设圆柱体的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$,则它的高$h=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$(用含$r$的代数式表示)
任务2
在图3中,若已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为16%,求这个圆柱体的底面半径$r$
任务3
现利用两块同样大小的正方形纸板,按如图4所示方式裁剪后,可包装两个高分别为4和2的圆柱体,发现这两个圆柱体的体积恰好相等。求第一个圆柱体的底面半径(圆柱体的体积=底面积×高)
圆柱体外包装的材料损耗率问题研究
素材1
厂商在生产产品时,对产品外包装的材料,通常要考虑尽可能地合理利用,减少浪费。如图1,圆柱体形状的物品,它的外包装盒通常都是长方体,且上下底面为正方形
素材2
设计产品外包装时,我们把裁剪掉的废料部分的面积与原图形的面积之比称为材料的损耗率。一种材料利用率较高的裁剪方式如图2所示,采用正方形纸板裁剪,只需剪掉四条边上的四个小三角形(阴影部分)。按这种方式包装一个底面直径为2,高为1的圆柱体(接缝处的材料损耗不计),损耗率只有$\frac{2}{18}\approx11.1\%$
问题解决
任务1
现采用一张边长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$的正方形纸,按如图3所示的裁剪方式剪掉各边上的一个三角形(阴影部分)后,可恰好无缝地做成一个圆柱体的外包装盒。设圆柱体的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$,则它的高$h=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$(用含$r$的代数式表示)
任务2
在图3中,若已知该圆柱体外包装盒的材料损耗率为16%,求这个圆柱体的底面半径$r$
任务3
现利用两块同样大小的正方形纸板,按如图4所示方式裁剪后,可包装两个高分别为4和2的圆柱体,发现这两个圆柱体的体积恰好相等。求第一个圆柱体的底面半径(圆柱体的体积=底面积×高)
答案
任务1 $(4-2r)$ 【解析】由正方形的对角线性质及边长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,可知对角线的一半为4 cm。圆柱体的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$,所以它的高$h=(4-2r)\mathrm{cm}$。
任务2 解:由题意,得裁剪掉的废料部分的面积与原图形的面积之比称为材料的损耗率,裁剪掉的废料部分的面积为$2h^2$,原图形的面积为$(4\sqrt{2})^2$,所以$\frac{2h^2}{(4\sqrt{2})^2}=16\%$,解得$h=1.6$。由$h=4-2r$,得$4-2r=1.6$,解得$r=1.2$,所以这个圆柱体的底面半径$r$为1.2。
任务3 解:设两个圆柱体的底面半径分别为$a$和$R$,则有$2a+4=2R+2$,解得$R=a+1$。由题意,得$4π a^2=2π(a+1)^2$,解得$a_1=1+\sqrt{2}$,$a_2=1-\sqrt{2}$(不符合题意,舍去),所以第一个圆柱体的底面半径为$1+\sqrt{2}$。
任务2 解:由题意,得裁剪掉的废料部分的面积与原图形的面积之比称为材料的损耗率,裁剪掉的废料部分的面积为$2h^2$,原图形的面积为$(4\sqrt{2})^2$,所以$\frac{2h^2}{(4\sqrt{2})^2}=16\%$,解得$h=1.6$。由$h=4-2r$,得$4-2r=1.6$,解得$r=1.2$,所以这个圆柱体的底面半径$r$为1.2。
任务3 解:设两个圆柱体的底面半径分别为$a$和$R$,则有$2a+4=2R+2$,解得$R=a+1$。由题意,得$4π a^2=2π(a+1)^2$,解得$a_1=1+\sqrt{2}$,$a_2=1-\sqrt{2}$(不符合题意,舍去),所以第一个圆柱体的底面半径为$1+\sqrt{2}$。
解析
【分析】
本题需分三个任务逐步分析：任务1利用正方形对角线性质，推导圆柱体高与底面半径的关系；任务2根据损耗率定义，先求高再求底面半径；任务3通过两个正方形大小相同建立半径关系，结合体积相等列方程求解，需注意舍去不符合实际的解。
【解析】
任务1：
已知正方形边长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，根据正方形对角线公式，对角线长为$4\sqrt{2}×\sqrt{2}=8\ \mathrm{cm}$，对角线一半为$4\ \mathrm{cm}$。裁剪后，圆柱体的高$h$等于对角线一半减去两个底面半径，因此$h=4-2r$。
任务2：
根据损耗率定义，损耗率$=\frac{\mathrm{废料面积}}{\mathrm{原正方形面积}}$，原正方形面积为$(4\sqrt{2})^2=32\ \mathrm{cm}^2$。设废料面积为$S$，则$S=32×16\%=5.12\ \mathrm{cm}^2$，由题意废料面积为$2h^2$，故$2h^2=5.12$，解得$h=1.6$（$h＞0$，舍去负根）。将$h=1.6$代入$h=4-2r$，得$4-2r=1.6$，解得$r=1.2$。
任务3：
设第一个圆柱体底面半径为$a$，第二个为$R$。因两块正方形纸板大小相同，对应包装盒对角线一半相等，故$2a+4=2R+2$，化简得$R=a+1$。由两圆柱体积相等，体积公式为$V=π r^2h$，得$4π a^2=2π R^2$，约去$π$并代入$R=a+1$，整理得$a^2-2a-1=0$，解得$a=1\pm\sqrt{2}$。因半径为正数，舍去$1-\sqrt{2}$，故$a=1+\sqrt{2}$。
【答案】
任务1：$(4-2r)$；任务2：$1.2$；任务3：$1+\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质、一元二次方程应用、圆柱体体积计算
【点评】
本题结合实际生产的材料损耗问题，将几何裁剪与圆柱体计算结合，重点考查几何量关系的理解和方程求解能力，需准确把握损耗率定义、正方形对角线性质及体积公式，综合性较强。
【难度系数】
0.5
本题需分三个任务逐步分析：任务1利用正方形对角线性质，推导圆柱体高与底面半径的关系；任务2根据损耗率定义，先求高再求底面半径；任务3通过两个正方形大小相同建立半径关系，结合体积相等列方程求解，需注意舍去不符合实际的解。
【解析】
任务1：
已知正方形边长为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，根据正方形对角线公式，对角线长为$4\sqrt{2}×\sqrt{2}=8\ \mathrm{cm}$，对角线一半为$4\ \mathrm{cm}$。裁剪后，圆柱体的高$h$等于对角线一半减去两个底面半径，因此$h=4-2r$。
任务2：
根据损耗率定义，损耗率$=\frac{\mathrm{废料面积}}{\mathrm{原正方形面积}}$，原正方形面积为$(4\sqrt{2})^2=32\ \mathrm{cm}^2$。设废料面积为$S$，则$S=32×16\%=5.12\ \mathrm{cm}^2$，由题意废料面积为$2h^2$，故$2h^2=5.12$，解得$h=1.6$（$h＞0$，舍去负根）。将$h=1.6$代入$h=4-2r$，得$4-2r=1.6$，解得$r=1.2$。
任务3：
设第一个圆柱体底面半径为$a$，第二个为$R$。因两块正方形纸板大小相同，对应包装盒对角线一半相等，故$2a+4=2R+2$，化简得$R=a+1$。由两圆柱体积相等，体积公式为$V=π r^2h$，得$4π a^2=2π R^2$，约去$π$并代入$R=a+1$，整理得$a^2-2a-1=0$，解得$a=1\pm\sqrt{2}$。因半径为正数，舍去$1-\sqrt{2}$，故$a=1+\sqrt{2}$。
【答案】
任务1：$(4-2r)$；任务2：$1.2$；任务3：$1+\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质、一元二次方程应用、圆柱体体积计算
【点评】
本题结合实际生产的材料损耗问题，将几何裁剪与圆柱体计算结合，重点考查几何量关系的理解和方程求解能力，需准确把握损耗率定义、正方形对角线性质及体积公式，综合性较强。
【难度系数】
0.5
