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1. 综合与实践。
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课中,老师准备了一些长为80 cm,宽为40 cm的长方形硬纸板,准备利用每张纸板制作两个大小完全相同的无盖长方体纸盒(接头处忽略不计)
素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法,比如:求$-2x^{2}+4x+3$的最大值,过程如下:
因为$-2x^{2}+4x+3=-2(x^{2}-2x+1)+3+2=-2(x-1)^{2}+5$,
所以当$x=1$时,$-2x^{2}+4x+3$有最大值5
方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块,每一块都在四个直角处各裁掉一个边长为$x\ \mathrm{cm}$的正方形,再沿虚线折起来,其中一个纸盒的底面是正方形$ABCD$
方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处各裁掉一个边长为$x\ \mathrm{cm}$的正方形,再在中间裁掉一块正方形$BCEF$,分别沿着虚线折起来,其中一个纸盒的底面是矩形$ABCD$
任务1 在方案1中,制作的每个无盖纸盒的底面积为
任务2 在方案2中,求制作无盖纸盒的底面$AB$边的长
任务3 若利用两种方案制作的两种无盖纸盒高度相等,请比较两种纸盒体积的大小
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课中,老师准备了一些长为80 cm,宽为40 cm的长方形硬纸板,准备利用每张纸板制作两个大小完全相同的无盖长方体纸盒(接头处忽略不计)
素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法,比如:求$-2x^{2}+4x+3$的最大值,过程如下:
因为$-2x^{2}+4x+3=-2(x^{2}-2x+1)+3+2=-2(x-1)^{2}+5$,
所以当$x=1$时,$-2x^{2}+4x+3$有最大值5
方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块,每一块都在四个直角处各裁掉一个边长为$x\ \mathrm{cm}$的正方形,再沿虚线折起来,其中一个纸盒的底面是正方形$ABCD$
方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处各裁掉一个边长为$x\ \mathrm{cm}$的正方形,再在中间裁掉一块正方形$BCEF$,分别沿着虚线折起来,其中一个纸盒的底面是矩形$ABCD$
任务1 在方案1中,制作的每个无盖纸盒的底面积为
$(40-2x)^2$
$\mathrm{cm}^2$(用含$x$的代数式表示),并判断底面积能否达到$900\ \mathrm{cm}^2$任务2 在方案2中,求制作无盖纸盒的底面$AB$边的长
任务3 若利用两种方案制作的两种无盖纸盒高度相等,请比较两种纸盒体积的大小
答案
任务1 令$(40-2x)^2=900$,解得$x_1=5$,$x_2=35$(不符合题意,舍去),所以底面积能达到$900\ \mathrm{cm}^2$。
任务2 解:由题意,得$AB=\frac{1}{2}×[80-2x-(40-2x)]=\frac{1}{2}×(80-2x-40+2x)=\frac{1}{2}×40=20(\mathrm{cm})$。
任务3 解:因为两种方案制作的无盖纸盒高度相等,所以底面积大的纸盒的体积大。由任务1知方案1的底面积为$(40-2x)^2\mathrm{cm}^2$。由任务2知方案2的底面积为$20(40-2x)\mathrm{cm}^2$。由题意,得$\begin{cases}x＞0,\\40-2x＞0,\end{cases}$ 解得$0＜x＜20$。当$(40-2x)^2＞20(40-2x)$时,解得$0＜x＜10$;当$(40-2x)^2=20(40-2x)$时,解得$x=10$;当$(40-2x)^2＜20(40-2x)$时,解得$10＜x＜20$,所以当$0＜x＜10$时,方案1中的纸盒体积大;当$x=10$时,方案1与方案2中的纸盒体积一样大;当$10＜x＜20$时,方案2中的纸盒体积大。
任务2 解:由题意,得$AB=\frac{1}{2}×[80-2x-(40-2x)]=\frac{1}{2}×(80-2x-40+2x)=\frac{1}{2}×40=20(\mathrm{cm})$。
任务3 解:因为两种方案制作的无盖纸盒高度相等,所以底面积大的纸盒的体积大。由任务1知方案1的底面积为$(40-2x)^2\mathrm{cm}^2$。由任务2知方案2的底面积为$20(40-2x)\mathrm{cm}^2$。由题意,得$\begin{cases}x＞0,\\40-2x＞0,\end{cases}$ 解得$0＜x＜20$。当$(40-2x)^2＞20(40-2x)$时,解得$0＜x＜10$;当$(40-2x)^2=20(40-2x)$时,解得$x=10$;当$(40-2x)^2＜20(40-2x)$时,解得$10＜x＜20$,所以当$0＜x＜10$时,方案1中的纸盒体积大;当$x=10$时,方案1与方案2中的纸盒体积一样大;当$10＜x＜20$时,方案2中的纸盒体积大。
解析
【分析】
首先分析方案1：将长80cm、宽40cm的硬纸板均分为左右两块，每块长40cm、宽40cm，裁掉四个角边长为x的正方形后，折成的无盖纸盒底面正方形边长为(40-2x)cm，据此可表示底面积；判断底面积能否达到900cm²，需列方程求解，再结合x的实际取值范围（x＞0且40-2x＞0，即0＜x＜20）判断解的合理性。
方案2：硬纸板四个角裁掉边长为x的正方形后，中间剩余部分长为(80-2x)cm、宽为(40-2x)cm，底面矩形ABCD的长AB可通过剩余长与宽的差的一半计算，化简后得定值。
任务3中，两种纸盒高度相等（均为x），体积=底面积×高，故只需比较底面积大小，结合x的取值范围，通过作差法比较两个底面积的大小即可。
【解析】
任务1：
方案1中，每块纸板的长为80÷2=40cm，裁掉四个角边长为x的正方形后，底面正方形的边长为(40-2x)cm，因此底面积为(40-2x)² cm²。
令(40-2x)²=900，开方得40-2x=±30。
当40-2x=30时，解得x=5；当40-2x=-30时，解得x=35。
结合实际意义，x＞0且40-2x＞0（即x＜20），故x=35不符合题意，舍去。因此底面积能达到900cm²。
任务2：
方案2中，硬纸板四个角裁掉边长为x的正方形后，中间剩余部分的长为(80-2x)cm，宽为(40-2x)cm。
底面矩形ABCD的长AB为剩余长与剩余宽的差的一半，即AB=½[(80-2x)-(40-2x)]=½×40=20cm。
任务3：
两种纸盒高度相等，均为x cm，体积分别为：方案1体积V₁=(40-2x)²·x，方案2体积V₂=20·(40-2x)·x。
比较体积大小只需比较底面积大小（x＞0），即比较(40-2x)²与20(40-2x)，其中0＜x＜20。
作差得：(40-2x)² - 20(40-2x) = (40-2x)(20-2x) = 4(20-x)(10-x)。
当0＜x＜10时，差＞0，V₁＞V₂；当x=10时，差=0，V₁=V₂；当10＜x＜20时，差＜0，V₁＜V₂。
【答案】
任务1：(40-2x)²；能达到；
任务2：20cm；
任务3：当0＜x＜10时，方案1的纸盒体积大；当x=10时，两种纸盒体积相等；当10＜x＜20时，方案2的纸盒体积大。
【知识点】
代数式表示、一元二次方程应用、整式比较
【点评】
本题结合劳动实践场景，考查代数式构建、一元二次方程实际应用及整式大小比较，需结合图形分析边长关系，注意未知数的实际取值限制，是综合性较强的实践类题目。
【难度系数】
0.6
首先分析方案1：将长80cm、宽40cm的硬纸板均分为左右两块，每块长40cm、宽40cm，裁掉四个角边长为x的正方形后，折成的无盖纸盒底面正方形边长为(40-2x)cm，据此可表示底面积；判断底面积能否达到900cm²，需列方程求解，再结合x的实际取值范围（x＞0且40-2x＞0，即0＜x＜20）判断解的合理性。
方案2：硬纸板四个角裁掉边长为x的正方形后，中间剩余部分长为(80-2x)cm、宽为(40-2x)cm，底面矩形ABCD的长AB可通过剩余长与宽的差的一半计算，化简后得定值。
任务3中，两种纸盒高度相等（均为x），体积=底面积×高，故只需比较底面积大小，结合x的取值范围，通过作差法比较两个底面积的大小即可。
【解析】
任务1：
方案1中，每块纸板的长为80÷2=40cm，裁掉四个角边长为x的正方形后，底面正方形的边长为(40-2x)cm，因此底面积为(40-2x)² cm²。
令(40-2x)²=900，开方得40-2x=±30。
当40-2x=30时，解得x=5；当40-2x=-30时，解得x=35。
结合实际意义，x＞0且40-2x＞0（即x＜20），故x=35不符合题意，舍去。因此底面积能达到900cm²。
任务2：
方案2中，硬纸板四个角裁掉边长为x的正方形后，中间剩余部分的长为(80-2x)cm，宽为(40-2x)cm。
底面矩形ABCD的长AB为剩余长与剩余宽的差的一半，即AB=½[(80-2x)-(40-2x)]=½×40=20cm。
任务3：
两种纸盒高度相等，均为x cm，体积分别为：方案1体积V₁=(40-2x)²·x，方案2体积V₂=20·(40-2x)·x。
比较体积大小只需比较底面积大小（x＞0），即比较(40-2x)²与20(40-2x)，其中0＜x＜20。
作差得：(40-2x)² - 20(40-2x) = (40-2x)(20-2x) = 4(20-x)(10-x)。
当0＜x＜10时，差＞0，V₁＞V₂；当x=10时，差=0，V₁=V₂；当10＜x＜20时，差＜0，V₁＜V₂。
【答案】
任务1：(40-2x)²；能达到；
任务2：20cm；
任务3：当0＜x＜10时，方案1的纸盒体积大；当x=10时，两种纸盒体积相等；当10＜x＜20时，方案2的纸盒体积大。
【知识点】
代数式表示、一元二次方程应用、整式比较
【点评】
本题结合劳动实践场景，考查代数式构建、一元二次方程实际应用及整式大小比较，需结合图形分析边长关系，注意未知数的实际取值限制，是综合性较强的实践类题目。
【难度系数】
0.6
