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3.“小小停车位，关乎大民生”，某数学兴趣小组关注到本校教师每天进校的车辆数超过学校原有的停车位数，有部分车辆不能规范停放，对校园安全存在一定的隐患，于是打算向学校提供一个增设停车位的方案。
素材1:该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32米，宽14米。
素材2:
|停车位布置方式|垂直停车位|倾斜停车位|
| ---- | ---- | ---- |
|示意图|
||
|车位标准尺寸|长6米，宽2.5米|倾斜线长6米，倾斜线之间的距离为2.5米|
|通道| μlticolumn{2}{c}{通道宽度不小于3.5米} |
任务1 兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位。垂直停车位如图1所示，$AB ⊥ AD$，$CD ⊥ AD$，$AB = CD$；倾斜停车位如图2所示，$EG = FH$，$∠ G = 120°$，$∠ H = 60°$。请分别判断所设计的两种停车位的形状，并选择一种说明理由。
任务2 为了排除校园安全隐患，根据素材2提供的信息，若用上述设计的两种停车位，并尽可能多地设置停车位数量，学校该空地应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$）？
素材1:该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32米，宽14米。
素材2:
|停车位布置方式|垂直停车位|倾斜停车位|
| ---- | ---- | ---- |
|示意图|
|||车位标准尺寸|长6米，宽2.5米|倾斜线长6米，倾斜线之间的距离为2.5米|
|通道| μlticolumn{2}{c}{通道宽度不小于3.5米} |
任务1 兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位。垂直停车位如图1所示，$AB ⊥ AD$，$CD ⊥ AD$，$AB = CD$；倾斜停车位如图2所示，$EG = FH$，$∠ G = 120°$，$∠ H = 60°$。请分别判断所设计的两种停车位的形状，并选择一种说明理由。
任务2 为了排除校园安全隐患，根据素材2提供的信息，若用上述设计的两种停车位，并尽可能多地设置停车位数量，学校该空地应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$）？
答案
任务1 解:题图1设计的停车位是矩形,题图2设计的停车位是平行四边形。理由如下:在题图1中,$AB ⊥ AD$,$CD ⊥ AD$,所以$∠ BAD = ∠ ADC = 90°$,$AB // CD$。因为$AB = CD$,所以四边形$ABCD$是平行四边形。因为$∠ BAD = ∠ ADC = 90°$,所以平行四边形$ABCD$是矩形。在题图2中,因为$∠ G = 120°$,$∠ H = 60°$,所以$∠ G + ∠ H = 180°$,所以$EG // FH$。因为$EG = FH$,所以四边形$EFHG$是平行四边形。
任务2 解:设置垂直停车位:因为空地长32米,宽14米,垂直停车位长6米,宽2.5米,通道宽度不小于3.5米,所以$14 ÷ 2.5 \approx 5$(个),即按照宽度来设置停车位可以设置5个。因为$32 ÷ (6 + 3.5) \approx 3$(列),即垂直停车位可以设置3列,所以垂直停车位最多可以设置$5 × 3 = 15$(个)。设置倾斜停车位:如图,过点$G$作$GP ⊥ HF$于点$P$,过点$H$作$HQ ⊥ EF$的延长线于点$Q$。因为四边形$EFHG$是平行四边形,所以$HF = GE = 6$米,$GH = EF$,$GH // EQ$,所以$∠ HFQ = ∠ GHF$。因为$∠ GHF = 60°$,$GP = 2.5$米 , $GP ⊥ HF$, $HQ ⊥ EQ$, 所以$∠ HGP = 30°$,$∠ FHQ = 30°$。因为在$\mathrm{Rt}△ FHQ$中,$∠ FHQ = 30°$,所以$FQ = \frac{1}{2}HF = 3$米,所以$HQ = \sqrt{HF^2 - FQ^2} = 3\sqrt{3} \approx 5.19$(米)。因为在$\mathrm{Rt}△ GHP$中,$∠ HGP = 30°$,所以设$HP = x$米,则$GH = 2x$米,所以$HP^2 + GP^2 = GH^2$,所以$x^2 + 2.5^2 = (2x)^2$,解得$x = \frac{5\sqrt{3}}{6}$。所以$GH = 2x = 2 × \frac{5\sqrt{3}}{6} \approx 2.88$(米),所以每行设置车位数$(32 - 3) ÷ 2.88 \approx 10$(个)。因为$5.19 + 3.5 + 5.19 ＜ 14$,所以可以设置两行倾斜停车位,共$10 × 2 = 20$(个),所以学校该空地应选择倾斜停车位布置方式,最多可以设置20个停车位。
解析
【分析】
本题分为两个任务，任务1需根据四边形的边、角关系判断停车位的形状，核心是利用平行四边形、矩形的判定定理；任务2需分别计算两种停车位的可设置数量，关键是结合实际尺寸，利用解直角三角形求出倾斜停车位的相关长度，再结合空地的长和宽、通道宽度计算数量，最后比较得出最优方案。
【解析】
任务1：
垂直停车位：已知$AB ⊥ AD$，$CD ⊥ AD$，故$∠ BAD = ∠ ADC = 90°$，可得$AB // CD$；又$AB = CD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可知四边形$ABCD$是平行四边形；再结合“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”，因此垂直停车位是矩形。
倾斜停车位：已知$∠ G = 120°$，$∠ H = 60°$，则$∠ G + ∠ H = 180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$EG // FH$；又$EG = FH$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，因此倾斜停车位是平行四边形。
任务2：
① 计算垂直停车位数量：
空地宽14米，垂直停车位宽2.5米，沿宽可设置车位数为$14 ÷ 2.5 ≈ 5$个；
通道宽不小于3.5米，每个垂直停车位（含通道）的长度为$6 + 3.5 = 9.5$米，空地长32米，沿长可设置列数为$32 ÷ 9.5 ≈ 3$列；
因此垂直停车位最多可设置$5 × 3 = 15$个。
② 计算倾斜停车位数量：
过点$G$作$GP ⊥ HF$于点$P$，过点$H$作$HQ ⊥ EF$的延长线于点$Q$。
因为四边形$EFHG$是平行四边形，故$HF = GE = 6$米，$GH // EQ$，$∠ GHF = 60°$，则$∠ HFQ = 60°$，$∠ FHQ = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ FHQ$中，$∠ FHQ = 30°$，$HF = 6$米，故$FQ = \frac{1}{2}HF = 3$米，$HQ = HF·\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} ≈ 5.19$米。
同理，在$\mathrm{Rt}△ GHP$中，$GP = 2.5$米，$∠ HGP = 30°$，设$HP = x$，则$GH = 2x$，由勾股定理得$x^2 + 2.5^2 = (2x)^2$，解得$x = \frac{5\sqrt{3}}{6}$，故$GH = 2x ≈ 2.88$米。
沿空地宽可设置行数：两行倾斜停车位加中间通道的总高度为$HQ×2 + 3.5 ≈ 5.19×2 + 3.5 = 13.88$米$＜14$米，故可设置2行。
每行可设置车位数：空地长减去$FQ$后剩余长度为$32 - 3 = 29$米，故每行车位数为$29 ÷ 2.88 ≈ 10$个。
因此倾斜停车位最多可设置$10×2 = 20$个。
比较可知，$20＞15$，故应选择倾斜停车位布置方式，最多设置20个停车位。
【答案】
任务1：垂直停车位是矩形，倾斜停车位是平行四边形；任务2：选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置20个停车位。
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、解直角三角形
【点评】
本题结合实际停车场景，考查四边形判定与解直角三角形的应用，需将几何知识与实际问题结合，步骤清晰且计算准确，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.5
本题分为两个任务，任务1需根据四边形的边、角关系判断停车位的形状，核心是利用平行四边形、矩形的判定定理；任务2需分别计算两种停车位的可设置数量，关键是结合实际尺寸，利用解直角三角形求出倾斜停车位的相关长度，再结合空地的长和宽、通道宽度计算数量，最后比较得出最优方案。
【解析】
任务1：
垂直停车位：已知$AB ⊥ AD$，$CD ⊥ AD$，故$∠ BAD = ∠ ADC = 90°$，可得$AB // CD$；又$AB = CD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可知四边形$ABCD$是平行四边形；再结合“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”，因此垂直停车位是矩形。
倾斜停车位：已知$∠ G = 120°$，$∠ H = 60°$，则$∠ G + ∠ H = 180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$EG // FH$；又$EG = FH$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，因此倾斜停车位是平行四边形。
任务2：
① 计算垂直停车位数量：
空地宽14米，垂直停车位宽2.5米，沿宽可设置车位数为$14 ÷ 2.5 ≈ 5$个；
通道宽不小于3.5米，每个垂直停车位（含通道）的长度为$6 + 3.5 = 9.5$米，空地长32米，沿长可设置列数为$32 ÷ 9.5 ≈ 3$列；
因此垂直停车位最多可设置$5 × 3 = 15$个。
② 计算倾斜停车位数量：
过点$G$作$GP ⊥ HF$于点$P$，过点$H$作$HQ ⊥ EF$的延长线于点$Q$。
因为四边形$EFHG$是平行四边形，故$HF = GE = 6$米，$GH // EQ$，$∠ GHF = 60°$，则$∠ HFQ = 60°$，$∠ FHQ = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ FHQ$中，$∠ FHQ = 30°$，$HF = 6$米，故$FQ = \frac{1}{2}HF = 3$米，$HQ = HF·\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} ≈ 5.19$米。
同理，在$\mathrm{Rt}△ GHP$中，$GP = 2.5$米，$∠ HGP = 30°$，设$HP = x$，则$GH = 2x$，由勾股定理得$x^2 + 2.5^2 = (2x)^2$，解得$x = \frac{5\sqrt{3}}{6}$，故$GH = 2x ≈ 2.88$米。
沿空地宽可设置行数：两行倾斜停车位加中间通道的总高度为$HQ×2 + 3.5 ≈ 5.19×2 + 3.5 = 13.88$米$＜14$米，故可设置2行。
每行可设置车位数：空地长减去$FQ$后剩余长度为$32 - 3 = 29$米，故每行车位数为$29 ÷ 2.88 ≈ 10$个。
因此倾斜停车位最多可设置$10×2 = 20$个。
比较可知，$20＞15$，故应选择倾斜停车位布置方式，最多设置20个停车位。
【答案】
任务1：垂直停车位是矩形，倾斜停车位是平行四边形；任务2：选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置20个停车位。
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、解直角三角形
【点评】
本题结合实际停车场景，考查四边形判定与解直角三角形的应用，需将几何知识与实际问题结合，步骤清晰且计算准确，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.5
